Перпендикулярность прямой и плоскости.

№ 5 (устно). ABCDA₁B₁C₁D₁ – куб. Как построить прямую, которая проходит: 1) через точку С и перпендикулярна прямой С₁D; 2) через точку С₁ и перпендикулярна прямой BD? Ответы обосновать.

Ответы.

1)CD₁^C₁D; BC^C₁D.

 

2) C₁O^BD; C₁C^BD.

№ 6. Если даны две прямые такие, что одна из них параллельна, а другая перпендикулярна к плоскости, то они перпендикулярны. Доказать.

Дано:

Доказать:

План доказательства.

1. Существует прямая

2.

3.

№ 7. Точки А и В являются проекциями точки М на плоскости граней двугранного угла. Докажите, что прямая АВ перпендикулярна к его ребру.

План доказательства.

1. с ^ АМ, с ^ ВМ.

2. с ^ МАВ.

3. с ^ АВ.

 

 

№8. Если две прямые перпендикулярны к одной и той же плоскости, то они параллельны. Доказать.

Доказательство приведено в учебниках [5, с. 36], [10, с. 29].

№ 9. Общая сторона АВ треугольников АМВ и АКВ лежит на данной плоскости. Проекции сторон АМ и АК на эту плоскость перпендикулярны АВ. Как расположены относительно друг друга АВ и плоскость МАК?

 

 

План решения.

1. Точки М₁, А, К₁ принадлежат

одной прямой.

2. Точки М₁, М, К, К₁

принадлежат одной плоскости α.

3. АВ ^ α.

4. АВ ^ МАК.

№ 10. Дан квадрат ABCD. О - точка пересечения его диагоналей, точка К не принадлежит плоскости квадрата, причём АК=ВК=СК=DК. Как расположена прямая АО относительно сторон треугольника ВКD?

План решения.

1. АО ^ BD.

2. AO ^ OK.

3. Вывод.

№ 11. Доказать, что плоскость, проходящая через высоту и апофему правильной пирамиды, перпендикулярна стороне основания.

План доказательства.

1. SK ^ AB.

2. OK ^ AB.

3. Вывод.

№ 12. Прямая ВМ перпендикулярна к плоскости прямоугольника ABCD. Доказать, что прямая, по которой пересекаются плоскости ADМ и ВСМ, перпендикулярна к плоскости АВМ.

План доказательства.

1. Пусть НК – линия пересечения

плоскостей ADМ и ВСМ. НК|| AD.

2. AD^AВM.

3. НК^AВM.

 

№ 13. Дано: ABCD – трапеция, АВ=СD,

О – центр окружности, описанной вокруг трапеции,

ОЕ^АВС. АЕ=10, ОЕ=8, ÐВАD=30°.

Найти: BD.

План решения.

1. DAEO – прямоугольный.

2. АО.

2. О – центр окружности,

описанной вокруг DABD.

3. BD (по теореме синусов).

 

№ 14. В основании пирамиды РАВСD лежит квадрат АВСD со стороной 6 см, а ребро РС перпендикулярно к основанию. Точка К лежит на боковом ребре АР и делит его в отношении 1: 2, считая от точки А. Найти расстояние от точки К до плоскости DPС.

 

 

План решения.

1.

2. HK || AD.

3. НК – искомое расстояние.

4. ~ ,

5. НК.

Ответ: 4.

 

№ 15. Через точки P и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости a и пересекающие её в точках Р₁ и Q₁ соответственно. Найти Р₁Q₁, если PQ=15см, PP₁=21,5 см, QQ₁=33,5 см.

План решения.

1. P₁PQQ₁ – трапеция.

2. Провести PR || P₁Q₁. P₁Q₁=PR.

3. QR.

4. PR.

5. P₁Q₁. Ответ: 9 см

№16. Точка М принадлежит грани ADС тетраэдра ABCD, у которого AB=BD, AC=CD. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М и перпендикулярной ребру AD.

План построения.

1. Точка О: АО=OD.

2. СО ^ АD.

3. KL: MÎ KL, KL||CO.

4. OB (OB^AD).

5. KP||OB.

6. LP.

7. LKP–искомое сечение. Доказать.

№ 17. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁В₁C₁D₁ и точка М, являющаяся внутренней точкой сечения АА₁С₁С. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку М и перпендикулярной: 1) прямой ВВ₁; 2) прямой ВС.

1) План построения.

1. FL: MÎ FL, FL || AC.

2. FK ||AB. 3.KL.

4. LH || DC.

5. FH

6. FKLH – искомое сечение Доказать.

 

 

2) План построения.

1. РТ: МÎ РТ, РТ || АА₁.

2. FH: ТÎ FH, FH || AB.

3. FKLH – искомое сечение. Доказать.

 

 

№ 18. Пусть АВСDA₁B₁C₁D₁ - куб. Построить сечение этого куба плоскостью, проходящей через вершину А и перпендикулярной:

1) BD.

План построения.

1. АС.

2. АА₁С₁С – искомое сечение. Доказать.

 

2) CD₁.

План построения.

1. С₁D.

2. AB₁C₁D– искомое сечение. Доказать.

 

 

3) С₁D.

План построения.

1. BA₁ D₁C ^ C₁D. Доказать.

2. APQD || BA₁CD₁.

3. AD – искомое сечение.

 

№ 19. Пусть РАВС – правильный тетраэдр, точка Q – центр его основания, точка К – середина ребра РС. Постройте его сечение плоскостью, проходящей:

 

1) через Q перпендикулярно АС.

 

 

План построения.

1. BQ

2. L – точка пересечения AC и BQ.

3. PLB – искомое сечение. Доказать.

 

2) через Q перпендикулярно РВ.

План построения.

 

1. LF: LF || AC, Q Î LF.

2. М – середина РВ.

3. FD || CM.

4. LDF – искомое сечение. Доказать.

 

 

3) через К перпендикулярно РС.

План построения.

1. АК.

2. КВ.

3. АКВ – искомое сечение. Доказать.

 

 

4) через К перпендикулярно АВ.

План построения.

1. CQ.

2. М – точка пересечения CQ и АВ.

3. МРС – искомое сечение. Доказать.

 

5) через Р перпендикулярно ВК.

План построения.

1. AO ^ CPM.

2. Прямая l: l || AO, PÎ l.

3. Плоскость a: PBÌ a и l Ì a.

4. РВ – искомое сечение. Доказать.