Параллельность прямой и плоскости



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Параллельность прямой и плоскости



№11 (устно). Дан куб АВСDA1B1C1D1 (рис. 24).

1. Докажите, что а) DC параллельно плоскости грани АА1В1В;

б) АС параллельно плоскости А1C1D;

в) А1D параллельно плоскости грани ВВ1C1С.

2. Назовите все рёбра куба, параллельные плоскости основания.

3. Каким граням куба параллельно ребро АD?

4. М – середина ребра AD, N – середина ребра DC. Докажите, что MN параллельно плоскости диагонального сечения АА1С1С. Назовите все плоскости, проходящие через вершины куба, параллельные MN.

 

 

№12 (устно). Средняя линия трапеции лежит в плоскости α. Пересекают ли прямые, содержащие основания трапеции, плоскость α? Ответ обосновать.

 

Рис. 25

№13. Параллельна ли плоскость АSС прямой, проходящей через точки Р и Р1 пересечения медиан треугольников SАВ и SСВ ( рис. 26)? Ответ обосновать.

План решения.

1. Δ PBР1~ Δ MBM1.

2. РР1 || ММ1.

3. Вывод.

 

 

№14 (устно).Известно, что прямая параллельна плоскости. Параллельна ли она любой прямой в этой плоскости? Может ли данная прямая пересечь хотя бы одну из прямых плоскости?

№15 (устно).Будут ли параллельны две прямые, параллельные одной и той же плоскости?

№16.Плоскости α и β пересекаются по прямой с (рис. 27). Прямая р параллельна каждой из этих плоскостей. Докажите, что она параллельна прямой с.

План доказательства.

1. Существует прямая

2. а¢ || β.

3. а¢ || с.

4. р || с.

 

 

№17.Отрезки АА1, ВВ1, СС1 не лежат в одной плоскости и пересекаются в точке О, являющейся серединой каждого из них. Доказать, что прямая АВ параллельна плоскости А1СВ1.

План решения.

1. Δ АОВ= Δ А1ОВ1.

2. АВ || А1В1.

3. А1В1Ì А1СВ1.

3. Вывод.

 

№18.Объясните, почему кóзлы, на которых пилят брёвна обеспечивают горизонтальное положение бревна.

№ 19. В кубе АВСDA1B1C1D1 точка К1 – середина ребра АВ,

точка К2 – середина ребра АА1, точка К3 – середина ребра А1В1, точка К4 – середина ребра СС1, точка К5 – середина ребра СD. Как расположены между собой такие прямые и плоскости:

а) К2 К3 и К1К4К5;

План решения.

1. К2 К3 || К5 К4.

2. Вывод.

 

Ответ: К2 К3 || К1К4К5.

 

 

 

б) К1К4 и AB1D;

План решения.

Пусть точка О – середина АВ1.

1. ОС1 – линия пересечения сечения

АВ1С1D и К1К3С1С.

2. К1К4 || ОС1,

3. Вывод.

Ответ: К1К4 || AB1D.

 

 

в) В1К5 и К2К3К4;

 

План решения.

1. К3D || В1К5.

2. К3D пересекает плоскость К2К3К4.

3. Вывод.

Ответ: В1К5 пересекает плоскость К2К3К4.

 

 

г) BD и К2К3К5;

 

 

План решения.

1.Точка О (середина отрезка К3К5) –

центр симметрии куба.

2. MN || ВD,

3. MN пересекает плоскость К2К3К5.

4. Вывод.

Ответ: BD пересекает плоскость К2К3К5

 

 

№ 20. В правильной четырёхугольной пирамиде провести плоскость через диагональ основания параллельно боковому ребру. Сторона основания равна а, а боковое ребро равно в. Определить площадь полученного сечения.

 

 

 

План построения. План вычисления площади.

1. ОК || PD в плоскости BPD (рис. 33) 1. АС.

2. АК, КС. 2. Δ АКС – равнобедренный.

3. Δ АКС – искомое сечение. 3. ОК – высота Δ АКС.

4. Δ BPD ~ Δ BKO, k=2.

5. OK. 6.S Δ ABC.

Ответ: .

№ 21. Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, параллельной прямой AD, проходящей через вершину С и внутреннюю точку М ребра АВ. Найти площадь сечения, если каждое ребро тетраэдра имеет длину а и точка М делит ребро АВ пополам.

 

 

План построения. План вычисления.

1. MN || AD. 2. NC. 3.CM. 1. Вид сечения MNC.

4. MNC – искомое сечение. 2. NM. 3. МС. 4. РС. 5. SΔNMC.

Ответ:

№ 22. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S проведена плоскость, которая параллельна медиане основания BN и пересекает боковые ребра SA в точке К, а SB в точке L, причём SK= Вычислить, в каком отношении плоскость сечения делит ребро SC?

 

 

План построения.

1. Сечение BSN.

2. LT || BN (рис. 36).

3 .KT.

4. Точка Р – пересечение КТ и SC.

5. PL.

6. LK.

7. Δ LPK – искомое сечение.

 

 

План вычисления.

Рассмотреть грань пирамиды АSC.

Провести AR || KP, NQ || KP (рис. 37).

1. ST=

2. ST=TF=FN.

3. SP=PR=RQ.

4. RQ=QC.

5. SP=PR=RQ=QC.

6. SP: PC=1: 3.

 

Ответ: 1: 3.

 

 

№ 23. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка М принадлежит ребру SD. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки В, М и параллельной прямой АС.

 

План построения.

1. МВ (рис. 38).

2. О – точка пересечения SQ и МВ.

3. KF: OÎ KF и KF || AC (рис.39).

4. Сечение KMFB (рис.40).

 

№ 24.Пусть АВСA1B1C1 – правильная призма. Точка К – середина ребра АС. 1) Отметить точку L на ребре В1С1, такую, чтобы отрезок KL был параллелен грани АА1В1В. 2) Как вычислить длину LK, если рёбра призмы известны?

1) 2)

 

План построения. План вычисления. 1. Точка F – середина АВ. 1. КМ. 2. KL.

2. FB1.

3. Прямая р: р || FB1 и КÎ FB1.

4. L – точка пересечения прямой р и B1C1.

А
5. Доказать, что LК || АА1В1В.

№ 25 (устно). В правильной призме АВСА1В1С1 точка К – середина ребра ВВ1. Провести сечение призмы плоскостью, проходящей через точку К параллельно АС. Какое из них: а) параллельно В1С; б) параллельно А1В; в) имеет наибольшую площадь; г) имеет наименьшую площадь?

 

 

3.3.Параллельность плоскостей

№ 26(устно). Верно ли утверждение, что если плоскости α и β параллельны и прямая а лежит в плоскости α, то эта прямая параллельна плоскости β (рис. 47).

 

 

№ 27(устно). Доказать, что 1) противоположные грани параллелепипеда параллельны; 2) сечения параллелепипеда, проходящие через тройки его вершин А, В1, С и А1, С1, D, параллельны между собой. Сколько пар таких сечений можно провести?

 

№ 28(устно). Если две параллельные прямые одной плоскости параллельны двум прямым другой плоскости, то будут ли эти плоскости параллельны?

 

 

№ 29(устно).Верно ли утверждение: если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны?

№ 30(устно). Основание призмы - трапеция. Доказать, что призма имеет только одну пару параллельных боковых граней.

 

 

№ 31 (устно). Дан тетраэдр DABC. Точки М, N, P являются серединами ребер DA, DB, DC. Доказать, что плоскости MNP и ABC параллельны.

 

№ 32(устно). Две стороны треугольника параллельны плоскости α. Доказать, что и третья его сторона параллельна плоскости α.

 

 

№ 33. Три отрезка А1А2, В1В2 и С1С2, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Доказать, что плоскости А1В1С1 и А2В2С2 параллельны.

План доказательства.

1. DA1OB1=DA2OB2.

2. A1B1|| A2B2.

3. DA1OC1=DA2OC2.

4. A1C1|| A2C2.

5. Вывод.

В задачах №34- №35 выбираются два отрезка, лежащие на скрещивающихся прямых.

№ 34. Дана правильная треугольная пирамида. Построить два её параллельных сечения, проходящих через:

1) среднюю линию основания и среднюю линию боковой грани;

 

План построения.

MN, РQ – средние линии

1. МК || AD.

2. КN.

3. Плоскости MKN и ADC параллельны.

 

2) апофему и среднюю линию боковой грани;

План построения.

MN – средняя линия грани ADC,

DQ – апофема.

1. NP || DQ.

2. PM.

3. QC ||PM.

4. Плоскости PNM и QDC параллельны.

 

 

 

3) среднюю линию основания и медиану боковой грани;

План построения.

MN – средняя линия грани AВC,

DР –медиана боковой грани ADC.

1. ВDP.

2. Q – точка пересечения MN и BP.

3. QK || DP.

4. MKN.

5.Плоскости MKN и ADC параллельны.

 

4) медианы двух боковых граней;

План построения.

DM –медиана боковой грани ADC,

АК – медиана боковой грани AВD

1. BDM.

2. KP || DM.

3. AP.

4. Q – точка пересечения АР и ВС.

5. QK.

6. MN || AQ.

7. DN.

8. Плоскости КАQ и DMN параллельны.

 

 

5) высоту пирамиды и среднюю линию боковой грани;

План построения.

MN – средняя линия грани ADC,

DО – высота пирамиды.

1. APD.

2. NQ ||DO.

3. MQ.

4. K – точка пересечения

5. KN. 6. DE || NK. 7. EC

8.Плоскости KNM и DEC параллельны.

 

6) высоту пирамиды и медиану боковой грани.

План построения.

DO – высота пирамиды,

ВN – медиана боковой грани.

1. DAM.

2. NK || DO.

3. ВК.

4. F – точка пересечения ВК и АС.

5. FN.

6. QP || BF, OÎQP.

7. DQ.

8. Плоскости ВNF и DQP – параллельны.

№ 35.Пусть АВСDA1B1C1D1 - куб. Построить два его сечения, параллельных между собой и проходящие через:

1) АС и В1D1;

План построения.

1. А1С1.

2. BD.

3. Плоскости граней ABCD и A1B1C1D1

параллельны.

2) АС и С1D;

План построения.

1. АВ1. 2. В1С.

3. А1С1. 4. А1D.

5. Плоскости АСВ1 и С1DА параллельны.

 

 

3) АС и В1D;

План построения.

1. OK ||B1D.

2. AK. 3. KC.

4. MN || AC.

5. Q – точка пересечения MN и В1D.

6. MB1. 7. B1N. 8. ND. 9. DM.

10.Плоскости треугольника АКС и четырёхугольника MB1ND параллельны.

 

 

4) АС и О1О2, где О1 и О2 – центры граней

АА1В1В и А1В1С1D1.

План построения.

1.А1С1. 2. А1В. 3. С1В.

4. АС. 5. АD1. 6. CD1.

7. Плоскости А1С1В и АСD1

параллельны.

№ 36. В правильном тетраэдре с ребром а DO – высота тетраэдра. Точка М – середина DO. 1) Провести через точку М сечение, параллельное плоскости ACD. 2) Вычислить периметр и площадь сечения.

План построения.

1. P – точка пересечения ВО и АС.

2. Плоскость BDP.

3. RQ || DP, MÎRQ.

4. KN || AC, QÎ KN.

5. RK.

6. RN.

7. Сечение KRN параллельно грани ADC.

2) 1. D KRN ~ D ADC. 2. Коэффициент подобия k=RQ : DP. 3. РDC.

4. РDKRN. 5. S DC. 6. SDKRN.

Ответ:



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-19; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.229.142.91 (0.01 с.)