И определение углов наклона ее к плоскостям проекций

На плоскости проекций отрезок прямой общего положения проецируется с искажением. Для решения метрических задач необходимо определить натуральную величину отрезка прямой или угол наклона его к основным плоскостям проекций. Существует несколько методов определения натуральной величины отрезка прямой.

2.4.2.1. Способ прямоугольного треугольника

Установлена зависимость между действительной (натуральной) величиной отрезка и его проекциями. На основании этой зависимости выведено правило прямоугольного треугольника, из которого следует, что для определения действительной величины отрезка прямой, на эпюре достаточно построить прямоугольный треугольник у которого за один катет берется проекция отрезка (фронтальная или горизонтальная), а другим катетом является величина отрезка, равная разности расстояний концов этого отрезка до одной из плоскостей проекций V или Н. Действительной величиной отрезка является гипотенуза построенного треугольника, а угол между гипотенузой и проекцией этого отрезка является углом наклона его плоскости к плоскостям проекций V или Н. В зависимости от того, на какой из проекций выполняется построение, именно, к той плоскости проекций определяется угол наклона плоскости треугольника.

Если необходимо определить ∠ α отрезка прямой, прямоугольный треугольник строят, используя горизонтальную проекцию отрезка

Если необходимо определить ∠ β отрезка прямой, прямоугольный треугольник строят, используя фронтальную проекцию отрезка.

Если по условию задачи требуется определить только натуральную величину отрезка общего положения, то для решения задачи можно использовать любую из проекций.

Рассмотрим несколько типовых задач, связанных с использованием этого метода.

 

Задача 1. Определить длину отрезка прямой АВ и угол наклона его к горизонтальной плоскости проекций Н (∠α _АВ) (рис. 29).

Решение. Необходимо проанализировать графическое и словесное условие задачи:

1. Графический анализ проводится относительно осей проекций: отрезок прямой АВ занимает общее положение, т. к. ни одна проекция отрезка прямой не является характерной (параллельной или перпендикулярной оси Х). Следовательно, ни одна проекция отрезка не дает нам натуральной величины данного отрезка непосредственно на чертеже.

2. Словесное условие говорит о том, что дополнительные построения необходимо выполнять на горизонтальной проекции отрезка, т. к. требуется найти угол наклона отрезка к горизонтальной плоскости проекций – ∠α _{АВ .}В этом случае прямоугольный треугольник нужно строить, принимая за один его катет горизонтальную проекцию аb.

Далее, графические построения выполняются по приведенному ниже плану.

Порядок выполнения графической части задачи:

1. Проводим луч [ а) ⊥ [ аb ] (либо из точки b).

2. Находим величину второго катета – | аА _о| = Z_А – Z_В = ∆ Z (разность удаления концов отрезка до горизонтальной плоскости проекций).

3. Гипотенуза А _о b равна натуральной величине отрезка АВ | AB | = | A _o b | = 40 мм.

4. Угол между гипотенузой | A _o b | и проекцией | ab | является углом наклона отрезка АВ к плоскости проекций Н – α _АВ.

 

Рис. 29. Определение ∠α _АВ Рис. 30. Определение ∠β _СD

 

Задача 2. Определить угол наклона отрезка СD к плоскости проекций V (рис. 30).

Решение. Анализ условия задачи аналогичен задаче, рассмотренной выше.

При определении угла наклона отрезка прямой к плоскости проекций V прямоугольный треугольник нужно строить, принимая за один его катет фронтальную проекцию данного отрезка, а величина второго катета представляет собой разность расстояний концов отрезка до фронтальной плоскости проекций, т. е. разница координат Y.

Порядок выполнения графической части задачи:

1. Проводим луч [ c') ⊥ [ c'd' ] (либо из точки d ').

2. Откладываем на луче [ c') величину второго катета | c'C _o| = Y_С – Y_D = ∆ Y.

3. Гипотенуза C _o d' с отрезком c'd' образует ∠β, являющийся углом наклона [ CD ] к плоскости проекций V – ∠β _СD.

Задача 3. Построить прямую АВ, найти ее следы с плоскостями проекций V и H, определить длину отрезка АВ и углы наклона его к плоскостям проекций V и Н (рис. 31).

Исходные данные: А (10; – 30; 40); В (70; 50; – 10).

Решение.

1. По координатам построить фронтальные a', b' и горизонтальные a, b проекции точек А и В.

2. Построить фронтальную a'b' и горизонтальную ab проекции отрезка прямой АВ. Удобно для дальнейших построений обозначить отрезок прямой АВ буквой L.

3. Находим следы прямой L, как было указано выше (рис. 31):

 

l ' ∩ V = L_V, l ∩ Н = L_H.

 

Через точку L_V прямая уходит во ΙΙ октант, а через точку L_H она уходит в ΙV октант.

4. Определяем длину | AB | и углы наклона к плоскостям проекций α и β (методом прямоугольного треугольника).

Получаем:

 

| B _o b' | = Y_B – (– Y_А) = Y_A + Y_B; | B _o b | = Z_А – (– Z_В) = Z_А + Z_В; | AB | = | a'B _o| = | aB _o| = 114 мм

 

∠ a ' = L ^ V = β_o; ∠ a = L ^ H = α_o

 

 

Рис. 31. Решение задачи 3

 

Задача 4. Построить горизонтальную проекцию отрезка АВ, если угол наклона его к фронтальной плоскости проекций равен 30º (рис. 32).

 

 

Рис. 32. Решение задачи 4 Рис. 33. Решение задачи 5

Решение. Анализируем графическое условие задачи:

Для решения этой задачи воспользуемся методом прямоугольного треугольника. Дана фронтальная проекция отрезка АВ. В прямоугольном треугольнике эта проекция будет являться катетом, второй катет выстраивается перпендикулярно проекции. Угол наклона отрезка к плоскости проекций (в данном случае фронтальной) располагается между катетом (проекцией) и гипотенузой треугольника.

Порядок выполнения графической части задачи:

1. Строим прямоугольный треугольник по катету и острому углу. Из точки а′ восстанавливаем перпендикуляр к проекции отрезка. Из точки b′ проводим луч под углом 30° к заданной проекции.

2. Строим гипотенузу так, чтобы угол между катетом и гипотенузой составлял 30°; ∠β = 30°. Гипотенузу продляем до пересечения со вторым катетом. Величина второго катета является разностью расстояний конечных точек отрезка до плоскости (в нашем случае горизонтальной) и обозначается как Δ Y.

3. На горизонтальной плоскости проекций от точки а проводится линия равных ординат параллельно оси Х до пересечения с линией связи от точки b′ (фронтальной проекции точки В) и далее, от точки пересечения, вдоль линии связи вверх или вниз откладывается величина Δ Y и определяется положение точки b (горизонтальной проекции точки В). Соединив точки a и b, получим горизонтальную проекцию отрезка АВ.

В связи с тем, что горизонтальная проекция точки В может занимать одно из двух положений, задача имеет два решения.

 

Задача 5. Дана горизонтальная проекция отрезка CD, достроить его фронтальную проекцию, если действительная величина отрезка CD равна 50 мм (рис. 33).

Анализируем графическое условие задачи:

Для решения этой задачи воспользуемся методом прямоугольного треугольника. Дана горизонтальная проекция отрезка СD. В прямоугольном треугольнике эта проекция будет являться катетом, второй катет выстраивается перпендикулярно проекции. Угол наклона отрезка к плоскости проекций (в данном случае фронтальной) располагается между катетом (проекцией) и гипотенузой треугольника.

Порядок выполнения графической части задачи:

1. Строим прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе. Из точки с восстанавливаем перпендикуляр к горизонтальной проекции отрезка – сd. Из точки d проводим дугу окружности радиусом, равным натуральной величине отрезка. По условию это будет R = 50 мм.

2. Пересечение построенной дуги окружности с перпендикуляром, восстановленным из точки с, даст точку С _о –это будет третья вершина искомого прямоугольного треугольника. Величина второго катета является разностью расстояний конечных точек отрезка до плоскости (в нашем случае фронтальной) и обозначается как Δ Z.

3. На фронтальной плоскости проекций от точки с′ проводится линия равных аппликат параллельно оси Х до пересечения с линией связи от точки d′ (фронтальной проекции точки D) и далее, от точки пересечения, вдоль линии связи вверх или вниз откладывается величина Δ Z и определяется положение точки d′ (фронтальнойпроекции точки D). Соединив точки с′ и d′, получим фронтальную проекцию отрезка CD.

В связи с тем, что фронтальная проекция точки D может занимать одно из двух положений, задача имеет два решения.

 

Задача 6. Дана прямая N, проходящая через точку А (рис. 34). На заданной прямой построить точку В, отстоящую от точки А на 45 мм.

 

Рис. 34. Графическое условие задачи Рис. 35. Решение задачи

 

Решение. Анализируем графическое условие задачи: расстояние 45 мм непосредственно на данном эпюре отложить нельзя, т. к. прямая L является прямой общего положения и проецируется на плоскости проекций V и Н с искажением.

Задача решается путем определения длины произвольного отрезка, лежащего на этой прямой, с последующим построением его заданной длины.

Порядок выполнения графической части задачи (рис. 35):

1. Так как прямая в пространстве бесконечна, нам нужно ограничить ее отрезком произвольной длины, тогда можно найти натуральную величину этого отрезка. На прямой N берем произвольную точку С.

2. Определяем длину отрезка АС (метод прямоугольного треугольника). Замеряем длину гипотенузы треугольника асС _о.

3. В зависимости от того, какой получилась действительная длина произвольного отрезка, необходимо уменьшить или увеличить длину гипотенузы (натуральной величины отрезка) до необходимого размера. В нашем случае необходимо увеличение, для этого от точки а вдоль прямой аС _ооткладываем отрезок | аВ _о|, равный 45 мм.

4. Строим проекции точки В – b и b′. | AB |= 45 мм.

 

2.4.2.2. Метод замены плоскостей проекций

Все преобразования чертежа существуют для того, чтобы решение задачи стало более упрощенным. Это происходит в тех случаях, когда геометрические фигуры занимают частное положение относительно плоскостей проекций.

Суть преобразования плоскостей проекций:

1. Заданная геометрическая фигура не меняет своего положения в пространстве.

2. Вводится новая дополнительная плоскость перпендикулярно одной из основных плоскостей проекций.

3. Новая дополнительная плоскость проекций вводится так, чтобы эта же геометрическая фигура в новой системе плоскостей стала занимать частное положение.

4. Каждая новая система плоскостей должна представлять собой систему двух взаимно перпендикулярных плоскостей.

5. На новые плоскости геометрическая фигура проецируется ортогонально.

6. Расстояние от точки до незаменяемой плоскости сохраняется.

Рассмотрим на примере точки A, что происходит с ее проекциями при перемене плоскостей проекции (рис. 36).

Вводим новую фронтальную плоскость проекции V ₁, перпендикулярно к горизонтальной плоскости проекции H. Плоскость V ₁ пересекается плоскость H по прямой X ₁, которая и будет новой осью проекций (рис. 36).

При этом Z_А остается постоянной, т. е. | а′a_Х | = | Aа | и | a′ ₁ a_{х 1}| = | Aa |.

Следовательно, | а′a_х | = | a′ ₁ a_{х 1}| (рис. 37).

 

Рис. 36. Пространственная модель метода замены плоскостей точки А

 

 

Рис. 37. Эпюр метода замены плоскостей точки А

 

А теперь рассмотрим основные задачи на преобразование отрезка прямой.

1. Преобразование комплексного чертежа так, чтобы отрезок прямой общего положения стал занимать положение отрезка прямой уровня.

Решение

Решение такой задачи позволяет не только найти натуральную величину отрезка прямой общего положения, но и определить угол наклона заданного отрезка прямой к основным плоскостям проекций в зависимости от конкретной поставленной задачи.

На рис. 38–39 показан отрезок прямой АВ, который в основной системе плоскостей V / H занимает общее положение.

В зависимости от того, какой угол наклона отрезка прямой, ∠αили ∠β необходимо найти по условию задачи, решение может пойти двумя путями.

1.1. Определение угла наклона отрезка прямой АВ к горизонтальной плоскости проекций – ∠α. Для определения угла α отрезка прямой необходимо преобразовать отрезок прямой АВ во фронтальную прямую уровня. Характерная проекция фронтальной прямой уровня является горизонтальная проекция. Она всегда параллельна оси ОХ. Следовательно, для преобразования отрезка прямой АВ во фронтальную прямую уровня, новую ось проекций ОХ ₁ проводим параллельно горизонтальной проекции прямой АВ.

Решение. Вводим дополнительную плоскость проекций V ₁.

Условия ввода: перпендикулярно плоскости Н, параллельно отрезку АВ.

Порядок выполнения графической части задачи (рис. 38):

– на чертеже ось ОХ ₁проводим параллельно горизонтальной проекции отрезка прямой АВ на любом расстоянии от нее;

– в новой системе плоскостей H / V ₁ из точек а и b проводим линии связи перпендикулярно новой оси ОХ ₁;

– откладываем от оси ОХ ₁аппликаты Z_А и Z_В на линиях связи одноименных точек;

– соединяем построенные точки а′ ₁и b′ ₁. Получаем новую фронтальную проекцию прямой АВ –| а′ ₁ b′ ₁|.

В результате преобразования отрезок прямой АВ стал фронтальной прямой уровня. Следовательно, на новой плоскости проекций V ₁отрезок прямой АВ проецируется в натуральную величину и угол, образованный проекцией | а' ₁ b′ ₁| с осью ОХ ₁ равен углу наклона отрезка прямой АВ к горизонтальной плоскости проекций – ∠α _АВ.

 

 

Рис. 39. Построение ∠β _АВ отрезка АВ Рис. 38. Построение ∠α _АВ отрезка АВ

1.2. Определение угла наклона отрезка прямой АВ к фронтальной плоскости проекций – ∠β.

Для определения угла β отрезка прямой общего положения необходимо преобразовать заданный отрезок прямой АВ в горизонтальную прямую уровня – горизонталь. Характерной проекцией горизонтали является фронтальная проекция, она всегда параллельна оси проекций. Следовательно, для преобразования отрезка прямой АВ в горизонталь, новую ось проекций ОХ ₁проводим параллельно фронтальной проекции прямой АВ (рис. 39).

Решение: вводим дополнительную плоскость проекций Н ₁.

Условия ввода: перпендикулярно плоскости V, параллельно отрезку АВ.

Порядок выполнения графической части задачи (рис. 39):

– на чертеже ось ОХ ₁проводим параллельно фронтальной проекции отрезка прямой АВ на любом расстоянии от нее;

– в новой системе плоскостей V / H ₁ из точек а и b проводим линии связи перпендикулярно новой оси ОХ ₁;

– откладываем от оси ОХ ₁ординаты У_А и У_В на линиях связи одноименных точек;

– соединяем построенные точки а ₁и b _1. Получаем новую горизонтальную проекцию прямой АВ – а ₁ b ₁.

В результате преобразования отрезок прямой АВ стал горизонтальной прямой уровня. Следовательно, на новой плоскости проекций Н ₁отрезок прямой АВ проецируется в натуральную величину и угол, образованный проекций а ₁ b ₁ с осью ОХ ₁равен углу наклона отрезка прямой АВ к фронтальной плоскости проекций – ∠β _АВ.

 

Взаимное положение прямых

Прямые в пространстве могут занимать различные положения относительно друг друга: быть параллельными, пересекаться и скрещиваться.

 

Пересекающиеся прямые

Если прямые пересекаются в пространстве в определенной точке, то их одноименные проекции пересекаются в проекциях этой же точки (рис. 40).

Если АВ ∩ CD = (∙)I=> ab ∩ cd = 1; a′b ′ ∩ c′d ′ = 1′ a′′b ′′ ∩ c′′d ′′ = 1′′.

Правильным будет и обратное утверждение: если на чертеже одноименные проекции прямых пересекаются, а проекции точки их пересечения лежат на одной линии связи, то прямые пересекаются в пространстве в этой же точке.

 

Параллельные прямые

По свойству параллельного проецирования известно, что одноименные проекции параллельных прямых параллельны между собой. Рассмотрим данное свойство на примере параллельных отрезков прямых АВ и СD.

Дано АВ || СD, следовательно, на чертеже их одноименные проекции будут параллельны между собой (рис. 41): ab || cd, a′b ′ || c′d′, a′′b′′ || c′′d′′, а также этому свойству соответствует обратное свойство: если на чертеже одноименные проекции прямых параллельны между собой, то в пространстве эти прямые параллельны.

 

Скрещивающиеся прямые

Из курса средней школы известно, что скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях, т. е. они в пространстве не пересекаются.

На чертеже проекции этих прямых могут пересекаться друг с другом, но, в отличие от чертежа пересекающихся прямых, точки пересечения одноименных проекций не лежат на одной линии связи.

 

Рис. 40. Пересекающиеся прямые АВ и СD

 

Рис. 41. Параллельные прямые АВ и СD

 

Обычно на чертеже, изображающем скрещивающиеся прямые, определяют, какая из прямых находится выше или дальше другой от соответствующих плоскостей проекций, т. е. ближе к наблюдателю. В этом случае применяется метод конкурирующих (совпадающих) точек. Конкурирующие точки – это точки, лежащие на одном проецирующем луче.

На рис. 42 изображены проекции двух скрещивающихся прямых АВ и CD. На фронтальной проекции видим мнимое пересечение этих прямых, совпадающие точки 1 и 2 (1 ′ ≡ 2 ′), но, опуская из мнимой точки пересечения линию связи на горизонтальную проекцию, видно, что общей точки пересечения нет, а получаются две точки, принадлежащие этим прямым, лежащие на одной линии связи, но находящиеся в разных местах. И, судя по тому, что точка 1 находится дальше от оси Х, определяем по проекционной принадлежности, что прямая АВ находится дальше от фронтальной плоскости проекций, чем прямая CD. Точки 1 и 2 являются конкурирующими точками, при их совпадении принято невидимые (закрытые) точки заключать в скобки, поэтому точка 2, находящаяся за точкой 1, на фронтальной проекции заключена в скобки.

 

 

Рис. 42. Скрещивающиеся отрезки прямых АВ и СD:

точка 4 выше точки 3; точка 2 находится за точкой 1

 

Аналогичным образом можно рассматривать совпадающее положение точек 3 и 4 (3 ≡ 4) на горизонтальной плоскости проекций, представляющих мнимое пересечение проекций прямых АВ и CD. Далее, по проекционной принадлежности определив положение точек на фронтальной плоскости проекций, можно заключить, что точка 4 находится выше точки 3 и, значит, дальше от горизонтальной плоскости проекций. А так как точка 4 принадлежит прямой АВ, то и прямая АВ находится выше прямой CD.

Точка 3 находится ниже точки 4 и закрывается ею, поэтому ее горизонтальная проекция заключена в скобки, как невидимая.

Следует отметить, что для определения взаимного положения прямых общего положения достаточно рассмотреть их две любые проекции. Третью проекцию, без необходимости, строить необязательно.

Для определения взаимного положения прямых уровня одна из рассматриваемых проекций должна быть та, где прямая проецируется в натуральную величину.

Задача. Определить взаимное положение прямых АB и CD (рис. 43).

Решение

1. Анализируем заданный чертеж:

1.1. Взаимных положений прямых возможны 3 варианта: пересечение, параллельность и скрещивание. Так как заданные проекции прямых не параллельны друг другу, следовательно, заданные прямые не параллельны друг другу в пространстве.

1.2. Рассмотрим положение в пространстве каждой из заданных прямых. Прямая CD занимает общее положение. Прямая АВ занимает частное положение – является профильной прямой уровня. На профильной проекции прямая будет проецироваться в натуральную величину. Следовательно, для определения взаимного положения прямых АВ и CD надо построить профильные проекции этих прямых.

 

 

Рис. 43. Условие задачи

 

 

 

Рис. 44. Решение задачи

 

2. Как видно на рис. 44, мнимая точка пересечения прямых распадается на две точки на профильной проекции – Е и N. Следовательно, эти прямые скрещиваются.

ПЛОСКОСТЬ

Аксиомы, определения, теоремы курса стереометрии

Аксиома 1.Через любые две точки проходит одна и только одна прямая линия.

Аксиома 2.Прямая, проходящая через две различные точки плоскости, лежит в этой плоскости.

Аксиома 3.Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.

Аксиома 4.Если две различные плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть прямая.

 

Следствия из аксиом

 

Следствие 1. Через прямую и не принадлежащую ей точку можно провести одну и только одну плоскость.

Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые можно провести одну и только одну плоскость.

Две прямые называются пересекающимися, если они имеют единственную общую точку.

Следствие 3. Через две различные параллельные прямые можно провести только одну плоскость.

Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общей точки или совпадают.

3.1. Способы задания плоскости на чертеже

1. Плоскость может быть задана тремя точками (рис. 45 а).

2. Плоскость может быть задана точкой и прямой (рис. 45 б).

3. Плоскость может быть задана двумя пересекающимися прямыми (рис. 46 а).

4. Плоскость может быть задана двумя параллельными прямыми (рис. 46 б).

5. Плоскость может быть задана любой плоской фигурой (рис. 47 а).

6. Плоскость может быть задана следами (след плоскости – это линия пересечения данной плоскости с какой-либо из плоскостей проекций, рис. 47 б); P_H – горизонтальный след плоскости Р; P_V – фронтальный след плоскости Р; P_X – точка пересечения следов.

а

б

 

Рис. 45. Способы задания плоскости на чертеже:

а – тремя точками А, В, С; б – точкой А и прямой ВС

а

б

Рис. 46. Способы задания плоскости на чертеже:

а – параллельными прямыми АВ и CD; б – пересекающимися прямыми МN и EF

 

в

б

а

 

Рис. 47. Способы задания плоскости на чертеже:

а – треугольником АВC; б – следами плоскости Р; в – нулевой фронталью и горизонталью плоскости Т

 

Горизонтальный след плоскости называют нулевой горизонталью, фронтальный след – нулевой фронталью. Горизонтальный след плоскости лежит в горизонтальной плоскости проекций, следовательно, точка D, лежащая на горизонтальном следе плоскости Р тоже лежит на горизонтальной плоскости проекций Н. Фронтальный след плоскости лежит во фронтальной плоскости проекций V, следовательно, точка Е, лежащая на фронтальном следе плоскости Р,тоже лежит на фронтальной плоскости проекций V (рис. 47 б). Плоскость Т задана непосредственно нулевыми фронталью и горизонталью (рис. 47 в).