Дифференциальное уравнение теплопроводности.

Сделаем допущения:

· Тело однородно и изотропно.

· Физические параметры постоянны.

· Деформация рассматриваемого объема, связанная с изменением температуры, очень мала по сравнению с самим объемом.

В основе вывода положен закон сохранения энергии. Количество теплоты введенное в элементарный объем извне за время вследствие теплопроводности, а также от внутренних источников, равно изменению внутренней энергии вещества, содержащегося в элементарном объеме.

(*)

- количество теплоты введенное в элементарный объем путем теплопроводности за время

- количество теплоты, которая за время отделилась в элементарном объеме за счет внутренних источников.

- изменение внутренней энергии вещества в объеме за время

Выделим элементарный объем.

- количество теплоты, подводимое к граням элементарного объема за в направление осей OX, OY, OZ.

- количество теплоты, подводимое через противоположные грани в тех же направлениях.

Количество теплоты, отведенное через противоположную грань элементарного параллелепипеда в направлении оси OX запишется

Разница между количеством теплоты, подведенного к элементарному параллелепипеду, и количеством теплоты, отведенного от него за

или

Функция является непрерывной в рассматриваемом интервале и может быть разложена в ряд Тейлора.

Взяв два первых члена ряда:

Аналогично для других осей:

Количество теплоты , подведенное в результате теплопроводности к рассматриваемому объекту будет равно:

Для второй составляющей . Количество теплоты, выделенное внутренними источниками в единицу объема среды в единицу времени через тогда:

Третья составляющая в уравнении (*) найдется в зависимости от характера термодинамического процесса изменения системы. Вся теплота подведенная к элементарному объему, уйдет на изменение внутренней энергии вещества, заключенного в этом объеме.

Для внутренней энергии объема.

- теплоемкость единицы объема,

- теплоемкость единицы массы,

- плотность вещества.

Подставляя полученное выражение в (*) получим:

(**)

или

Учитывая то, что проекции вектора плотности теплового потока на координатные оси OX, OY, OZ:

Подставляя это в (**), получим:

или

Это дифференциальное уравнение теплопроводности. Если теплофизические характеристики постоянны:

- изменение температуры со временем.

Из уравнения видно, что , где a - коэффициент температуропроворности – характеризует скорость изменения температуры.

1. - стационарный тепловой режим

- уравнение Пуассона

2. - нет внутренних источников тепла.

- уравнение Лапласа.

Так как дифференциальное уравнение теплопроводности выводится на основе общих законов физики, то оно описывает явления теплопроводности в самом общем виде. Для выделения конкретного вопроса и дать его полное математическое описание, к дифференциальному уравнению необходимо присоединить математическое описание всех частных особенностей рассматриваемого процесса. Эти частные особенности, которые совместно с дифференциальным уравнением дают полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности называется условиями однозначности или краевыми условиями.

Условия однозначности включают в себя:

1. Геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела, в котором протекает процесс.

2. Физические условия, характеризующие физические свойства среды и тела

3. Взаимные (начальные) условия, характеризующие распределение температур в изучаемом теле в начальный момент времени

4. Граничные условия, характеризующие взаимодействия рассматриваемого тела с окружающей средой.

Граничными условиями задается форма и линейные размеры тела, в котором протекает процесс

Физическими условиями задаются физические параметры тела, и может быть задан закон распределения внутренних источников тепла.

Начальные условия необходимы при рассмотрении нестационарных процессов и состоят в задании закона распределения температуры внутри тела в начальный момент времени.

Граничные условия могут быть заданы несколькими способами

Граничные условия первого рода задается распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени

- температура поверхности тела

Граничные условия второго рода з адаются значения теплового потока для каждой точки поверхности и любого момента времени

- плотность теплового потока на поверхности тела

Граничные условия третьего рода задается температура окружающей среды и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Граничные условия третьего рода характеризуют закон теплообмена между поверхностью и окружающей средой в процессе охлаждения и нагрева.

Иногда ни одно из перечисленных граничных условий задать невозможно. Тогда для определения теплового взаимодействия между телами приходится решать сопряженную задачу. При решении таких задач должны выполняться условия равенства температур и тепловых потоков по обе стороны отграницы раздела. В общем случае условия сопряженности можно записать:

- источники теплоты на поверхности границы

- координаты поверхности раздела сред

- температуры и коэффициенты теплопроводности сред.

При отсутствии на границе раздела сред процессов с выделением или поглощением теплоты, условия сопряженности принимают вид:

 

 

ТЕПЛО.Вопрос№4

Сравнение штыревых и ребристых радиаторов.

Оценка производится для одинаковых габаритов либо для одинаковых режимов транзисторов.

У штыревых радиаторов выигрыш до 40% в обоих случаях, как при естественной, так и при вынужденной конвекции.

1. высота ребра не должна быть более 40мм.

2. поверхность оребрения (частота рёбер) не должна превышать бо­лее чем в 5-6 раз основание радиатора.

Идеальное ребро -ребро, у которого температурный напор по всей высоте одинаков.

Практические рекомендации.

Оценку эффективности ребра ведут по следующему соотношению: . Чем оно выше, тем эффективнее материал.

При повышении числа ребер возрастает теплоотдающая поверхность радиатора, но уменьшается расстояние между ребрами, что приводит к увеличению между рёбрами, а следовательно и к уменьшению конвективной составляющей теплообмена. При этом уменьшается также и ра­диационная составляющая теплообмена за счёт многократного переотра­жения в пространстве между рёбрами.

Конструктивные рекомендации.

1. При охлаждении радиаторов за счёт естественной конвекции воздуш­ные каналы необходимо располагать вертикально. При установке ра­диаторов на горизонтальное шасси снизу необходимо предусматривать отверстия для подвода воздуха, или поднимать радиатор над шасси на расстояние не менее оптимального межрёберного.

2. При обдуве воздухом каналы необходимо располагать по направлению движения воздуха.