Угол между прямой и плоскостью



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Угол между прямой и плоскостью



 

№1(устно).На рисунке 192 изображён прямоугольный параллелепипед. Занумерованные углы запишите как углы между прямой и плоскостью.

№2.ABCDA1B1C1D1 – куб. Вычислить углы, которые образуют:

1) DC1 c плоскостями граней куба (устно);

 

Обозначим угол, образованный данной

прямой с гранью ABCD (A 1B1C1D1) α, с

гранью АА1В1В (DD1C1C) β, с гранью

АА1D1D (BB1C1C) γ.

Ответ: α =45°, β=0°,γ=45°.

 

 

2) DВ1 c плоскостями граней куба (устно);

 

 

Воспользуемся обозначениями пункта (1).

 

Ответ: α =β=γ=arctg .

 

 

3)A1D с плоскостью АВ1С 1;

 

План решения.

1. А1О ^ АВ1С 1,

OD– проекция A1D на плоскость АВ1С1.

ÐА1DO=α – искомый.

2. DА1DO – прямоугольный.

3. А1О, A1D выразить через ребро куба.

4. sinα.

Ответ: 30°.

 

 

4) A1С с плоскостью АВ1С 1;

 

План решения

1. А1О ^ АВ1С 1, СО1^ АВ1С 1,

1– проекция A1С на плоскость АВ1С 1.

ÐА1КO = α – искомый.

2. DА1КO – прямоугольный.

3. А1О, ОК выразить через ребро куба.

4. tg α.

Ответ: arctg .

5) A1D с плоскостью ВС 1D;

План решения

1. А1С ^ ВС1D, OD – проекция A1D на

плоскость ВС1D;

ÐА1DO = α – искомый.

2. DА1DO – прямоугольный.

3. А1D, ОD выразить через ребро куба.

4. cos α.

Ответ: arccos .

6) В1D с плоскостью ВС1D;

 

План решения

1. А1С ^ ВС1D, РО ^ ВС1D,

где Р – точка пересечения А1С и В1D;

OD – проекция В1D на плоскость ВС1D;

ÐРDO = α – искомый.

2. DРDO – прямоугольный.

3. РD, ОD выразить через ребро куба. 4. cos α. Ответ: arccos .

7) В1С с плоскостью ВС1D;

 

План решения

1. А1С ^ ВС1D, OР – проекция В1С на

плоскость ВС 1D;

ÐСРО = α – искомый.

2. DDPС – прямоугольный.

3. РС, DC выразить через ребро куба.

4. tg α.

Ответ: arctg .

Замечание. Можно рассмотреть DОPС, выразить через ребро куба ОР и РС и найти cos α. Тогда α = .

№ 3.РАВС – правильный тетраэдр. Вычислить угол φ, который составляют:

1) ребро с плоскостью грани, в которой оно не лежит;

План решения.

Рассмотреть ребро АР и плоскость грани АВС.

1. РО^АВС; АР– наклонная, АО – проекция,

ÐРАО=φ.

2. Выразить АО через ребро пирамиды а.

3. cos φ.

Ответ: .

Все другие рёбра образуют с гранями тетраэдра такие же углы.

 

 

2) апофема боковой грани с плоскостью

основания;

План решения.

Рассмотреть апофему РК.

1. РО^АВС; РК – наклонная, ОК – проекция, ÐРКО=φ.

2. Выразить ОК и РК через ребро тетраэдра а.

3. cos φ Ответ: .

3) высота пирамиды с плоскостью

боковой грани;

План решения.

Рассмотреть высоту РО.

1. ОF^РК, ОF^СРВ.

2. ОР – наклонная, PF – проекция,

ÐОРF=φ=ÐОРК.

3. Выразить ОК и РК через ребро

тетраэдра а.

4. sin φ. Ответ: .

№4. Отрезок длиной 20 см пересекает плоскость. Концы его находятся на расстоянии 6 см и 4 см от плоскости. Найти угол между данным отрезком и плоскостью.

План решения.

1. DАА1О~DВВ1О.

2. АО.

3. sin ÐAOA1.

Ответ: 30°.

№ 5.Отрезок АВ имеет длину 1 и упирается концами в две перпендикулярные плоскости α и β, причём АÎα, ВÎβ. Прямая АВ образует с плоскостью α угол φ1, а с плоскостью β угол φ2. Найти длины проекций отрезка АВ на каждую из плоскостей и на прямую их пересечения.

План решения.

1. Построения: АО1^l, BО2^l.

2. АО1^β, ВО2^α.

3. ВО1 (DАВО1).

4. АО2 (DАВО2).

5. АО1 (DАВО1), АО2 (DАВО2).

6.О1О2.

Ответ: .

№6.Измерения прямоугольного параллелепипеда 3 см, 4 см, 5 см. Найти углы, образуемые его диагоналями с гранями.

План решения.

1. α – угол, образованный диагональю В1D

с гранью ABCD.

β– угол, образованный диагональю В1D

с гранью AA1B1B.

γ– угол, образованный диагональю В1D

с гранью BB1CC1.

2. B1D.

3.sin α. 4. sin β. 5. sin γ.

Ответ: 45°, , .

№7. Определить объём прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого равна l и составляет с одной гранью угол 30°, а с другой 45°.

 

План решения.

1. ÐВ1DB=30°, ÐАВ1D=45°.

2. ВВ1, BD.

3. АD.

4. AB.

5. V .

Ответ: .

№8.Основание прямого параллелепипеда - ромб со стороной 3 см; диагонали параллелепипеда образуют с основанием углы в 30° и 45°. Найти высоту параллелепипеда и углы ромба.

План решения.

Пусть высота параллелепипеда равна h.

1. Выразить BD и ОD через h.

2. Выразить АС и АО через h.

3. Составить и решить относительно h

уравнение (DAOD).

4.АО, OD.

5. cos ÐOAD, cosÐODA (или синус, или

тангенс).

6. ÐOAD, ÐODA.

7.ÐВAD, ÐСDA.

Ответ: 3 см, 60°, 120°.

№9.Рёбра прямоугольного параллелепипеда относятся как 3:4:12. Через большее ребро проведено диагональное сечение. Найти синус угла между плоскостью этого сечения и не лежащей в ней диагональюпараллелепипеда.

 

План решения.

1. Построения:

В1М ^ А1 С1, В1М ^ АА1 С1С,

DN ^ AC, DN ^ АА1 С1С,

MN – проекция B1D на АА1 С1С.

Ðj - искомый.

2. Пусть х – общая мера измерений

параллелепипеда.

Выразить В1М, B1О через х.

3. sin Ðj (D ОB1M).

Ответ:

№10.В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, боковое ребро которой равно стороне основания, найти угол между диагональю АВ1 и плоскостью АА1С1С.

План решения.

1.Построения: В1К^А1С1, АК.

2. К –середина А1С1, В1К^ АА1С1С.

3. В1К.

4. АВ1.

5. sinj.

Ответ: .

№11.Высота прямой призмы АВСА1В1С1 равна 12. Основание призмы - DАВС, в котором АВ=АС, ВС=18, tgC=0,4. Найти тангенс угла между прямой АС1 и плоскостью ВВ1С1.

 

 

План решения.

1. Построения: АР^СВ. АР^ ВВ1С1.

Ðj - искомый.

2. РС.

3. tg C, AP.

4. C1P.

5.tg j.

Ответ: 0,24.

№12.ABCD – квадрат, СМ – перпендикуляр к плоскости квадрата. Определить угол наклона прямой МВ к плоскости МАС.

План решения.

1. АМС^ABCD, ВО^АС: ВО^АМС.

2. МО - проекция ВМ на АМС.

3. ÐВМО – искомый.

Ответ: ÐВМО.

 

№13. ABC – треугольник, О – центр окружности, описанной около треугольника ABC. OS – перпендикуляр к плоскости треугольника. Определить угол наклона SO к плоскости АSC.

План решения.

1. Построения: ОР^ASC, SP, SK, AP,

CP, OP,OC.

2. SP – проекция SO на плоскостьASC.

3. SA=SC (равные наклонные равных

проекций). DASC-равнобедренный.

4. AP=CP (равные проекции равных наклонных).

5. Точка Р принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку АС, то есть

высоте SK в треугольникеASC.

Вывод: угол наклона SO к плоскости АSC j =ÐOSK.

Замечание. Рассуждения не изменятся, если в условии задачи 13 заменить треугольник на любой многоугольник, около которого можно описать окружность (прямоугольник, в частности , квадрат, равнобокую трапецию и другие).

№14.Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна h и составляет угол φ с плоскостью боковой грани. Найти полную поверхность пирамиды.

План решения.

1. ÐOSP=j (задача 10).

2. ОР, SP.

3. AD.

4. Sполной поверхности.

Ответ:

 

№15.Основанием пирамиды SABCD является квадрат ABCD. Точка М делит отрезок АВ в отношении 3:1, считая от точки А, прямая SM перпендикулярна плоскости основания. Найти тангенс угла между ребром SC и плоскостью основания, если ребро SD образует с плоскостью основания угол α.

План решения.

Пусть сторона основания равна а.

1.Выразить MD через а.

2. Выразить SM через а.

3. Выразить МС через а.

4.tgÐSCM.

Ответ:

№ 16. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны рёбра: АВ= , SC=17. Найти угол, образованный плоскостью основания и прямой АМ, где М точка пересечения медиан грани SBC.

План решения.

1. Построения.

1.1. SO ^ ABC.

1.2. MF || SO.

1.3. ÐMAF- искомый.

2. AD. 3. OD. 4. DF. 5. AF.

6. OC. 7. SO. 8. MF. 9. tgÐMAF.

Ответ: .

 

№17.В треугольной пирамиде РАВС построено сечение АМK, площадь которого равна S. Ребро АР равно 3 и составляет с плоскостью сечения угол α. Найти объём пирамиды РАКМ.

План решения.

1. Высота пирамиды РO. (Без построения

ясно, что РО = АРsin α).

2. VРC.

Ответ: S×sinα.

 

 

Угол между плоскостями

№18. ABCDA1B1C1D1 – куб. Вычислить углы, образованные плоскостями:

1) АВ1С1 и АВС.

План решения.

1. ÐВ1АВ - искомый угол.

2. tgφ, где ÐВ1АВ=φ.

Ответ: 45°.

 

 

 

 

2) ВВ1D1 и АВС.

План решения.

1. ÐАОD - искомый угол.

 

Ответ: 90°.

 

 

 

3) АВ1D1 и АВС.

План решения.

1. l – линия пересечения плоскостей АВ1D1

и АВС (l параллельна В1D1 или ВD).

2. ÐО1АО - искомый угол.

3. tgφ, гдеÐО1АО=φ.

Ответ:

 

 

4) АВ1D1 и ВB1D1.

План решения.

1.О1 – центр верхнего основания.

ÐAО1O - искомый угол.

2. tgφ, где ÐAО1O=φ.

Ответ:

5) DА1C1 и BА1С1.

План решения.

1. О1 – центр верхнего основания.

ÐBО1D - искомый угол

2. BD, O1D, cosφ (DBO1D), где ÐBО1D =φ.

Ответ:

Замечание. Можно воспользоваться DОО1D (рис. 222) и найти .

Ответ:

 

 

6) C1ВD и А А1С1.

План решения.

1. А1С1 ^ C1ВD (задача №22, с.20)

2. C1ВD ^ А А1С1.

Ответ: 90°.

 

7) АВ1D и С В1D.

План решения.

1.Построения: АР ^ B1D, РС.

2. АР=РС, РС ^ B1D.

3. ÐАРС – искомый.

4. АР (из прямоугольного треугольника

AB1D, используя площадь).

5. АС.

6. cosφ, где ÐАРС =φ

(по теореме косинусов).

Ответ: φ=120°, угол между плоскостями 60°.

№19. Дан правильный тетраэдр. Вычислить угол, образованный:

1) плоскостями граней тетраэдра;

План решения.

1. Построения: О – центр основания;

АК, РК;

2. ОК, РК выразить через ребро

тетраэдра а;

3. cosφ, где ÐSKO=φ.

Ответ: .

Все другие углы, образованные плоскостями граней тетраэдра равны найденному углу.

 

2) плоскостью, проходящей через две

апофемы тетраэдра и плоскость основания;

План решения.

1. Построения: SM, SK – апофемы,

SMK – данная плоскость.

P - середина MK, SP ^ MK, NP ^ MK,

ÐSPN – искомый.

2. SP, NP, SN выразить через ребро

тетраэдра а;

3. По теореме косинусов cosφ, где

ÐSPN=φ.

Ответ:

3) плоскостью, проходящей через две

апофемы тетраэдра и плоскостью

боковой грани, не содержащей их;

План решения.

1. Построения: SK, SР – апофемы,

SРK – данная плоскость.

l – линия пересечения плоскости SРK и

грани ASC, l || AC.

MS ^ l, NS ^ l, ÐMSN – искомый.

2. SN, NM, SM выразить через ребро

тетраэдра а;

3. По теореме косинусов cosφ, где

ÐMSN=φ.

Ответ:

 

4) плоскостями двух сечений, являющихся квадратами;

 

План решения.

1. Построения: MNPK, LNFK – сечения квадраты (рис. 228, 229). Они образованы средними линиями граней – треугольников.

Рис. 230. О – середина NK. ОМ ^ NK, OF. ÐMOF – искомый.

2. Проверить равенство MF2 = OM2 + OF2. Сделать вывод.

Ответ: 90°.

№20(устно). Две плоскости пересекаются. Какой угол образуют между собой плоскости биссекторов этих углов?

Определение. Биссектором двугранного угла называется полуплоскость, которая делит данный угол на два равных по величине угла.

 

На рисунке α, β – данные плоскости,

τ 12 – биссекторные плоскости.

 

 

№ 21 (устно). В треугольной пирамиде РАВС ребро РВ перпендикулярно плоскости грани АВС. Треугольник АВС равносторонний. Назвать угол между плоскостями:

1) РАВ и РВС (рис. 232); 2) РАС и ВАС (рис. 232); 3) РАС и РВС (рис. 233).

 

Ответ: 1) ÐАВС; 2) ÐРКВ; 3) ÐАLC.

№ 22 (устно). В основании четырёхугольной пирамиды РАВСD квадрат АВСD, ребро РВ перпендикулярно основанию. Назвать угол между плоскостями:

1) PAD и АВС; 2) PCD и АВС; 3) PAD и PCD.

 

 

 

Ответ: 1) Ð РАВ; 2) Ð РСВ. 3) Ð АКС.

 

 

4) PAD и PCВ.

 

Ответ: Ð АРВ.

 

 

№ 23. Основанием пирамиды служит квадрат. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания, а две другие образуют с ней двугранные углы, каждый из которых равен α. Высота пирамиды равна Н. Определить боковую поверхность пирамиды.

План решения.

1. АВ ^ AD, PA ^ AD: ÐРАВ= α.

2. Аналогично ÐРСВ= α.

3. РB, AB, SDAPB.

4. SDAPB=SDCPB.

5. AP.

6. DAPD – прямоугольный. SDAPD.

7. SDAPD= SDCPD.

8. Sбоковой поверхности пирамиды.

Ответ:

№ 24. Основанием пирамиды служит прямоугольник, площадь которого равна S. Две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углами 30° и 60°. Найти объём пирамиды.

 

 

План решения.

1. Пусть АВ = а. Выразить РВ через а.

2. Пусть ВС = в. Выразить РВ через в.

3. Выразить РВ через S (перемножить

результаты, полученные в (1) и (2)).

4. Найти объём пирамиды.

Ответ:

№ 25. Основанием пирамиды служит ромб со стороной а. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания и образуют между собой тупой угол β, две другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом α. Найти боковую поверхность пирамиды.

План решения.

1. Построения: ВК ^ AD, SK; BP ^ DC, SP.

2. ВК.

3. SВ.

4. SDSAB.

5. SК, SDSAD.

6. SDSAB= SDB, SDSAD= SDSСD.

7. Sбоковой поверхности пирамиды.

Ответ:

№ 26. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна с. Боковая грань, проходящая через катет, прилежащий к острому углу α перпендикулярна к основанию, а две другие боковые грани наклонены к основанию под углом α. Определить объём пирамиды.

 

План решения.

1. Построения:

1.1. PО ^ BC, PО ^ ABC.

PО – высота пирамиды;

1.2. ОК ^ АВ, РК.

2. ÐРСО – угол между гранями АРС и АВС.

ÐРКО – угол между гранями АРВ и АВС.

ÐРСО =ÐРКО =α=ÐАВС.

3. АС, ВС, SDABС.

4. Точка О равноудалена от сторон АВ и АС,

АО – биссектриса ÐА.

5. ОС. 6. ОР. 7.VPABC.

Ответ:

№ 27. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна с, а острый угол α. Боковая грань, проходящая через гипотенузу перпендикулярна к основанию, а две другие боковые грани наклонены к основанию под углом α. Определить объём пирамиды.

План решения.

1. Построения:

1.1. PО ^ АB, PО ^ ABC.

PО – высота пирамиды;

1.2. ОК ^ АС, РК.

1.3. ОМ ^ ВС, РМ.

2. ÐРКО – угол между гранями АРС и АВС.

ÐРМО – угол между гранями CРВ и АВС.

ÐРКО =ÐРМО =α=ÐABC.

3. АС, ВС, SDABС.

4. СО – биссектриса ÐС.

5. ОМ=МС=х. 6. DВОM~DВАС. 7. Найти х из пропорциональности сторон.

8. ОР. 9. VPABC.

Ответ:

№ 28. Основанием пирамиды служит параллелограмм ABCD с площадью m2, у которого диагональ BD перпендикулярна стороне AD. Двугранные углы при рёбрах AB и CD равны 60°, а при рёбрах AD и BC равны 45°. Найти боковую поверхность пирамиды.

Рассмотрим фрагмент данной конфигурации (рис. 242).

Пусть РО – высота пирамиды.

КМ – перпендикуляр к противоположным сторонам параллелограмма АВ и DС (ОÎКМ).

Так как ÐРКМ=ÐРМК, то точка О равноудалена от сторон АВ и DC.

 

Аналогично BD – перпендикуляр к противоположным сторонам параллелограмма AD и BC (рис. 243) и из равенства углов PDB и PBD следует, что точка О равноудалена от сторон AD и BC.

Свойством равноудалённости от противоположных сторон параллелограмма обладает точка пересечения его диагоналей (как центр симметрии). Таким образом, основание высоты пирамиды точка О – середина BD.

 

 

План решения.

1. AD×BD = m 2.

2. BD= .

3. AD×PD= .

4. DAPD – прямоугольный.

5. S DAPD= =SDBPC.

6. KM×DC=m2. 7. KM=PM. 8. PM×DC=m2. 9. S DPDC= m2=SDAPB.

10. Sбоковой поверхности пирамиды.

Ответ:

№ 29. Высота правильной четырёхугольной призмы равна Н. Через концы трёх рёбер, выходящих из одной вершины, проведена плоскость образующая с основанием угол α. Найти боковую поверхность призмы.

План решения.

1. Построения: АВ1С, ÐВ1ОВ = α.

2. ОВ. 3. АВ. 4. Sбоковой поверхности призмы.

Ответ:

№ 30. Через сторону основания, правильной четырёхугольной призмы проведено сечение, равновеликое боковой грани. Найти угол j, образованный сечением с плоскостью основания, если сторона основания призмы равна а, а высота h.

План решения.

1. АМND – прямоугольник

2. ÐNDC – угол между плоскостью сечения и

плоскостью основания, ÐNDC=j.

3. DD1=DN.

4. cosj.

Ответ:

 

 

№ 31. Боковое ребро прямой треугольной призмы равно в, через сторону АС основания АВС проведено сечение АDС, площадь которого равна q. Найти объём призмы, если плоскость сечения образует с плоскостью основания угол α.

План решения.

1. Построения: ADP, BP ^ AC, DP.

DPB=Ðβ.

2.SDADC= .q =

3. Выразить PD через РВ.

4. Подставить в формулу площади сечения

и выразить площадь основания.

5.Vпризмы.

Ответ:

№ 32. В правильной треугольной призме сторона основания равна 4 см, боковое ребро равно . В призме проведено сечение через вершину основания параллельно противоположной стороне основания под углом 45°к плоскости основания. Найти поверхность большей части призмы.

 

 

План решения.

1.Построения:

1.1. КРВ – сечение.

1.2. l – линия пересечения плоскости сечения и основания призмы,

(l || КР).

1.3. О1 – середина КР.

О1В ^ l, ВО ^ l (О- центр АВС).

1.4. ÐО1 ВО = 45°.

2. О1В1. 3. КВ1. 4. Поверхность меньшей части призмы ( .

5. Поверхность призмы. 6. О1В. 7. S DKBP. 8. Поверхность большей части призмы.

Ответ:

№ 33. Основанием наклонной призмы служит равнобедренный треугольник. Боковая грань призмы, проходящая через основание а равнобедренного треугольника, - квадрат и образует с двумя другими боковыми гранями углы, каждый из которых равен α. Найти боковую поверхность призмы.

План решения.

1. Построения: РВ^ВВ1, РС^СС1.

ÐCВР – угол между гранями ВВ1С1С и

А А1В1В.

Аналогично, ÐРCВ – угол между гранями

ВВ1С1С и А А1С1С.

ÐCВР=ÐРCВ=α.

2. ВРС – перпендикулярное сечение. 3. РВ (DВРС). 4. Р(DВРС). 5.ВВ1.

6. Sбоковой поверхности призмы.

Ответ:

№ 34. Боковое ребро наклонной призмы равно в, а площадь её основания равна S. Определить объём призмы, если известно, что плоскость, перпендикулярная к боковым рёбрам призмы, образует с плоскостью основания угол α.

План решения.

1. Построения:

1.1. ВР ^ АА1, РС.

Плоскость ВРС ^ АА1.

1.2. АК ^ ВС, РК, ÐАКР=α. Доказать.

1.3. А1О ^АВС. А1О Ì А1АК. Доказать.

2. Ð А1АО = ÐАКР=α.

3. А1О. 4. Vпризмы. Ответ: bScosα.

№ 35. Правильная четырёхугольная призма пересечена плоскостью так, что в сечении получился ромб с острым углом α. Найти угол j плоскости сечения с плоскостью основания призмы.

План решения.

1. Построения (рис. 251).

1.1 О – точка пересечения диагоналей

призмы.

1.2. Прямая l: ОÎ l, l || АС, точки М, Р.

1.3. В1N = DD2.

1.4. MNPD2 – сечение.

2. Доказать MNPD2 – ромб

(параллелограмм с перпендикулярными

диагоналями).

3. ÐND2B2 =j. Доказать. (На чертеже n – линия пересечения плоскости сечения и плоскости А2В2С2D2, параллельной основанию призмы).

4. Пусть МР= а, тогда B2D2 = а. 5. Выразить ND2 через а. 6. cos j.

Ответ:

Свойства некоторых углов

Теорема о трёх косинусах

№ 36. К плоскостиравностороннего треугольника АВС со стороной а через вершину А проведён перпендикуляр, на котором отложен отрезок AZ длиной а. Найти тангенс угла между прямыми AВ и ZC.

План решения.

1.Построения.

Прямая р: СÎр, р || AB.

2. ZС – наклонная, АС –проекция,

р – прямая в плоскости.

В обозначениях теоремы о трёх

косинусах

ÐZCA=α, ÐACK=β, ÐZCK=γ

γ – искомый угол.

3. Угол α. 4. Угол β. 5. cos γ (по теореме о трёх косинусах). 6. sinγ, tgγ.

Ответ:

№ 37.Проекция равностороннего треугольника на плоскость, проходящую через его сторону, является прямоугольным треугольником. Найти угол между стороной данного треугольника и плоскостью проекций.

План решения.

1. Построения:

ВО^τ, ÐВСО – искомый.

2. ÐВСА, ÐОСА.

3. ВС – наклонная, ОС –

проекция, АС прямая.

cosÐВСО (по теореме о трёх

косинусах).

Ответ: 45°.

 

№ 38.Непересекающиеся диагонали двух смежных боковых граней прямоугольного параллелепипеда наклонены к плоскости основания под углами j1 и j2. Найти угол между этими диагоналями.

План решения.

Рассмотрим плоскость боковой грани АА1В1В, прямая AD1 – наклонная к этой плоскости, АА1- её проекция, АВ1 – прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной.

1.

, (в обозначениях

теоремы о трёх косинусах)

2. 3. 4. cos γ. 5. γ.

Ответ:

№ 39.Высота правильной треугольной призмы равна h. Через одно из рёбер основания и противоположную ему вершину другого основания проведена плоскость. Найти площадь получившейся в сечении фигуры, если угол её при взятой вершине призмы равен 2j.

План решения.

1. СС1 – наклонная к плоскости

основания призмы, СВ – проекция,

АС – прямая. В обозначениях

теоремы о трёх косинусах

ÐС1СВ=α, ÐАСВ=β, ÐС1СА=γ

2. Выразить ÐС1СА через 2j.

3. cos α. 4. sin α. 5. СС1.

6. Sсечения.

Ответ:

№ 40. Плоский угол при вершине правильной шестиугольной пирамиды равен углу между боковым ребром и плоскостью основания. Найти этот угол.

План решения.

1. ÐSDE.

2. ÐODE.

3. В обозначениях теоремы о трёх косинусах

ÐSDE=γ, ÐODE=β, ÐSDO=α,

где SD – наклонная к плоскости основания

пирамиды, OD – её проекция, DE - прямая.

Составить уравнение ( ).

4. Решить уравнение относительно .

Ответ: .

№ 41. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна h, а плоский угол при вершине равен 2j. Определить площадь боковой поверхности пирамиды.

План решения.

1. ÐPCD.

2. ÐOCD.

3. cosÐPCO (по теореме о трёх косинусах):

РС – наклонная, ОС – проекция, DC – прямая.

4. sinÐPCO.

5. PC.

6. SDDPC.

7. Sбоковой поверхности пирамиды.

Ответ:

Теорема о биссектрисе угла

№ 42.Прямые АВ и АС взаимно перпендикулярны, а прямая АD составляет с каждой из них угол 60°. Найти угол между прямой АD и плоскостью AВC.

План решения.

1.Построения: DO ^ ADC, ÐDAO –

искомый.

2. АО – биссектриса ÐСАВ.

3. cosÐDAO по теореме о трёх косинусах.

Ответ: 45°

 

№ 43. Длины рёбер параллелепипеда равны а, в и с. Рёбра, длины которых а и в взаимно перпендикулярны, а ребро длиной с образует с каждым из них угол 60°. Определить объём параллелепипеда.

План решения.

1. Построения: А1О ^ АВС.

2. АО – биссектриса ÐВАС.

3. cosÐA1AO (по теореме о трёх

косинусах), sinÐA1AO.

4. A1O.

5. SDABC.

6. Vпризмы.

Ответ:

№ 44. Основанием призмы ABCA1B1C1 служит правильный треугольник АВС со стороной а. Вершина А1 проектируется в центр нижнего основания, а ребро АА1 наклонено к плоскости основания под углом в 60°. Определить боковую поверхность призмы.

 

План решения.

 

1. Построения: ВР^АА1, РС.

2. ÐА1АВ=ÐА1АС.

3. РВ. 4. АО. 5. АА1. 6.

7. .

8. ВВ1С1С – прямоугольник.

9. 10. Sбоковой поверхности призмы.

 

Ответ: .

 

№ 45. Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб ABCD со стороной, равной а, и с острым углом 60°. Ребро АА1 также равно а и образует с рёбрами АВ и AD углы 45°. Определить объём параллелепипеда.

План решения.

1. Построения: А1О ^ АВСD.

2. О Î АС.

3. cos ÐА1АО ( по теореме о трёх

косинусах), sin ÐА1АО.

4. А1О.

5. SABCD.

6. Vпризмы.

Ответ:

 

 

№ 46. Все грани призмы – равные ромбы со стороной а и острым углом α. Найти объём призмы.

Решение задачи аналогично решению задачи №45.

 

Ответ: , который можно привести к виду .

№ 47. Основанием параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 служит квадрат со стороной а, боковые ребра параллелепипеда равны в. Боковое ребро АА1 образует с пересекающими его сторонами острые углы, равные j. Найти площади диагональных сечений АА1С1С и ВВ1D1D параллелепипеда.

План решения.

1. Построения.

1.1. А1Р ^ АВСD.

1.2. Диагональные сечения.

2. А1Р ^ АС. Доказать.

3. cos ÐА1АР ( по теореме о трёх

косинусах), sin ÐА1АО.

4. А1Р. 5. АС. 6. Площадь АА1С1С.

7. ВВ1D1D – прямоугольник. Доказать.

8. Площадь ВВ1 D1D.

Ответ:

№ 48. Основанием наклонного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 служит прямоугольник ABCD, стороны которого равны а и в. Боковое ребро АА1 равно с и составляет с плоскостью основания угол 45°, а с прилегающими сторонами основания AB и AD равные острые углы. Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда.

 

 

План решения.

1. cosÐA1AD (по теореме о трёх

косинусах), sin ÐА1АD.

2. Площадь грани AA1D1D.

3. Площадь грани AA1В1В.

4. Боковая поверхность призмы.

Ответ:

№ 49.В треугольной пирамиде все боковые рёбра и два ребра основания равны а. Угол между равными рёбрами основания равен α. Определить объём пирамиды.

План решения.

1. ÐSAC=ÐSAB, АО – биссектриса ÐА.

2. cosÐSAO (по теореме о трёх

косинусах), sin ÐSAO.

3. SO.

4. SDABC.

5. VSABC.

Ответ:

№ 50. Боковые рёбра треугольной пирамиды имеют одинаковую длину и равны а.Из трёх плоских углов, образованных этими рёбрами при вершине пирамиды, два содержат по 45°, а третий – 60°. Определить объём пирамиды.

 

 

 

План решения.

1. Расположить данную пирамиду так, чтобы её основанием была грань РАВ, а вершиной точка С (рис. 266).

2. Построения: ОС ^ РАВ.

3. О Î РК, где РК – биссектриса ÐР.

4. cos ÐСРО ( по теореме о трёх косинусах), sin ÐCPО.

5. СО. 6. Площадь DАРВ. 7. Объём пирамиды. Ответ:


Последнее изменение этой страницы: 2016-04-19; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 35.173.35.159 (0.012 с.)