Взаимное положение прямой и плоскости.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Основные теоретические положения

Прямая может лежать в плоскости, пересекаться с плоско­стью и быть параллельна плоскости.

Если прямая параллельна проецирующей плоскости, то на эпюре будут параллельны одноименные проекции прямой и следа плоскости.

Если прямая параллельна плоскости общего положения, то она должна быть параллельна какой-либо прямой вэтой плоско­сти.

Точка пересечения прямой и проецирующей плоскости на эпюре определяетсякак точка пересечения одноименных проек­ций и следа плоскости.

Точка пересечения прямой и плоскости общего положения определяется с помощью метода вспомогательных секущих плоскостей в следующем порядке:

а) через прямую нужно провести вспомогательную проеци­рующую плоскость;

б) построить линию пересечения вспомогательной плоско­сти с заданной;

в) точка пересечения заданной прямой и построенной ли­нии и будет искомой.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она должна быть перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, например, главным линиям плоскости, горизонтали h и фронтали f. Тогда проекции прямой l(l₁,l₂), перпендикулярной плоскости, будут перпендикулярны соответствующим проекциям главных ли­ний плоскости: l₁^h₁, l₂^f_2.

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если в одной из них можно провести прямую, перпендикулярную другой плоскости.

Две прямые взаимно перпендикулярны, если одна из них лежит в плоскости, перпендикулярной второй прямой.

 

Примеры решения задач

Задача 1. Найти точку пересечения прямой m(rn₁, m₂) с плоскостью треугольника АВС {рис.6.1). Определить види­мость, прямой относительно заданной плоскости.

 

Дано: Решение:

Рис.6.1

 

Через прямую m строится вспомогатель­ная фронтально-проецирующая плоскость b(b₂) (можно взять и горизонтально-проецирующую плоскость). В этом случае следна эпюребудет совмещен с проекцией прямой m₂. Далее строится линия пересечения 1 2=bÇa, положениекоторой опре­делится точками 1 и 2, полученными от пересечения следа b₂, со сто­ронами треугольника. Точка пересе­чения построенной линии с задан­ной прямой К=12Çm и будетискомой точкой встречи. Для определе­ния видимости выбирается по паре конкурирующих точек на каждой про­екции чертежа, например, точки 1, 3 конкурируют относительно p₂. Точка 1 (точка, принадлежащая плоскости) ближе к нам, так как даль­ше удалена от p₂ , поэтому она и с ней отрезок АС (1ÎАС) зак­рывают прямую m, часть которой 3 К будет невидима на фронтальной проекции. В точке пересечения прямой и плоскости видимость сменится и после точки К₂ на фронтальной проекции прямая будет видима. Аналогично определяют видимость прямой и плоскости относительно p₁, используя, например, конку­рирующие точки 4-5.

 

Задача 2. Построить перпендикуляр к плоскости a(с||d) длиной 30мм (рис.6.2).

 

 

Дано: Решение:

Рис.6.2

 

Для восстановления перпендикуляра к плоскости нужно построить главныелинии плоскости - горизонталь h(h₁,h₂) и фронталь f(f₁,f₂).

Перпендикуляр l к пло­скостиможно восстанавливатьиз лю­бойее точки, например, из точки К(К₁К₂) - точки пересечения горизонтали и фронтали К=hÇf при этом, l₁^h₁ и l₂^h₂.

Для того, чтобы отложить на отрезке l заданную длину 30 мм, первоначально задаются произвольной отрезком К5 (точка 5 выбирается произвольно на перпендикуляре l), определяют его натуральную величину помощью треугольника K₁5₁5₀. После этого от точки К₁ вдоль К₁5₀ откладывают заданную длину перпендикуляра и отыскивают проекцию L₁. С помощью линий проекционной связи отыскивают вторую проекцию точки L₂: l(K₁L₁, K₂L₂) ^a.

 

Задача 3. Определить расстояние от точки А до плоскости a(a||b) (рис.6.3).

 

 

Дано: Решение:

 

Рис.6.3.

Задача решается в три этапа:

1) из точки А задать направление перпендикуляра к плоскости с помощью главных линий плоскости;

2) найти точку пересечения перпендикуляра и плоскости (пример1).

3) с помощью прямоугольного треугольника определяем истинную величину отрезка перпендикуляра между заданной плоскостью и точкой встречи перпендикуляра и плоскости. Истинная величина этого отрезка – искомое расстояние между точкой и плоскостью.

Задача 4. Через точку р(р₁Р₂) Îm(m₁,m₂) построить плоскость, перпендикулярную прямой m (рис.6.4).

Дано: Решение:

Рис..6.4.

 

Через точку Р нуж­ но провести фронталь f и горизонталь h так, чтобы h₁^m₁, h₂^m₂. В этом случае прямая m будет перпендикулярна плоскости, заданной пересекающимися главными линиями m ^b(hÇf).

 

6.3.Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. По данной фронтальной проекции прямой а, параллельной плоскости треугольника АВС, построить ее горизонтальную проекцию (рис.6.5).

Рис.6.5

Задача 2. Через точку С построить плоскость, параллельную заданной прямой a. Плоскость задать треугольником (рис.6.6).

 

 

Рис.6.6

Задача 6. Найти точку пересечения прямой АВ и плоскости,определить видимость прямой относительно плоскости.

Рис.6.7