Угол между прямой и плоскостью

 

№1 (устно). На рисунке 192 изображён прямоугольный параллелепипед. Занумерованные углы запишите как углы между прямой и плоскостью.

№2. ABCDA₁B₁C₁D₁ – куб. Вычислить углы, которые образуют:

1) DC₁ c плоскостями граней куба (устно);

 

Обозначим угол, образованный данной

прямой с гранью ABCD (A ₁B₁C₁D₁) α, с

гранью АА₁В₁В (DD₁C₁C) β, с гранью

АА₁D₁D (BB₁C₁C) γ.

Ответ: α =45°, β=0°,γ=45°.

 

 

2) DВ₁ c плоскостями граней куба (устно);

 

 

Воспользуемся обозначениями пункта (1).

 

Ответ: α =β=γ=arctg .

 

 

3)A₁D с плоскостью АВ₁С ₁;

 

План решения.

1. А₁О ^ АВ₁С ₁,

OD– проекция A₁D на плоскость АВ₁С₁.

ÐА₁DO=α – искомый.

2. DА₁DO – прямоугольный.

3. А₁О, A₁D выразить через ребро куба.

4. sinα.

Ответ: 30°.

 

 

4) A₁С с плоскостью АВ₁С ₁;

 

План решения

1. А₁О ^ АВ₁С ₁, СО₁^ АВ₁С ₁,

OО₁– проекция A₁С на плоскость АВ₁С ₁.

ÐА₁КO = α – искомый.

2. DА₁КO – прямоугольный.

3. А₁О, ОК выразить через ребро куба.

4. tg α.

Ответ: arctg .

5) A₁D с плоскостью ВС ₁D;

План решения

1. А₁С ^ ВС₁D, OD – проекция A₁D на

плоскость ВС₁D;

ÐА₁DO = α – искомый.

2. DА₁DO – прямоугольный.

3. А₁D, ОD выразить через ребро куба.

4. cos α.

Ответ: arccos .

6) В₁D с плоскостью ВС₁D;

 

План решения

1. А₁С ^ ВС₁D, РО ^ ВС₁D,

где Р – точка пересечения А₁С и В₁D;

OD – проекция В₁D на плоскость ВС₁D;

ÐРDO = α – искомый.

2. DРDO – прямоугольный.

3. РD, ОD выразить через ребро куба. 4. cos α. Ответ: arccos .

7) В₁С с плоскостью ВС₁D;

 

План решения

1. А₁С ^ ВС₁D, OР – проекция В₁С на

плоскость ВС ₁D;

ÐСРО = α – искомый.

2. DDPС – прямоугольный.

3. РС, DC выразить через ребро куба.

4. tg α.

Ответ: arctg .

Замечание. Можно рассмотреть DОPС, выразить через ребро куба ОР и РС и найти cos α. Тогда α = .

№ 3. РАВС – правильный тетраэдр. Вычислить угол φ, который составляют:

1) ребро с плоскостью грани, в которой оно не лежит;

План решения.

Рассмотреть ребро АР и плоскость грани АВС.

1. РО^АВС; АР– наклонная, АО – проекция,

ÐРАО=φ.

2. Выразить АО через ребро пирамиды а.

3. cos φ.

Ответ: .

Все другие рёбра образуют с гранями тетраэдра такие же углы.

 

 

2) апофема боковой грани с плоскостью

основания;

План решения.

Рассмотреть апофему РК.

1. РО^АВС; РК – наклонная, ОК – проекция, ÐРКО=φ.

2. Выразить ОК и РК через ребро тетраэдра а.

3. cos φ Ответ: .

3) высота пирамиды с плоскостью

боковой грани;

План решения.

Рассмотреть высоту РО.

1. ОF^РК, ОF^СРВ.

2. ОР – наклонная, PF – проекция,

ÐОРF=φ=ÐОРК.

3. Выразить ОК и РК через ребро

тетраэдра а.

4. sin φ. Ответ: .

№4. Отрезок длиной 20 см пересекает плоскость. Концы его находятся на расстоянии 6 см и 4 см от плоскости. Найти угол между данным отрезком и плоскостью.

План решения.

1. DАА₁О~DВВ₁О.

2. АО.

3. sin ÐAOA₁.

Ответ: 30°.

№ 5. Отрезок АВ имеет длину 1 и упирается концами в две перпендикулярные плоскости α и β, причём АÎα, ВÎβ. Прямая АВ образует с плоскостью α угол φ_1, а с плоскостью β угол φ₂. Найти длины проекций отрезка АВ на каждую из плоскостей и на прямую их пересечения.

План решения.

1. Построения: АО₁^ l, BО₂^ l.

2. АО₁^β, ВО₂^α.

3. ВО₁ (DАВО₁).

4. АО₂ (DАВО₂).

5. АО₁ (DАВО₁), АО₂ (DАВО₂).

6.О₁О₂.

Ответ: .

№6. Измерения прямоугольного параллелепипеда 3 см, 4 см, 5 см. Найти углы, образуемые его диагоналями с гранями.

План решения.

1. α – угол, образованный диагональю В₁D

с гранью ABCD.

β– угол, образованный диагональю В₁D

с гранью AA₁B₁B.

γ– угол, образованный диагональю В₁D

с гранью BB₁CC₁.

2. B₁D.

3.sin α. 4. sin β. 5. sin γ.

Ответ: 45°, , .

№7. Определить объём прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого равна l и составляет с одной гранью угол 30°, а с другой 45°.

 

План решения.

1. ÐВ₁DB=30°, ÐАВ₁D=45°.

2. ВВ₁, BD.

3. АD.

4. AB.

5. V .

Ответ: .

№8. Основание прямого параллелепипеда - ромб со стороной 3 см; диагонали параллелепипеда образуют с основанием углы в 30° и 45°. Найти высоту параллелепипеда и углы ромба.

План решения.

Пусть высота параллелепипеда равна h.

1. Выразить BD и ОD через h.

2. Выразить АС и АО через h.

3. Составить и решить относительно h

уравнение (DAOD).

4. АО, OD.

5. cos ÐOAD, cosÐODA (или синус, или

тангенс).

6. ÐOAD, ÐODA.

7. ÐВAD, ÐСDA.

Ответ: 3 см, 60°, 120°.

№9. Рёбра прямоугольного параллелепипеда относятся как 3:4:12. Через большее ребро проведено диагональное сечение. Найти синус угла между плоскостью этого сечения и не лежащей в ней диагональюпараллелепипеда.

 

План решения.

1. Построения:

В₁М ^ А₁ С₁, В₁М ^ АА₁ С₁С,

DN ^ AC, DN ^ АА₁ С₁С,

MN – проекция B₁D на АА₁ С₁С.

Ð j - искомый.

2. Пусть х – общая мера измерений

параллелепипеда.

Выразить В₁М, B₁О через х.

3. sin Ðj (D ОB₁M).

Ответ:

№10. В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁, боковое ребро которой равно стороне основания, найти угол между диагональю АВ₁ и плоскостью АА₁С₁С.

План решения.

1.Построения: В₁К^А₁С₁, АК.

2. К –середина А₁С₁, В₁К^ АА₁С₁С.

3. В₁К.

4. АВ₁.

5. sinj.

Ответ: .

№11. Высота прямой призмы АВСА₁В₁С₁ равна 12. Основание призмы - DАВС, в котором АВ=АС, ВС=18, tgC=0,4. Найти тангенс угла между прямой АС₁ и плоскостью ВВ₁С₁.

 

 

План решения.

1. Построения: АР^СВ. АР^ ВВ₁С₁.

Ðj - искомый.

2. РС.

3. tg C, AP.

4. C₁P.

5.tg j.

Ответ: 0,24.

№12. ABCD – квадрат, СМ – перпендикуляр к плоскости квадрата. Определить угол наклона прямой МВ к плоскости МАС.

План решения.

1. АМС^ABCD, ВО^АС: ВО^АМС.

2. МО - проекция ВМ на АМС.

3. ÐВМО – искомый.

Ответ: ÐВМО.

 

№13. ABC – треугольник, О – центр окружности, описанной около треугольника ABC. OS – перпендикуляр к плоскости треугольника. Определить угол наклона SO к плоскости АSC.

План решения.

1. Построения: ОР^ASC, SP, SK, AP,

CP, OP,OC.

2. SP – проекция SO на плоскостьASC.

3. SA=SC (равные наклонные равных

проекций). DASC-равнобедренный.

4. AP=CP (равные проекции равных наклонных).

5. Точка Р принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку АС, то есть

высоте SK в треугольникеASC.

Вывод: угол наклона SO к плоскости АSC j =ÐOSK.

Замечание. Рассуждения не изменятся, если в условии задачи 13 заменить треугольник на любой многоугольник, около которого можно описать окружность (прямоугольник, в частности, квадрат, равнобокую трапецию и другие).

№14. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна h и составляет угол φ с плоскостью боковой грани. Найти полную поверхность пирамиды.

План решения.

1. ÐOSP=j (задача 10).

2. ОР, SP.

3. AD.

4. S_{полной поверхности}.

Ответ:

 

№15. Основанием пирамиды SABCD является квадрат ABCD. Точка М делит отрезок АВ в отношении 3:1, считая от точки А, прямая SM перпендикулярна плоскости основания. Найти тангенс угла между ребром SC и плоскостью основания, если ребро SD образует с плоскостью основания угол α.

План решения.

Пусть сторона основания равна а.

1.Выразить MD через а.

2. Выразить SM через а.

3. Выразить МС через а.

4.tgÐSCM.

Ответ:

№ 16. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны рёбра: АВ= , SC=17. Найти угол, образованный плоскостью основания и прямой АМ, где М точка пересечения медиан грани SBC.

План решения.

1. Построения.

1.1. SO ^ ABC.

1.2. MF || SO.

1.3. ÐMAF- искомый.

2. AD. 3. OD. 4. DF. 5. AF.

6. OC. 7. SO. 8. MF. 9. tgÐMAF.

Ответ: .

 

№17. В треугольной пирамиде РАВС построено сечение АМK, площадь которого равна S. Ребро АР равно 3 и составляет с плоскостью сечения угол α. Найти объём пирамиды РАКМ.

План решения.

1. Высота пирамиды РO. (Без построения

ясно, что РО = АРsin α).

2. V_РAВC.

Ответ: S×sinα.

 

 

Угол между плоскостями

№18. ABCDA₁B₁C₁D₁ – куб. Вычислить углы, образованные плоскостями:

1) АВ₁С₁ и АВС.

План решения.

1. ÐВ₁АВ - искомый угол.

2. tgφ, где ÐВ₁АВ=φ.

Ответ: 45°.

 

 

 

 

2) ВВ₁D₁ и АВС.

План решения.

1. ÐАОD - искомый угол.

 

Ответ: 90°.

 

 

 

3) АВ₁D₁ и АВС.

План решения.

1. l – линия пересечения плоскостей АВ₁D₁

и АВС (l параллельна В₁D₁ или ВD).

2. ÐО₁АО - искомый угол.

3. tgφ, гдеÐО₁АО=φ.

Ответ:

 

 

4) АВ₁D₁ и ВB₁D₁.

План решения.

1.О₁ – центр верхнего основания.

ÐAО₁O - искомый угол.

2. tgφ, где ÐAО₁O=φ.

Ответ:

5) DА₁C₁ и BА₁С₁.

План решения.

1. О₁ – центр верхнего основания.

ÐBО₁D - искомый угол

2. BD, O₁D, cosφ (DBO₁D), где ÐBО₁D =φ.

Ответ:

Замечание. Можно воспользоваться DОО₁D (рис. 222) и найти .

Ответ:

 

 

6) C₁ВD и А А₁С₁.

План решения.

1. А₁С₁ ^ C₁ВD (задача №22, с.20)

2. C₁ВD ^ А А₁С₁.

Ответ: 90°.

 

7) АВ₁D и С В₁D.

План решения.

1.Построения: АР ^ B₁D, РС.

2. АР=РС, РС ^ B₁D.

3. ÐАРС – искомый.

4. АР (из прямоугольного треугольника

AB₁D, используя площадь).

5. АС.

6. cosφ, где ÐАРС =φ

(по теореме косинусов).

Ответ: φ=120°, угол между плоскостями 60°.

№19. Дан правильный тетраэдр. Вычислить угол, образованный:

1) плоскостями граней тетраэдра;

План решения.

1. Построения: О – центр основания;

АК, РК;

2. ОК, РК выразить через ребро

тетраэдра а;

3. cosφ, где ÐSKO=φ.

Ответ: .

Все другие углы, образованные плоскостями граней тетраэдра равны найденному углу.

 

2) плоскостью, проходящей через две

апофемы тетраэдра и плоскость основания;

План решения.

1. Построения: SM, SK – апофемы,

SMK – данная плоскость.

P - середина MK, SP ^ MK, NP ^ MK,

ÐSPN – искомый.

2. SP, NP, SN выразить через ребро

тетраэдра а;

3. По теореме косинусов cosφ, где

ÐSPN=φ.

Ответ:

3) плоскостью, проходящей через две

апофемы тетраэдра и плоскостью

боковой грани, не содержащей их;

План решения.

1. Построения: SK, SР – апофемы,

SРK – данная плоскость.

l – линия пересечения плоскости SРK и

грани ASC, l || AC.

MS ^ l, NS ^ l, ÐMSN – искомый.

2. SN, NM, SM выразить через ребро

тетраэдра а;

3. По теореме косинусов cosφ, где

ÐMSN=φ.

Ответ:

 

4) плоскостями двух сечений, являющихся квадратами;

 

План решения.

1. Построения: MNPK, LNFK – сечения квадраты (рис. 228, 229). Они образованы средними линиями граней – треугольников.

Рис. 230. О – середина NK. ОМ ^ NK, OF. ÐMOF – искомый.

2. Проверить равенство MF² = OM² + OF². Сделать вывод.

Ответ: 90°.

№20 (устно). Две плоскости пересекаются. Какой угол образуют между собой плоскости биссекторов этих углов?

Определение. Биссектором двугранного угла называется полуплоскость, которая делит данный угол на два равных по величине угла.

 

На рисунке α, β – данные плоскости,

τ ₁,τ₂ – биссекторные плоскости.

 

 

№ 21 (устно). В треугольной пирамиде РАВС ребро РВ перпендикулярно плоскости грани АВС. Треугольник АВС равносторонний. Назвать угол между плоскостями:

1) РАВ и РВС (рис. 232); 2) РАС и ВАС (рис. 232); 3) РАС и РВС (рис. 233).

 

Ответ: 1) ÐАВС; 2) ÐРКВ; 3) ÐАLC.

№ 22 (устно). В основании четырёхугольной пирамиды РАВСD квадрат АВСD, ребро РВ перпендикулярно основанию. Назвать угол между плоскостями:

1) PAD и АВС; 2) PCD и АВС; 3) PAD и PCD.

 

 

 

Ответ: 1) Ð РАВ; 2) Ð РСВ. 3) Ð АКС.

 

 

4) PAD и PCВ.

 

Ответ: Ð АРВ.

 

 

№ 23. Основанием пирамиды служит квадрат. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания, а две другие образуют с ней двугранные углы, каждый из которых равен α. Высота пирамиды равна Н. Определить боковую поверхность пирамиды.

План решения.

1. АВ ^ AD, PA ^ AD: ÐРАВ= α.

2. Аналогично ÐРСВ= α.

3. РB, AB, S_DAPB.

4. S_DAPB=S_DCPB.

5. AP.

6. DAPD – прямоугольный. S_DAPD.

7. S_DAPD= S_DCPD.

8. S_{боковой поверхности пирамиды}.

Ответ:

№ 24. Основанием пирамиды служит прямоугольник, площадь которого равна S. Две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углами 30° и 60°. Найти объём пирамиды.

 

 

План решения.

1. Пусть АВ = а. Выразить РВ через а.

2. Пусть ВС = в. Выразить РВ через в.

3. Выразить РВ через S (перемножить

результаты, полученные в (1) и (2)).

4. Найти объём пирамиды.

Ответ:

№ 25. Основанием пирамиды служит ромб со стороной а. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания и образуют между собой тупой угол β, две другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом α. Найти боковую поверхность пирамиды.

План решения.

1. Построения: ВК ^ AD, SK; BP ^ DC, SP.

2. ВК.

3. SВ.

4. S_DSAB.

5. SК, S_DSAD.

6. S_DSAB= S_DSСB, S_DSAD= S_DSСD.

7. S_{боковой поверхности пирамиды}.

Ответ:

№ 26. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна с. Боковая грань, проходящая через катет, прилежащий к острому углу α перпендикулярна к основанию, а две другие боковые грани наклонены к основанию под углом α. Определить объём пирамиды.

 

План решения.

1. Построения:

1.1. PО ^ BC, PО ^ ABC.

PО – высота пирамиды;

1.2. ОК ^ АВ, РК.

2. ÐРСО – угол между гранями АРС и АВС.

ÐРКО – угол между гранями АРВ и АВС.

ÐРСО =ÐРКО =α=ÐАВС.

3. АС, ВС, S_DABС.

4. Точка О равноудалена от сторон АВ и АС,

АО – биссектриса ÐА.

5. ОС. 6. ОР. 7.V_PABC.

Ответ:

№ 27. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна с, а острый угол α. Боковая грань, проходящая через гипотенузу перпендикулярна к основанию, а две другие боковые грани наклонены к основанию под углом α. Определить объём пирамиды.

План решения.

1. Построения:

1.1. PО ^ АB, PО ^ ABC.

PО – высота пирамиды;

1.2. ОК ^ АС, РК.

1.3. ОМ ^ ВС, РМ.

2. ÐРКО – угол между гранями АРС и АВС.

ÐРМО – угол между гранями CРВ и АВС.

ÐРКО =ÐРМО =α=ÐABC.

3. АС, ВС, S_DABС.

4. СО – биссектриса ÐС.

5. ОМ=МС= х. 6. DВОM~DВАС. 7. Найти х из пропорциональности сторон.

8. ОР. 9. V_PABC.

Ответ:

№ 28. Основанием пирамиды служит параллелограмм ABCD с площадью m ², у которого диагональ BD перпендикулярна стороне AD. Двугранные углы при рёбрах AB и CD равны 60°, а при рёбрах AD и BC равны 45°. Найти боковую поверхность пирамиды.

Рассмотрим фрагмент данной конфигурации (рис. 242).

Пусть РО – высота пирамиды.

КМ – перпендикуляр к противоположным сторонам параллелограмма АВ и DС (ОÎКМ).

Так как ÐРКМ=ÐРМК, то точка О равноудалена от сторон АВ и DC.

 

Аналогично BD – перпендикуляр к противоположным сторонам параллелограмма AD и BC (рис. 243) и из равенства углов PDB и PBD следует, что точка О равноудалена от сторон AD и BC.

Свойством равноудалённости от противоположных сторон параллелограмма обладает точка пересечения его диагоналей (как центр симметрии). Таким образом, основание высоты пирамиды точка О – середина BD.

 

 

План решения.

1. AD×BD = m ².

2. BD= .

3. AD×PD= .

4. DAPD – прямоугольный.

5. S _DAPD= =S_DBPC.

6. KM×DC= m ². 7. KM=PM. 8. PM×DC= m ². 9. S _DPDC= m ²=S_DAPB.

10. S_{боковой поверхности пирамиды}.

Ответ:

№ 29. Высота правильной четырёхугольной призмы равна Н. Через концы трёх рёбер, выходящих из одной вершины, проведена плоскость образующая с основанием угол α. Найти боковую поверхность призмы.

План решения.

1. Построения: АВ₁С, ÐВ₁ОВ = α.

2. ОВ. 3. АВ. 4. S_{боковой поверхности призмы}.

Ответ:

№ 30. Через сторону основания, правильной четырёхугольной призмы проведено сечение, равновеликое боковой грани. Найти угол j, образованный сечением с плоскостью основания, если сторона основания призмы равна а, а высота h.

План решения.

1. АМND – прямоугольник

2. ÐNDC – угол между плоскостью сечения и

плоскостью основания, ÐNDC=j.

3. DD₁=DN.

4. cosj.

Ответ:

 

 

№ 31. Боковое ребро прямой треугольной призмы равно в, через сторону АС основания АВС проведено сечение АDС, площадь которого равна q. Найти объём призмы, если плоскость сечения образует с плоскостью основания угол α.

План решения.

1. Построения: ADP, BP ^ AC, DP.

DPB=Ðβ.

2. S_DADC= . q =

3. Выразить PD через РВ.

4. Подставить в формулу площади сечения

и выразить площадь основания.

5.V_призмы.

Ответ:

№ 32. В правильной треугольной призме сторона основания равна 4 см, боковое ребро равно . В призме проведено сечение через вершину основания параллельно противоположной стороне основания под углом 45°к плоскости основания. Найти поверхность большей части призмы.

 

 

План решения.

1. Построения:

1.1. КРВ – сечение.

1.2. l – линия пересечения плоскости сечения и основания призмы,

(l || КР).

1.3. О₁ – середина КР.

О₁В ^ l, ВО ^ l (О- центр АВС).

1.4. Ð О₁ ВО = 45°.

2. О₁В₁. 3. КВ₁. 4. Поверхность меньшей части призмы (.

5. Поверхность призмы. 6. О₁В. 7. S _DKBP. 8. Поверхность большей части призмы.

Ответ:

№ 33. Основанием наклонной призмы служит равнобедренный треугольник. Боковая грань призмы, проходящая через основание а равнобедренного треугольника, - квадрат и образует с двумя другими боковыми гранями углы, каждый из которых равен α. Найти боковую поверхность призмы.

План решения.

1. Построения: РВ^ВВ₁, РС^СС₁.

ÐCВР – угол между гранями ВВ₁С₁С и

А А₁В₁В.

Аналогично, ÐРCВ – угол между гранями

ВВ₁С₁С и А А₁С₁С.

ÐCВР=ÐРCВ=α.

2. ВРС – перпендикулярное сечение. 3. РВ (DВРС). 4. Р_(DВРС). 5.ВВ₁.

6. S_{боковой поверхности призмы}.

Ответ:

№ 34. Боковое ребро наклонной призмы равно в, а площадь её основания равна S. Определить объём призмы, если известно, что плоскость, перпендикулярная к боковым рёбрам призмы, образует с плоскостью основания угол α.

План решения.

1. Построения:

1.1. ВР ^ АА₁, РС.

Плоскость ВРС ^ АА₁.

1.2. АК ^ ВС, РК, ÐАКР=α. Доказать.

1.3. А₁О ^АВС. А₁О Ì А₁АК. Доказать.

2. Ð А₁АО = ÐАКР=α.

3. А₁О. 4. V_призмы. Ответ: b Scosα.

№ 35. Правильная четырёхугольная призма пересечена плоскостью так, что в сечении получился ромб с острым углом α. Найти угол j плоскости сечения с плоскостью основания призмы.

План решения.

1. Построения (рис. 251).

1.1 О – точка пересечения диагоналей

призмы.

1.2. Прямая l: ОÎ l, l || АС, точки М, Р.

1.3. В₁N = DD₂.

1.4. MNPD₂ – сечение.

2. Доказать MNPD₂ – ромб

(параллелограмм с перпендикулярными

диагоналями).

3. ÐND₂B₂ =j. Доказать. (На чертеже n – линия пересечения плоскости сечения и плоскости А₂В₂С₂D₂, параллельной основанию призмы).

4. Пусть МР= а, тогда B₂D₂ = а. 5. Выразить ND₂ через а. 6. cos j.

Ответ:

Свойства некоторых углов

Теорема о трёх косинусах

№ 36. К плоскостиравностороннего треугольника АВС со стороной а через вершину А проведён перпендикуляр, на котором отложен отрезок AZ длиной а. Найти тангенс угла между прямыми AВ и ZC.

План решения.

1.Построения.

Прямая р: СÎ р, р || AB.

2. ZС – наклонная, АС –проекция,

р – прямая в плоскости.

В обозначениях теоремы о трёх

косинусах

ÐZCA=α, ÐACK=β, ÐZCK=γ

γ – искомый угол.

3. Угол α. 4. Угол β. 5. cos γ (по теореме о трёх косинусах). 6. sinγ, tgγ.

Ответ:

№ 37. Проекция равностороннего треугольника на плоскость, проходящую через его сторону, является прямоугольным треугольником. Найти угол между стороной данного треугольника и плоскостью проекций.

План решения.

1. Построения:

ВО^τ, ÐВСО – искомый.

2. ÐВСА, ÐОСА.

3. ВС – наклонная, ОС –

проекция, АС – прямая.

cosÐВСО (по теореме о трёх

косинусах).

Ответ: 45°.

 

№ 38. Непересекающиеся диагонали двух смежных боковых граней прямоугольного параллелепипеда наклонены к плоскости основания под углами j₁ и j₂. Найти угол между этими диагоналями.

План решения.

Рассмотрим плоскость боковой грани АА₁В₁В, прямая AD₁ – наклонная к этой плоскости, АА₁- её проекция, АВ₁ – прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной.

1.

, (в обозначениях

теоремы о трёх косинусах)

2. 3. 4. cos γ. 5. γ.

Ответ:

№ 39. Высота правильной треугольной призмы равна h. Через одно из рёбер основания и противоположную ему вершину другого основания проведена плоскость. Найти площадь получившейся в сечении фигуры, если угол её при взятой вершине призмы равен 2j.

План решения.

1. СС₁ – наклонная к плоскости

основания призмы, СВ – проекция,

АС – прямая. В обозначениях

теоремы о трёх косинусах

ÐС₁СВ=α, ÐАСВ=β, ÐС₁СА=γ

2. Выразить ÐС₁СА через 2j.

3. cos α. 4. sin α. 5. СС₁.

6. S_{сечения}.

Ответ:

№ 40. Плоский угол при вершине правильной шестиугольной пирамиды равен углу между боковым ребром и плоскостью основания. Найти этот угол.

План решения.

1. ÐSDE.

2. ÐODE.

3. В обозначениях теоремы о трёх косинусах

ÐSDE=γ, ÐODE=β, ÐSDO=α,

где SD – наклонная к плоскости основания

пирамиды, OD – её проекция, DE - прямая.

Составить уравнение ().

4. Решить уравнение относительно .

Ответ: .

№ 41. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна h, а плоский угол при вершине равен 2j. Определить площадь боковой поверхности пирамиды.

План решения.

1. ÐPCD.

2. ÐOCD.

3. cosÐPCO (по теореме о трёх косинусах):

РС – наклонная, ОС – проекция, DC – прямая.

4. sinÐPCO.

5. PC.

6. S_DDPC.

7. S_{боковой поверхности пирамиды}.

Ответ:

Теорема о биссектрисе угла

№ 42. Прямые АВ и АС взаимно перпендикулярны, а прямая АD составляет с каждой из них угол 60°. Найти угол между прямой АD и плоскостью AВC.

План решения.

1.Построения: DO ^ ADC, ÐDAO –

искомый.

2. АО – биссектриса ÐСАВ.

3. cosÐDAO по теореме о трёх косинусах.

Ответ: 45°

 

№ 43. Длины рёбер параллелепипеда равны а, в и с. Рёбра, длины которых а и в взаимно перпендикулярны, а ребро длиной с образует с каждым из них угол 60°. Определить объём параллелепипеда.

План решения.

1. Построения: А₁О ^ АВС.

2. АО – биссектриса ÐВАС.

3. cosÐA₁AO (по теореме о трёх

косинусах), sinÐA₁AO.

4. A₁O.

5. S_DABC.

6. V_призмы.

Ответ:

№ 44. Основанием призмы ABCA₁B₁C₁ служит правильный треугольник АВС со стороной а. Вершина А₁ проектируется в центр нижнего основания, а ребро АА₁ наклонено к плоскости основания под углом в 60°. Определить боковую поверхность призмы.

 

План решения.

 

1. Построения: ВР^АА₁, РС.

2. ÐА₁АВ=ÐА₁АС.

3. РВ. 4. АО. 5. АА₁. 6.

7. .

8. ВВ₁С₁С – прямоугольник.

9. 10. S_{боковой поверхности призмы}.

 

Ответ: .

 

№ 45. Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб ABCD со стороной, равной а, и с острым углом 60°. Ребро АА₁ также равно а и образует с рёбрами АВ и AD углы 45°. Определить объём параллелепипеда.

План решения.

1. Построения: А₁О ^ АВСD.

2. О Î АС.

3. cos ÐА₁АО (по теореме о трёх

косинусах), sin ÐА₁АО.

4. А₁О.

5. S_ABCD.

6. V_призмы.

Ответ:

 

 

№ 46. Все грани призмы – равные ромбы со стороной а и острым углом α. Найти объём призмы.

Решение задачи аналогично решению задачи №45.

 

Ответ: , который можно привести к виду .

№ 47. Основанием параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ служит квадрат со стороной а, боковые ребра параллелепипеда равны в. Боковое ребро АА₁ образует с пересекающими его сторонами острые углы, равные j. Найти площади диагональных сечений АА₁С₁С и ВВ₁D₁D параллелепипеда.

План решения.

1. Построения.

1.1. А₁Р ^ АВСD.

1.2. Диагональные сечения.

2. А₁Р ^ АС. Доказать.

3. cos ÐА₁АР (по теореме о трёх

косинусах), sin ÐА₁АО.

4. А₁Р. 5. АС. 6. Площадь АА₁С₁С.

7. ВВ₁D₁D – прямоугольник. Доказать.

8. Площадь ВВ₁ D₁D.

Ответ:

№ 48. Основанием наклонного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ служит прямоугольник ABCD, стороны которого равны а и в. Боковое ребро АА₁ равно с и составляет с плоскостью основания угол 45°, а с прилегающими сторонами основания AB и AD равные острые углы. Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда.

 

 

План решения.

1. cosÐA₁AD (по теореме о трёх

косинусах), sin ÐА₁АD.

2. Площадь грани AA₁D₁D.

3. Площадь грани AA₁В₁В.

4. Боковая поверхность призмы.

Ответ:

№ 49. В треугольной пирамиде все боковые рёбра и два ребра основания равны а. Угол между равными рёбрами основания равен α. Определить объём пирамиды.

План решения.

1. ÐSAC=ÐSAB, АО – биссектриса ÐА.

2. cosÐSAO (по теореме о трёх

косинусах), sin ÐSAO.

3. SO.

4. S_DABC.

5. V_SABC.

Ответ:

№ 50. Боковые рёбра треугольной пирамиды имеют одинаковую длину и равны а. Из трёх плоских углов, образованных этими рёбрами при вершине пирамиды, два содержат по 45°, а третий – 60°. Определить объём пирамиды.

 

 

 

План решения.

1. Расположить данную пирамиду так, чтобы её основанием была грань РАВ, а вершиной точка С (рис. 266).

2. Построения: ОС ^ РАВ.

3. О Î РК, где РК – биссектриса ÐР.

4. cos ÐСРО (по теореме о трёх косинусах), sin ÐCPО.

5. СО. 6. Площадь DАРВ. 7. Объём пирамиды. Ответ: