II. Перпендикулярность в пространстве

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ КАРТА №2

Перпендикулярность прямых

Определения

1. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом [10, c. 25].

2. Скрещивающиеся прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90° [10, c.50].

(Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся прямым [10, c. 50]).

3. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°[5, c. 34].

Признаки перпендикулярности прямых

1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой [5, с. 34].

2. Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они перпендикулярны [10, с.25].

Перпендикулярность прямой и плоскости

Определения

1. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости [10, c.34].

2. Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения [10,с. 26].

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

1. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости [5, с. 36], [10, с. 26].

Перпендикулярность плоскостей

Определения

1. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым [10, с. 32].

2. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90° [5, с.52]. (Определение угла между плоскостями приведено на странице 73).

Признак перпендикулярности плоскостей

 

Если одна из плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны [5, с.49], [10, с. 33].

Дополнительный признак перпендикулярности прямых

Теорема о трёх перпендикулярах: если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна к её проекции на эту плоскость, то она перпендикулярна и к самой наклонной [5, c. 42], [10, c. 31].

Справедлива и обратная теорема: если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна к ней, то она перпендикулярна и к её проекции [5, c. 42], [10, c.31 ].

Обобщённая теорема о трёх перпендикулярах: любая прямая на плоскости, перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и наклонной [10, задача 33, с. 62].

 

Справедлива и обратная теорема: любая прямая на плоскости, перпендикулярная наклонной к этой плоскости, перпендикулярна и её проекции.

Дополнительные признаки перпендикулярности прямой и плоскости

1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости [5, с. 35], [10, с. 28].

2. Если прямая перпендикулярна к одной из параллельных плоскостей, то она п ерпендикулярна и к другой плоскости [5, с.40, задача 132], [8, с. 17].

 

3. Если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна их линии пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости [10, стр. 41, задача 58].

4. Линия пересечения двух плоскостей, перпендикулярных к третьей плоскости, есть перпендикуляр к этой плоскости [8,c. 24].

 

 

Дополнительные признаки перпендикулярности плоскостей

1. Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей [5, с. 49].

 

2. Если две плоскости параллельны и одна из них перпендикулярна к третьей плоскости, то и вторая перпендикулярна к ней.

Доказательства утверждений теоретической карты №2

Перпендикулярность прямых

Доказательство признака перпендикулярности прямых (1) приводится в учебнике Атанасяна [5,с. 34].

Доказательство признака перпендикулярности прямых (2) приводится в учебнике Погорелова [10, с.25]

Перпендикулярность прямой и плоскости

Доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости приводится в учебниках [5, с. 36], [10, с. 26].