Условие принадлежности прямой плоскости.

1. Прямая принадлежит плоскости, если две точки этой прямой принадлежат этой плоскости.

2. Прямая принадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью одну общую точку и параллельна любой другой прямой, лежащей в этой плоскости.

 

2.2. Классификация плоскостей.

Положение плоскости относительно плоскостей проекции.

 

1. Плоскость общего положения – непараллельна и неперпендикулярна ни одной из плоскостей проекции.

Может задаваться:

 

 

2. Плоскость уровня – плоскость параллельная какой-либо плоскости проекции;

А) горизонтальная плоскость уровня - ║П₁;

 

Вырожденная проекция обладает собирательными свойствами.

 

 

Б) фронтальная плоскость уровня - ║П₂;

 

В) профильная плоскость уровня - ║П₃.

 

3. Плоскости проецирующие – перпендикулярны какой-либо плоскости проекции, но непараллельны другим плоскостям проекций;

А) горизонтально-проецирующая – перпендикулярна П₁, но непараллельна П₂ и П₃;

 

 

Б) фронтально-проецирующая – перпендикулярна П₂, но непараллельна П₁ и П₃;

В) профильно-проецирующая – перпендикулярна П₃, но непараллельна П₁ и П₂.

2.3. Взаимное расположение плоскостей

Плоскости могут быть относительно друг друга:

1) Параллельные;

Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

 

a₂║c₂ b₂║d₂

α║β

a₁║c₁ b₁║d₁

 

 

2) Пересекающиеся;

3) Перпендикулярные;

Плоскости перпендикулярны, если прямая одной плоскости перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых другой плоскости.

Плоскости перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой.

 

2.4. Взаимное положение прямой и плоскости.

1) Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости.

2) Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

3) Прямая может пересекать плоскость.

 

2.5. Главные линии плоскости.

 

1. Горизонталь – прямая, лежащая в заданной плоскости и параллельная П₁.

 

h⁰ – нулевая горизонталь

 

h₁⁰║h₁

h⁰║h

h₂⁰║h₂

 

 

Все горизонтали плоскости параллельны между собой и параллельны нулевой горизонтали (т.е. горизонтальному следу).

 

2. Фронталь – прямая, лежащая в заданной плоскости и параллельная П₂.

 

f₀ – нулевая фронталь

 

f₂⁰║f₂

f⁰║f

f₁⁰║f₁

 

 

Все фронтали плоскости параллельны между собой и параллельны нулевой фронтали (т.е. фронтальному следу).

 

3. Линия ската -линия наибольшего наклона заданной плоскости к плоскости проекции П₁.

Линия наибольшего наклона определяет угол наклона заданной плоскости к плоскости проекции П₂ (расположена перпендикулярно всем фронталям).

Линия ската определяет угол наклона заданной плоскости к плоскости проекции П₁ (расположена перпендикулярно всем горизонталям).

 

Задача. Определить угол наклона плоскости α к плоскости проекции П₁.

MN – линия ската

M₂N₂ – фронтальная проекция линии ската

M₁N₁ – горизонтальная проекция линии ската

φ – угол наклона

 

План решения:

 

1. Строим линию ската (M₁N₁ ┴ α П₁);

2. Для нахождения угла наклона необходимо определить угол наклона прямой MN к П₁;

Для этого построим прямоугольный треугольник, который определит не только Н.В. MN, но и угол наклона его к плоскости проекции П₁.

2.6. Линия наибольшего наклона к П₂.

 

BD ┴ f

 

B₂D₂ ┴ f₂

 

Для определения угла наклона плоскости АВС к плоскости проекций П₂ необходимо определить Н.В. отрезка BD. Построения производим на той плоскости проекций, к которой необходимо определить угол наклона.

 

 

Лекция 3

Метрические и позиционные задачи.

3.1. Построение линии пересечения плоскостей.

Задача I-го типа.

Оба геометрических образа частного положения.

 

Решение:

Проекции результата есть на чертеже и лежат на вырожденных проекциях проецирующих образов (построение не требуется).

 

Пример: Построить линию пересечения плоскости α с плоскостью β.

 

α – горизонтально-проецирующая плоскость

 

β – горизонтальная плоскость уровня

 

α Ո β = а

 

Задача II-го типа.

Один геометрический образ (ГО) частного положения, имеет вырожденную проекцию, а второй ГО общего положения (нет вырожденных проекций).

 

Решение:

Одна проекция результата есть на чертеже и находиться на вырожденной проекции проецирующего образа (на П₁ или П₂), а другая определяется из условия принадлежности ко второму не проецирующему образу.

 

Пример: (АВС) – плоскость общего положения, γ – фронтально-проецирующая плоскость.

∆ АВС Ո γ = 12

1₂2₂ принадлежит γ П₂

 

Задача III-го типа.

Оба ГО общего положения.

 

Решение:

При помощи посредников. В качестве посредников выбираются ГО частного положения и решение задачи сводится к решению задачи II-го типа.

Пример:

α – горизонтальная плоскость уровня, плоскость-посредник

β – плоскость-посредник

 

 

3.2. Построение точки пересечения прямой с плоскостью.

Задача I-го типа.

Оба геометрических образа частного положения.

Прямая а – фронтально-проецирующая

 

(ABC) – горизонтально-проецирующая

 

Проекция результата лежит на вырожденных проекциях проецирующих образов.

 

K₁ – на вырожденной проекции треугольника АВС.

 

К₂ – на вырожденной проекции прямой а.

АВС Ո а = К

 

Задача II-го типа.

Плоскость задана следами.

Один ГО общего положения, второй частного положения.

 

α – плоскость общего положения.

 

Прямая а – горизонтально-проецирующая.

 

 

Горизонтальная проекция результата точка К₁ лежит на вырожденной проекции прямой а, фронтальная проекция точки К₂ определяется из условия принадлежности ко второму не проецирующему образу плоскости α.

 

α Ո а = К

 

 

Задача III-го типа.

Оба ГО общего положения.

Решаем при помощи посредника (плоскости частного положения).

1. Вводим плоскость-посредник β (β – частного положения и проходит через прямую а);

2. Определяем линию пересечения плоскости (АВС) – общего положения и плоскости β – частного положения. Решаем задачу II-го типа;

3. Выделяем искомую точку К как точку пересечения заданной прямой и линии пересечения плоскостей [1 - 2];

4. Определяем видимость элемента.

 

 

На эпюре:

 

1. Прямая а принадлежит β, β перпендикулярна П₂ (через прямую а провели фронтально-проецирующую плоскость β);

 

2. (АВС) ∩ β = [1 - 2]

Решаем задачу II-го типа;

 

3. а ∩ [1 - 2] = К.

 

 

Лекция 4

Взаимно-параллельные и взаимно-перпендикулярные прямые и плоскости.

4.1. Построение прямой параллельной плоскости.

Для того чтобы провести через точку А прямую параллельную плоскости α необходимо:

1) в плоскости α выбрать или построить произвольную прямую;

2) через точку А провести новую прямую параллельную выбранной прямой.

 

a₂║M₂N₂

a║ α

a₁║M₁N₁

 

 

Для того чтобы проверить, параллельна ли прямая плоскости необходимо попытаться в заданной плоскости построить прямую параллельную заданной. Если это удастся, то прямая и плоскость параллельны.

 

4.2. Построение параллельных плоскостей.

Для того чтобы через точку А провести плоскость параллельную заданной необходимо в заданной плоскости провести две произвольные пересекающиеся прямые и через точку А провести новые прямые, соответственно параллельные выделенным (удобнее всего использовать прямые частного положения – горизонтали и фронтали).

 

Для того чтобы проверить параллельны ли две плоскости необходимо попытаться построить в этих плоскостях пересекающиеся прямые, которые были бы попарно параллельны.

 

f₂║f ₂^I f₁║f ₁^I

α ║β

h₂║h₂^I h₁║h₁^I

 

 

 

 

4.3. Построение прямой перпендикулярной плоскости.

 

Для того чтобы через точку А провести прямую перпендикулярную плоскости необходимо фронтальную проекцию прямой направить перпендикулярно фронтальной проекции фронтали плоскости, а горизонтальную проекцию прямой направить перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали плоскости.

 

 

4.4. Построение взаимно-перпендикулярных плоскостей.

Для того чтобы через точку А провести плоскость перпендикулярную заданной необходимо сначала построить прямую перпендикулярную заданной плоскости, а затем через эту прямую провести новую плоскость (решений бесконечное множество).

 

n – нормаль (перпендикуляр)

 

n ┴ α

 

n₂ ┴ f₂⁰

α ┴ β

n₁ ┴ f₁⁰

 

Для того чтобы проверить перпендикулярны ли заданные плоскости необходимо в одной плоскости попытаться найти или построить перпендикуляр к другой.

 

n₂ ┴ β П₂

 

n₁ ┴ β П₁

 

n₁ ┴ β β ┴ α

 

 

 

 

Лекция 5

Способы преобразования проекций.

 

Цель преобразований: ГО общего положения путем преобразования проекции привести к частному положению для упрощения решения метрических задач (нахождение площади, расстояния, углов).