Плоскость в пространстве. Виды уравнения плоскостей. Угол между плоскостями.



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Плоскость в пространстве. Виды уравнения плоскостей. Угол между плоскостями.



Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно данному вектору.

Пусть плоскость задана точкой M0(x0;y0;z0) и вектором , перпендикулярной этой плоскости.

Возьмем произвольную точку M(x;y;z) и составим вектор . При любом расположении точки М на плоскости Q , поэтому .

Общее уравнение плоскости.

· Если D=0, то данному уравнению удовлетворяет точка О (0;0;0)

· Если С=0 то вектор . Следовательно, плоскость параллельна оси oz, если В=0 – то oy, если А=0 – то ox.

· Если C=D=0, то плоскость проходит через О (0;0;0), параллельно оси oz. Аналогично при A=D=0 и B=D=0.

· Если А=В=0 то уравнение примет вид плоскость параллельна плоскости Oxy.

· Если A=B=D=0, то уравнение имеет вид . Это уравнение плоскости Oxy.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

К (х11) М (х22) N (x3;y3)

Возьмем на плоскости точку P (x;y;z).

Составим векторы:

Эти векторы лежат в одной плоскости, следовательно они компланарны:

Уравнение плоскости в отрезках.

Пусть плоскость отсекает на осях отрезки, т.е. проходит через точки:

; ;

Нормальное уравнение плоскости.

 

Угол между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до плоскости.

Прямая L:

Пусть φ – угол между плоскостью и прямой.

Тогда θ – угол между и .

Найдем , если

, т.к.

Расстояние от точки до плоскости.

Дано:

M0 (x0;y0;z0)

Расстояние d от точки М0 до плоскости ∆ равно модулю проекции вектора (где М1(x1;y1;z­1) - произвольная точка плоскости) на направление нормального вектора

!!!Если плоскость задана уравнением:

то расстояние до плоскости находится по формуле:

 

Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми.

Уравнение с угловым коэффициентом.

k= tg α – угловой коэффициент.

Если b=0 то прямая проходит через начало координат. Уравнение примет вид

Если α=0, то k = tg α = 0. То прямая пройдет параллельно оси ох.

Если α=π/2, то уравнение теряет смысл. В этом случае уравнение примет вид и пройдет параллельно оси оу.

Общее уравнение прямой.

A, B, C – произвольные числа, причем А и В не равны нулю одновременно.

· Если В=0, то уравнение имеет вид или . Это уравнение прямой, параллельной оси оу. и проходящей через точку

· Если В≠0, то получаем уравнение с угловым коэффициентом .

· Если А=0, то уравнение имеет вид . Это уравнение прямой, параллельной оси ох.

· Если С=0, то уравнение проходит через т. О (0;0).

Уравнение прямой, проходящей через точку, в данном направлении.

т М (х00).

Уравнение прямой записывается в виде .

Подставим в это уравнение точку М

Решим систему:

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки.

К (х11) М (х22)

Уравнение прямой в отрезках.

К (а;0); М (0;b)

Подставим точки в уравнение прямой:

Уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору.

М000).

Возьмем произвольную точку М (х;у).

Т.к. , то

Нормальное уравнение прямой.

Уравнение прямой можно записать в виде:

Т.к. ; , то:

Угол между прямыми.

Дано: прямые L1 и L2 с угловыми коэффициентами

Требуется найти угол между прямыми:

 

Эллипс. Определение. Вывод канонического уравнения.

Эллипсомназывается

геометрическое место всех

точек плоскости, сумма

расстояний от которых до

до фокусов есть величина

постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Пусть М (х;у) – произвольная точка эллипса.

Т.к. MF1 + MF2 = 2a

Т.к.

То получаем

Или

 

Гипербола. Определение. Вывод канонического уравнения.

Гиперболойназывается множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до фокусов есть величина постоянная.

Пусть M(x;y) – произвольная точка гиперболы. Тогда согласно определению гиперболы |MF1 – MF2|=2a или MF1 – MF2=±2a,

 

 

Парабола. Определение. Вывод канонического уравнения.

Парабола – множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от фокуса, и директрисы. Расстояние между фокусом и директрисой называется параметром параболы и обозначается через р>0.

Пусть M(x;y) – произвольная

точка M с F. Проведем отрезок

MN перпендикулярно

директрисе. Согласно

определению MF=MN.

 

Поверхности вращения.

Поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости, называется поверхностью вращения. Пусть некоторая кривая L лежит в плоскости Oyz. Уравнение этой кривой запишутся в виде:

Найдем уравнение поверхности, образованной вращением кривой L вокруг оси Oz.

Возьмем на поверхности точку

M (x;y;z). Проведем через точку

М плоскость, перпендикулярную

оси oz, и обозначим точки

пересечения ее с осью oz

и кривой L соответственно O1 и N.

Обозначим координаты точки

N (0;y1;z1). Отрезки O1M и O1N

являются радиусами одной и той же окружности. Поэтому O1M = O1N. Но O1M = (x2+y2)0.5, O1N=|y1|.

Следовательно, |y1|=(x2+y2)0.5 или y1=±(x2+y2)0.5. Кроме того, очевидно, z1=z.

Следовательно – искомое уравнение поверхности вращения, ему удовлетворяют координаты любой точка М этой поверхности и не удовлетворяет координаты точек, не лежащих на поверхности вращения.



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-23; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.227.235.216 (0.014 с.)