Параллельность прямой и плоскости

№11 ( устно ). Дан куб АВСDA₁B₁C₁D₁ (рис. 24).

1. Докажите, что а) DC параллельно плоскости грани АА₁В₁В;

б) АС параллельно плоскости А₁C₁D;

в) А₁D параллельно плоскости грани ВВ₁C₁С.

2. Назовите все рёбра куба, параллельные плоскости основания.

3. Каким граням куба параллельно ребро АD?

4. М – середина ребра AD, N – середина ребра DC. Докажите, что MN параллельно плоскости диагонального сечения АА₁С₁С. Назовите все плоскости, проходящие через вершины куба, параллельные MN.

 

 

№12 ( устно ). Средняя линия трапеции лежит в плоскости α. Пересекают ли прямые, содержащие основания трапеции, плоскость α? Ответ обосновать.

 

Рис. 25

№13. Параллельна ли плоскость АSС прямой, проходящей через точки Р и Р₁ пересечения медиан треугольников SАВ и SСВ (рис. 26)? Ответ обосновать.

План решения.

1. Δ PBР₁~ Δ MBM₁.

2. РР₁ || ММ₁.

3. Вывод.

 

 

№14 ( устно ). Известно, что прямая параллельна плоскости. Параллельна ли она любой прямой в этой плоскости? Может ли данная прямая пересечь хотя бы одну из прямых плоскости?

№15 ( устно ). Будут ли параллельны две прямые, параллельные одной и той же плоскости?

№16. Плоскости α и β пересекаются по прямой с (рис. 27). Прямая р параллельна каждой из этих плоскостей. Докажите, что она параллельна прямой с.

План доказательства.

1. Существует прямая

2. а¢ || β.

3. а¢ || с.

4. р || с.

 

 

№17. Отрезки АА₁, ВВ₁, СС₁ не лежат в одной плоскости и пересекаются в точке О, являющейся серединой каждого из них. Доказать, что прямая АВ параллельна плоскости А₁СВ₁.

План решения.

1. Δ АОВ= Δ А₁ОВ₁.

2. АВ || А₁В₁.

3. А₁В₁Ì А₁СВ₁.

3. Вывод.

 

№18. Объясните, почему кóзлы, на которых пилят брёвна обеспечивают горизонтальное положение бревна.

№ 19. В кубе АВСDA₁B₁C₁D₁ точка К₁ – середина ребра АВ,

точка К₂ – середина ребра АА₁, точка К₃ – середина ребра А₁В₁, точка К₄ – середина ребра СС₁, точка К₅ – середина ребра СD. Как расположены между собой такие прямые и плоскости:

а) К₂ К₃ и К₁К₄К₅;

План решения.

1. К₂ К₃ || К₅ К₄.

2. Вывод.

 

Ответ: К₂ К₃ || К₁К₄К₅.

 

 

 

б) К₁К₄ и AB₁D;

План решения.

Пусть точка О – середина АВ₁.

1. ОС₁ – линия пересечения сечения

АВ₁С₁D и К₁К₃С₁С.

2. К₁К₄ || ОС₁,

3. Вывод.

Ответ: К₁К₄ || AB₁D.

 

 

в) В₁К₅ и К₂К₃К₄;

 

План решения.

1. К₃D || В₁К₅.

2. К₃D пересекает плоскость К₂К₃К₄.

3. Вывод.

Ответ: В₁К₅ пересекает плоскость К₂К₃К₄.

 

 

г) BD и К₂К₃К₅;

 

 

План решения.

1.Точка О (середина отрезка К₃К₅) –

центр симметрии куба.

2. MN || ВD,

3. MN пересекает плоскость К₂К₃К₅.

4. Вывод.

Ответ: BD пересекает плоскость К₂К₃К₅

 

 

№ 20. В правильной четырёхугольной пирамиде провести плоскость через диагональ основания параллельно боковому ребру. Сторона основания равна а, а боковое ребро равно в. Определить площадь полученного сечения.

 

 

 

План построения. План вычисления площади.

1. ОК || PD в плоскости BPD (рис. 33) 1. АС.

2. АК, КС. 2. Δ АКС – равнобедренный.

3. Δ АКС – искомое сечение. 3. ОК – высота Δ АКС.

4. Δ BPD ~ Δ BKO, k =2.

5. OK. 6.S _{Δ ABC}.

Ответ: .

№ 21. Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, параллельной прямой AD, проходящей через вершину С и внутреннюю точку М ребра АВ. Найти площадь сечения, если каждое ребро тетраэдра имеет длину а и точка М делит ребро АВ пополам.

 

 

План построения. План вычисления.

1. MN || AD. 2. NC. 3.CM. 1. Вид сечения MNC.

4. MNC – искомое сечение. 2. NM. 3. МС. 4. РС. 5. S_ΔNMC.

Ответ:

№ 22. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S проведена плоскость, которая параллельна медиане основания BN и пересекает боковые ребра SA в точке К, а SB в точке L, причём SK= Вычислить, в каком отношении плоскость сечения делит ребро SC?

 

 

План построения.

1. Сечение BSN.

2. LT || BN (рис. 36).

3.KT.

4. Точка Р – пересечение КТ и SC.

5. PL.

6. LK.

7. Δ LPK – искомое сечение.

 

 

План вычисления.

Рассмотреть грань пирамиды АSC.

Провести AR || KP, NQ || KP (рис. 37).

1. ST =

2. ST=TF=FN.

3. SP=PR=RQ.

4. RQ=QC.

5. SP=PR=RQ=QC.

6. SP: PC=1: 3.

 

Ответ: 1: 3.

 

 

№ 23. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка М принадлежит ребру SD. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки В, М и параллельной прямой АС.

 

План построения.

1. МВ (рис. 38).

2. О – точка пересечения SQ и МВ.

3. KF: OÎ KF и KF || AC (рис.39).

4. Сечение KMFB (рис.40).

 

№ 24. Пусть АВСA₁B₁C₁ – правильная призма. Точка К – середина ребра АС. 1) Отметить точку L на ребре В₁С₁, такую, чтобы отрезок KL был параллелен грани АА₁В₁В. 2) Как вычислить длину LK, если рёбра призмы известны?

1) 2)

 

План построения. План вычисления. 1. Точка F – середина АВ. 1. КМ. 2. KL.

2. FB₁.

3. Прямая р: р || FB₁ и КÎ FB₁.

4. L – точка пересечения прямой р и B₁C₁.

А

5. Доказать, что LК || АА₁В₁В.

№ 25 ( устно ). В правильной призме АВСА₁В₁С₁ точка К – середина ребра ВВ₁. Провести сечение призмы плоскостью, проходящей через точку К параллельно АС. Какое из них: а) параллельно В₁С; б) параллельно А₁В; в) имеет наибольшую площадь; г) имеет наименьшую площадь?

 

 

3.3.Параллельность плоскостей

№ 26 (устно). Верно ли утверждение, что если плоскости α и β параллельны и прямая а лежит в плоскости α, то эта прямая параллельна плоскости β (рис. 47).

 

 

№ 27 (устно). Доказать, что 1) противоположные грани параллелепипеда параллельны; 2) сечения параллелепипеда, проходящие через тройки его вершин А, В₁, С и А₁, С₁, D, параллельны между собой. Сколько пар таких сечений можно провести?

 

№ 28 (устно). Если две параллельные прямые одной плоскости параллельны двум прямым другой плоскости, то будут ли эти плоскости параллельны?

 

 

№ 29 (устно). Верно ли утверждение: если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны?

№ 30 (устно). Основание призмы - трапеция. Доказать, что призма имеет только одну пару параллельных боковых граней.

 

 

№ 31 (устно). Дан тетраэдр DABC. Точки М, N, P являются серединами ребер DA, DB, DC. Доказать, что плоскости MNP и ABC параллельны.

 

№ 32 (устно). Две стороны треугольника параллельны плоскости α. Доказать, что и третья его сторона параллельна плоскости α.

 

 

№ 33. Три отрезка А₁А₂, В₁В₂ и С₁С₂, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Доказать, что плоскости А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ параллельны.

План доказательства.

1. DA₁OB₁=DA₂OB₂.

2. A₁B₁|| A₂B₂.

3. DA₁OC₁=DA₂OC₂.

4. A₁C₁|| A₂C₂.

5. Вывод.

В задачах №34- №35 выбираются два отрезка, лежащие на скрещивающихся прямых.

№ 34. Дана правильная треугольная пирамида. Построить два её параллельных сечения, проходящих через:

1) среднюю линию основания и среднюю линию боковой грани;

 

План построения.

MN, РQ – средние линии

1. МК || AD.

2. КN.

3. Плоскости MKN и ADC параллельны.

 

2) апофему и среднюю линию боковой грани;

План построения.

MN – средняя линия грани ADC,

DQ – апофема.

1. NP || DQ.

2. PM.

3. QC ||PM.

4. Плоскости PNM и QDC параллельны.

 

 

 

3) среднюю линию основания и медиану боковой грани;

План построения.

MN – средняя линия грани AВC,

DР –медиана боковой грани ADC.

1. ВDP.

2. Q – точка пересечения MN и BP.

3. QK || DP.

4. MKN.

5.Плоскости MKN и ADC параллельны.

 

4) медианы двух боковых граней;

План построения.

DM –медиана боковой грани ADC,

АК – медиана боковой грани AВD

1. BDM.

2. KP || DM.

3. AP.

4. Q – точка пересечения АР и ВС.

5. QK.

6. MN || AQ.

7. DN.

8. Плоскости КАQ и DMN параллельны.

 

 

5) высоту пирамиды и среднюю линию боковой грани;

План построения.

MN – средняя линия грани ADC,

DО – высота пирамиды.

1. APD.

2. NQ ||DO.

3. MQ.

4. K – точка пересечения

5. KN. 6. DE || NK. 7. EC

8.Плоскости KNM и DEC параллельны.

 

6) высоту пирамиды и медиану боковой грани.

План построения.

DO – высота пирамиды,

ВN – медиана боковой грани.

1. DAM.

2. NK || DO.

3. ВК.

4. F – точка пересечения ВК и АС.

5. FN.

6. QP || BF, OÎQP.

7. DQ.

8. Плоскости ВNF и DQP – параллельны.

№ 35. Пусть АВСDA₁B₁C₁D₁ - куб. Построить два его сечения, параллельных между собой и проходящие через:

1) АС и В₁D₁;

План построения.

1. А₁С₁.

2. BD.

3. Плоскости граней ABCD и A₁B₁C₁D₁

параллельны.

2) АС и С₁D;

План построения.

1. АВ₁. 2. В₁С.

3. А₁С₁. 4. А₁D.

5. Плоскости АСВ₁ и С₁DА параллельны.

 

 

3) АС и В₁D;

План построения.

1. OK ||B₁D.

2. AK. 3. KC.

4. MN || AC.

5. Q – точка пересечения MN и В₁D.

6. MB₁. 7. B₁N. 8. ND. 9. DM.

10.Плоскости треугольника АКС и четырёхугольника MB₁ND параллельны.

 

 

4) АС и О₁О₂, где О₁ и О₂ – центры граней

АА₁В₁В и А₁В₁С₁D₁.

План построения.

1.А₁С₁. 2. А₁В. 3. С₁В.

4. АС. 5. АD₁. 6. CD₁.

7. Плоскости А₁С₁В и АСD₁

параллельны.

№ 36. В правильном тетраэдре с ребром а DO – высота тетраэдра. Точка М – середина DO. 1) Провести через точку М сечение, параллельное плоскости ACD. 2) Вычислить периметр и площадь сечения.

План построения.

1. P – точка пересечения ВО и АС.

2. Плоскость BDP.

3. RQ || DP, MÎRQ.

4. KN || AC, QÎ KN.

5. RK.

6. RN.

7. Сечение KRN параллельно грани ADC.

2) 1. D KRN ~ D ADC. 2. Коэффициент подобия k= RQ: DP. 3. Р_DАDC.

4. Р_DKRN. 5. S _DАDC. 6. S_DKRN.

Ответ: