Способ замены плоскостей проекции.

Сущность способа:

При неизменном положении в пространстве ГО производится замена существующей системы плоскостей проекции на новую систему с соблюдением следующих правил:

- новая плоскость проекции должна быть перпендикулярна одной из старых плоскостей (П₄ перпендикулярна П₁ или П₂) для сохранения метода ортогонального проецирования;

- ориентируем новую плоскость, исходя из условия задачи.

 

Для того чтобы построить новую проекцию точки А на плоскость П₄ необходимо провести линию связи перпендикулярно новой оси, затем отложить расстояние от новой оси до новой проекции равное расстоянию от старой оси до той проекции, которую заменяем.

 

П₂/П₁ – П₄/П₁

 

Определение Н.В. отрезка способом замены плоскостей.

-Заменяем вертикальную плоскость П₂ на плоскость П₄, которая перпендикулярна плоскости П₁ и параллельна А₁В₁. Для этого на эпюре проводим ось Х₁₄ на произвольном расстоянии от А₁В₁.

-Новые линии связи перпендикулярны новой оси. От новой оси до новой проекции откладываем расстояние, взятое с заменяемой плоскости.

-На П₄ получаем Н.В. и угол наклона к П₁. Прямая общего положения преобразовалась в прямую уровня.

Преобразуем прямую уровня в проецирующую. Новая плоскость П₅ расположена перпендикулярно плоскости П₄. На эпюре А₄В₄

 

Способ вращения.

Сущность способа:

При неизменном положении системы плоскостей проекции П₁ и П₂ в пространстве ГО меняет свое положение так, что каждая его точка перемещается по окружности, расположенной в плоскости вращения перпендикулярно выбранной оси вращения.

Лекция 6

6.1. Вращение точки.

— 1. Вращение вокруг проецирующей оси (i – ось);

При вращении ГО вокруг проецирующей оси на одной проекции все точки перемещаются по окружности (каждая по своей), а другие проекции по прямым параллельным оси, являющимися следами плоскости вращения.

 

Задача:

 

Прямую общего положения преобразовать в проецирующую вращением вокруг проецирующей оси.

 

Решение:

 

1) Прямую общего положения преобразуем в прямую уровня. Для этого горизонтальную проекцию располагаем параллельно оси (i перпендикулярна П₁, проходит через точку B);

2) Прямую уровня А^IB преобразуем в проецирующую.

 

 

 

 

— 2. Плоскопараллельное перемещение – вращение вокруг проецирующей оси, без указания оси вращения (представляем ее, не показываем на чертеже).

Сущность способа:

 

Плоскости проекций своего положения не меняют (П₁ и П₂ на месте), меняет положение ГО так, что каждая его точка совершает движение по окружности, расположенной в плоскости вращения, перпендикулярной оси вращения.

Задача:

Преобразовать плоскость общего положения в плоскость уровня.

 

Решение:

 

1) Плоскость АВС преобразуем в проецирующую, перпендикулярную П₂. Для этого в плоскости АВС проводим горизонталь, которую поворачиваем до положения фронтально-проецирующей прямой, а вместе с ней и весь треугольник АВС (вокруг горизонтально-проецирующей оси, которую не указываем);

Все точки АВС в пространстве переместились по окружности, а на эпюре переместились фронтальные проекции

2) Проецирующую плоскость А^IB^IC^I преобразуем в плоскость уровня A^IIB^IIC^II. Для этого вращаем треугольник вокруг фронтально-проецирующей оси, а его проекцию (фронтальную) до положения параллельного оси ОХ.

 

A^IIB^IIC^II ║ Х

 

— 3. Совмещение. Вращение вокруг линии уровня.

Сущность способа Если плоскость вращать вокруг ее следа до совмещения с плоскостью проекций, в которой расположен этот след, то отрезки, линии и фигуры, расположенные в плоскости, изобразятся без искажен Совмещением называется вращение вокруг нулевой горизонтали (вокруг следа плоскости).

 

 

Вращение вокруг линии уровня.

 

 

 

Лекция 7

Многогранники.

7.1. Многогранные поверхности.

Многогранной называется поверхность, образованная отсеками (частями) пересекающихся плоскостей.

 

Многогранник – замкнутая многогранная поверхность.

 

Грань – отсек плоскости.

 

Ребро – линия пересечения граней.

 

Многогранники

 

 

Призмы Пирамиды

 

Призма – многогранник, у которого боковые рёбра параллельны основанию.

А) Прямая (боковые рёбра перпендикулярны основанию);

Б) Наклонная (боковые рёбра под наклоном к основанию).

 

Пирамида – многогранник, боковые рёбра которого пересекаются в одной точке (всегда образ общего положения).

 

Правильные многогранники – многогранники, грани которых являются правильными многоугольниками (куб: грань – квадрат, тетраэдр: грань – правильный треугольник).

 

7.2. Пересечение многогранника плоскостью.

Позиционные задачи.

Сечение многогранника плоскостью – многоугольник.

Стороны этого многоугольника – прямые пересечения многогранника с заданной плоскостью.

Вершины многоугольника – точки встречи рёбер с секущей плоскостью.

Задача I-го типа.

Прямая призма – проецирующий образ, имеет вырожденную проекцию.

 

Обычно есть необходимость определить Н.В. фигуры сечения.

В данном случае Н.В. треугольника 123 находим способом плоскопараллельного перемещения.

 

β П₁, β^I П₁, β^II П₁ – плоскости вращения.

 

Преобразовали проецирующую плоскость в плоскость уровня.

 

 

 

 

Задача II-го типа.

Пирамида – всегда непроецирующий образ (общего положения).

 

А) Пирамида (плоскость α фронтально-проецирующая);

 

 

Б) Призма проецирующая (плоскость общего положения).

 

 

Задача III-го типа.

Решение задачи сводится к определению точек пересечения рёбер пирамиды с заданной плоскостью, т.е. к нахождению точки встречи прямой с плоскостью.

 

Последовательно заключаем каждое боковое ребро во вспомогательную плоскость-посредник. Таким образом, сводим задачу к задачe II-го типа.

 

1. Заключаем ребро AS в плоскость-посредник (σ – фронтальная плоскость уровня), σ ∩ α по фронтали;

 

2. Ребро BS заключаем во фронтально-проецирующую плоскость β;

 

3. Для нахождения точки 3 строим линию пересечения плоскостей α и стороны треугольника АСS. Одна общая точка 1 построена, а другая находится на пересечении прямой АС и следа точки F на П₁.

Соединяем точки f₂ и F₂ – получаем проекцию пересечения плоскостей.

 

 

7.3. Пересечение многогранника с прямой линией.

Построение точек входа и выхода.

Задача I-го типа.

Оба образа проецирующие. Проекции результата находятся на вырожденных проекциях геометрических образов.

 

Точки пересечения прямой с многогранником – точки 1 и 2 – точки входа и выхода.

 

Задача II-го типа.

Призма – фронтально-проецирующая, прямая а – общего положения.

 

 

1 – точка входа

 

2 – точка выхода

 

 

Задача III-го типа.

1. Заключаем прямую а во фронтально-проецирующую плоскость-посредник α;

2. Строим фигуру сечения пирамиды плоскостью α. Решаем задачу II-го типа;

3. Выделяем искомые точки входа и выхода как точки пересечения заданной прямой с контуром фигуры сечения пирамиды плоскостью-посредником α.

 

Точка L – точка входа

 

Точка К – точка выхода

 

 

7.4. Пересечение многогранников между собой.

Задача I-го типа.

 

 

Задача II-го типа.

Задача III-го типа.

 

 

Алгоритм решения:

Задача решается при помощи посредников.

1. Плоскостью-посредником (могут быть разные, чаще плоскость уровня) рассекаем обе поверхности;

2. Строим фигуры сечения плоскостью-посредником каждую из многогранных поверхностей (чаще многоугольники);

3. Находим общие точки пересечения этих многоугольников, принадлежащим плоскости-посреднику, и каждой из пересекающихся многогранных поверхностей;

4. Соединяем полученные точки с учётом видимости граней и рёбер многогранников.

 

Лекция 8

Построение развёрток многогранников.

Развертка – совмещенная с плоскостью поверхность многогранника без разрывов и смятий.

Развёртка многогранной поверхности – плоская фигура, полученная в результате последовательного совмещения всех её граней с плоскостью

8.1 Развёртка пирамиды. Способ триангуляции.

Сущность способа заключается в нахождении Н.В. всех рёбер пирамиды и построении на плоскости контуров боковых граней (треугольников), которые последовательно соединяют друг с другом смежными рёбрами. К ним присоединяется основание пирамиды

 

 

В данном примере Н.В. рёбер определяем способом вращения вокруг проецирующей оси, которая проходит через вершину пирамиды.

 

Точка К – произвольная точка.

 

1. Находим Н.В. каждого из рёбер пирамиды;

2. Строим треугольники на развёртке методом засечек;

3. Основание пирамиды – треугольник АВС на П 1 спроецирован в натуральную величину. Пристраиваем основание к ребру СА.

 

 

8.2 Развёртка призмы. Способ нормального сечения.

 

 

Сущность способа:

1. Многогранную поверхность пересекают плоскостью, расположенной перпендикулярно рёбрам.

2. Определяют Н.В. фигуры сечения (обычно плоско-параллельным перемещением);

3. На произвольной прямой откладывают отрезки, равные сторонам сечения (как бы растягиваем фигуру сечения в прямую линию);

4. Через вершины проводят прямые, перпендикулярные этому сечению, и на них откладываем Н.В. рёбер призмы вверх и вниз от сечения.

 

8.3 Способ раскатки.

Сущность способа -

вращением вокруг линий уровня (рёбер призмы) последовательно совмещаем все боковые грани призмы в одну плоскость, пристраиваем нижнее и верхнее основания.

Для возможности построения развёртки способом раскаткой призма должна располагаться так, чтобы на эпюре:

1. Рёбра были линии уровня;

2. Основание проецировалось в Н.В.

Если призма занимает другое положение, то при помощи последовательных преобразований необходимо привести к таким исходным данным.

Задача.

1.Ось вращения ребро АА^I. Вращаем грань АА^IВВ^I, совмещаем эту грань с плоскость параллельной П₂

2.Плоскости вращения α, β; α ┴ АА^I, β ┴ ВВ^I

3.Центр вращения: для точки В– О, для точки В^I – O^I

4. R=A₁В₁= H.B.

 

 

Лекция 9

9.1. Кривые поверхности.

Кривая поверхность – непрерывное множество последовательных положений линии (называемой образующей),перемещающейся в пространстве по определенному закону вдоль другой линии, называемой направляющей.

 

 

Точка на поверхности.

 

Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии, лежащей на этой поверхности.

Линия принадлежит поверхности, если о каждой ее точке можно однозначно сказать, что они принадлежат поверхности.

 

 

Изображение поверхности.

На эпюре поверхность изображается при помощи очерковой образующей (очерк) – линии, точки которой являются точками касания проецирующих прямых заданной поверхности.

 

 

Классификация поверхностей.

1) По закону движения образующей;

1. С поступательным движением;

2. Поверхности движения;

3. Винтовое движение (вращательно-поступательное движение).

 

2) По виду образующей;

1. Линейчатые поверхности (образующая прямая);

2. Нелинейчатые поверхности (образующая кривая).

 

3) По признаку развёртываемости;

1. Развёртываемые (развертка без разрывов и смятий);

2. Неразвёртываемые (например, шар).

 

Поверхности вращения.

 

1) С криволинейной образующей;

1. Сфера (окружность вращается вокруг оси, проходящей через центр окружности);

2. Торовая поверхность;

3. Эллипсоид;

4. Параболоид;

5. Гиперболоид (однополосный и двуполосный).

 

2) Линейчатые поверхности вращения;

1. Прямой круговой конус (образующая – прямая, направляющая – окружность);

2. Цилиндр прямой круговой (направляющая – окружность).

 

Поверхность вращения – поверхность, образованная вращением линии вокруг неподвижной прямой (оси вращения).

 

Пересечение поверхности плоскостью.

 

1) Сфера – всегда окружность;

2) Цилиндр:

1. Секущая плоскость параллельная основанию – окружность;

2. Секущая плоскость непараллельная основанию – эллипс;

3. Секущая плоскость перпендикулярна основанию – прямоугольник.

 

3) Конус:

1. Секущая плоскость параллельна основанию – окружность;

2. Секущая плоскость проходит через вершину – треугольник;

3. Секущая плоскость под углом к основанию – эллипс;

4. Секущая плоскость перпендикулярна основанию (не через вершину) – гипербола;

5. Секущая плоскость параллельна образующим – парабола.

 

9.2. Позиционные задачи.

Задача I-го типа.

 

 

Задача II-го типа.

 

Задача III-го типа.

 

Пересечение конуса плоскостью общего положения.

1. Решаем с помощью посредников;

2. Определяем положение большой оси эллипса, она располагается по линии ската секущей плоскости α. Для этого введём вспомогательную плоскость-посредник β, которая

рассечёт конус по треугольнику (т.к. проходит через его вершину, а плоскость α по линии ската перпендикулярно горизонтальному следу);

3. Определяем положение малой оси эллипса. Она располагается перпендикулярно большой оси и проходит через ее середину. Для ее нахождения используется плоскость-посредник γ (горизонтально-проецирующая). Она рассекает конус по треугольнику, а плоскость α – по горизонтали. В пересечении треугольника и горизонтали на П₂ определяем крайние точки малой оси.

4. Определяем дополнительно характерные точки изменения видимости эллипса. Они расположены на очерковых образующих конуса. Для их нахождения на П₂ используем вспомогательную плоскость-посредник σ (фронтальная уровня).

 

 

Лекция 10

10.1. Пересечение кривой поверхности с прямой.

Задача I-го типа. Задача II-го типа.

Цилиндр и проецирующая прямая.

Задача III-го типа.

Решаем при помощи посредника – плоскость общего положения, которая проходит через вершину конуса и заданную прямую, рассекая конус по треугольнику. В пересечении контуров треугольника с заданной прямой выделяем точки входа и выхода.

Плоскость-посредник задаём 2-мя пересекающимися прямыми общего положения, одна из которых – заданная прямая, а другая проходит через вершину S.

 

Строим горизонтальный след плоскости-посредника (для этого находим горизонтальный след прямых a и b).

 

1. [ S₁ II₁ ] ∩ [ M₁ P₁ ] = F₁;

[ S₁ I₁ ] ∩ [ M₁ P₁ ] = E₁;

2. a₁ ∩ основание конуса = [ I₁ II₁ ].

 

 

 

Лекция 11.

11.1. Построение линий пересечения поверхностей.

1. Способ вспомогательных секущих плоскостей;

В результате пересечения плоскости-посредника с заданными поверхностями должны получаться простые для построения линии прямые или окружности.

Сущность способа:

1. Рассекаем обе поверхности плоскостью;

2. Строим фигуры сечения, состоящие из прямых или окружностей;

3. Находим точки пересечения полученных фигур, которые принадлежат сразу 3-м геометрическим образам (каждой из заданных поверхностей и плоскости-посреднику);

4. Соединяем полученные точки по лекало.

 

 

2. Способ вспомогательных секущих сфер;

Условия применения:

1. Обе поверхности должны быть поверхностями вращения;

2. Оси вращения поверхностей должны пересекаться;

3. Плоскость, образованная пересекающимися осями должна быть плоскостью уровня;

 

Сущность способа:

1. Пересекаем обе поверхности вспомогательной секущей сферой, каждая поверхность пересекается сферой по окружности;

2. Пересечением полученных окружностей между собой выделяем общие точки принадлежащие сразу 3-м поверхностям (вспомогательным секущим сферам и обеим заданным поверхностям);

3. Соединяем ряд полученных точек последовательно и получаем искомую линию пересечения.

 

1) Центр вспомогательных сфер выбираем точкой пересечения осей вращения поверхностей;

2) Радиус сфер выбираем в промежутке от R_min до R_max;

R_min – сфера с минимальным радиусом должна вписываться в одну поверхность и пересекать другую;

R_max – от центра О до максимально удалённой опорной точки.

 

 

Спецкурс.

Лекция 12.

12.1. Проекции с числовыми отметками.

Сфера применения:

Используется для изображения объектов, горизонтальные размеры которых значительно превосходят вертикальные (топографические поверхности, строительные объекты).

Сущность метода:

Проекция на горизонтальную плоскость проекции П₁ остаётся неизменной, а изображение на фронтальную плоскость проекции заменяется числовым значением элемента относительно уровня условно принятого за нулевой.

12.2. Градуирование отрезка прямой, определение интервала, уклона и заложения.

Градуирование – определение на прямой положения точек с целочисленными значениями.

Заложение (L) – величина проекции отрезка прямой, измеряемая в единицах масштаба.

Интервал (l) – величина проекции отрезка, отметки концов которого отличаются на единицу.

Уклон (i) – величина, обратная интервалу.

 

i = 1/l i = (h_В – h_А)/L

 

Градуирование отрезка с целочисленными отметками концов.

 

Градуирование отрезка с дробными отметками концов.

 

 

12.3. Взаимное расположение прямых.

1. Прямые пересекаются;

 

Градуируем прямые AB и CD.

 

 

Если прямые пересекаются, то на эпюре отметка точки пересечения одинакова для каждой прямой.

 

2. Прямые параллельны;

Признаки параллельности:

 

 

1) Параллельные проекции (AB║CD);

2) Имеют одинаковый интервал (l₁ = l₂);

3) Отметки или возрастают или убывают в одном направлении;

 

3. Могут скрещиваться;

Если прямые скрещиваются, то на эпюре для каждой прямой разные отметки у точки их пересечения.

 

12.4. Изображение плоскости.

 

Плоскость в проекциях с числовыми отметками может быть задана:

1. Тремя точками;

 

 

2. Двумя параллельными прямыми;

 

3. Пересекающимися прямыми;

4. Масштабом уклона – проградуированная линия ската (прямая перпендикулярная всем горизонталям плоскости).

 

 

 

12.5. Изображение поверхностей.

 

Все поверхности изображаются с помощью горизонталей.

Горизонталь поверхности – линия, соединяющая точки с одинаковыми отметками, полученными в результате рассечения поверхности горизонтальными плоскостями уровня, расположенными на высоте, различающейся на единицу.

 

 

 

12.6. Построение линии пересечения плоскостей.

 

Необходимо построить минимум две точки пересечения одноименных горизонталей.

Плоскости α и β заданы масштабами уклонов.

 

 

12.7. Построение точки встречи прямой с плоскостью.

(Центральная задача НГ)

 

Решаем при помощи посредников.

1. Заключаем прямую в плоскость-посредник (непроецирующая);

2. Строим линию пересечения заданной плоскости и плоскости-посредника;

3. Выделяем искомую точку А₁ как точку пересечения заданной прямой и линией пересечения плоскостей.

 

Дано:

α (AB ∩ CD)

Прямая F₈ E₁₁

β – плоскость-посредник, задана двумя горизонталями h₉║h₁₁

 

 

 

 

12.8. Пересечение поверхности плоскостью.

1. Определяют точки пересечения одноименных горизонталей;

2. Соединяют линиями;

3. Определяют видимость по конкурирующим точкам (M₁₇ принадлежит α, К₁₃ принадлежит ω).

 

 

12.9. Пересечение прямой с поверхностью (точки входа и выхода).

 

1. Заключаем прямую во вспомогательную плоскость-посредник;

2. Определяем линию пересечения поверхности с посредником;

3. Выделяем точки входа и выхода как точки пересечения заданной прямой с линией пересечения поверхности и посредника.

 

 

Лекция 13

13.1. Тени в ортогональных проекциях.

Падающая тень – тень от одного объекта на другой.

Собственная тень – неосвещённая часть поверхности объекта.

Освещённая часть – та часть, на которую попадают солнечные лучи.

Контур собственной тени – граница (линия) между освещённой и неосвещённой поверхностью предмета.

Контур падающей тени – тень от контура собственной тени (на тени 5 пальцев как на руке).

Тени строятся, исходя из следующих условий:

1. Источник освещения расположен в бесконечности (солнце);

2. Все лучи параллельны;

3. Направление лучей по нисходящей диагонали куба (грани куба совпадают с плоскостями проекции), нисходящая диагональ имеет угол наклона 35 ⁰.

При проецировании её на П₁ и П₂ получаем угол 45 ⁰.

 

Назначение теней:

Служат для придания большей наглядности и выразительности архитектурно-строительным чертежам.