Признак параллельности прямых

Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой [5, с.11], [10, с.13].

Свойство параллельных прямых

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость [5, c. 10].

a || b, а пересекает плоскость α в точке М:

прямая в пересекает плоскость α.

 

 

Параллельность прямой и плоскости

Определения

1. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек [5, с.11].

2. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются, то есть не имеют общих точек [10, с.14].

 

 

Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна самой плоскости [5, с.12], [ 10, c.13].

Существует прямая в такая, что

в Ì α и в || a: a || α.

 

Параллельность плоскостей

Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, то есть не имеют общих точек. [5, с.20], [ 10, с.15].

 

 

Признак параллельности плоскостей

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны [5, с.20], [10, с.15].

Дополнительные признаки параллельности прямых

1. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой [5, с.12].

2. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны [5, с.21], [10, с.17].

 

Доказательства утверждений теоретической карты №1

Параллельность прямых

Доказательство признака параллельности прямых приводится в учебниках [5, с.11], [10, с.13].

Доказательство свойства параллельных прямых приводится в учебнике [5, с.10].

Параллельность прямой и плоскости

Доказательство признака параллельности прямой и плоскости приводится в учебниках [5, с.12], [10, с.14].

Параллельность плоскостей

Доказательство признака параллельности плоскостей приводится в учебниках [5, с.20, 21], [10, с.15].

Дополнительные признаки параллельности прямых

Доказательство первого дополнительного признака параллельности прямых приведено в учебнике [5, с.12].

Доказательство второго дополнительного признака параллельности прямых приводится в учебниках [5, с.35], [10, с.17].

Задачи к теоретической карте №1

Параллельность прямых

№ 1 ( устно ). На боковых гранях призмы отмечены точки М и N. Как через эти две точки провести два параллельных отрезка? Решить аналогичную задачу, заменив призму пирамидой.

 

№ 2 ( устно ). Дан параллелепипед. Доказать, что: а) для каждого его ребра в нём найдутся три ребра, ему параллельные (рис.13); б) для каждой диагонали его грани найдётся ей параллельная и равная диагональ в другой грани (рис. 14).

№ 3. Прямая в лежит в плоскости α и параллельна прямой а, не лежащей в этой плоскости. Через точку М плоскости α проведена прямая с, параллельная прямой а. Доказать, что прямая с лежит в плоскости α.

План доказательства.

 

№ 4. Даны два параллелограмма АВВ₁А₁ и АСС₁А₁ (рис. 16). Доказать,

что Δ АВС = Δ А₁В₁С₁.

План решения.

1. ВВ₁С₁С – параллелограмм.

2. Δ АВС= Δ А₁В₁С₁.

 

№ 5. Точка М находится вне плоскости параллелограмма ABCD. Найдутся ли параллельные средние линии у треугольников: а) МАВ и МАD;

б) МАВ и МСD?

План решения.

а)

1. Р₁- середина ребра DM,

Р₆- середина ребра DА,

Р₃- середина ребра MВ,

Р₅- середина ребра АВ.

2. Р₁ Р₆ || Р₃ Р₅.

б) Аналогично Р₁Р₂ || Р₄Р₃.

 

№ 6. Точка М лежит вне плоскости треугольника АВС. Точки К, Р, Е, F – середины отрезков МА, АВ, МС, ВС. Как расположены прямые КР и ЕF?

План решения.

1. Провести МВ.

2. КР||МВ, EF||MB.

3. КР|| EF.

№ 7. На рисунке 20 точки M, H, K, P – середины соответствующих отрезков AD и DC, BC и AB. Найти периметр четырёхугольника MHKP, если МР=8см, АС=32см.

 

План решения.

1. МНКР – параллелограмм.

2. РК.

3. Р_МНРК.

Ответ: 48 см.

 

№ 8. Даны четыре точки, A, B, C, D, не лежащие в одной плоскости. Доказать, что прямые, соединяющие середины отрезков AB и CD, AD и BC пересекаются в одной точке.

 

План решения.

1. Провести АС.

2. Доказать, что

NKMF – параллелограмм.

3. О – точка пересечения NM и KF.

 

 

№9. ABCDEF – замкнутая пространственная ломанная. Отрезки, соединяющие середины звеньев АВ и EF, ВС и ЕD, равны и параллельны. Параллельны ли звенья CD и AF?

 

 

План решения. 1. MKNP – параллелограмм. 2. AC || FD. 3. AC = FD. 4. FACD – параллелограмм. 5. Вывод.

№10. Треугольник ABC и трапеция KMNP имеют общую среднюю линию EF, причём KP || MN, EF || AC. Доказать, что

а) АС || KP; б) вычислить KP и MN, если КР:MN=3:5, АС=16 см.

План решения.

а) EF || KP, EF ||AC. Вывод.

б) 1. EF.

2. Выразить КР и MN через

переменную.

3. Составить и решить уравнение

Ответ: 6 см, 10 см.