Канонические и параметрические уравнения прямой

Нормальное уравнение плоскости и расстояние от точки до плоскости (вывод уравнения, Д).

Нормальным уравнением плоскости называется её уравнение, написанное в виде

x cos α + y cos β + z cos g— p = 0, (1)

где cos α, cos β, cos g суть направляющие косинусы нормали плоскости, р — расстояние до плоскости от начала координат. При вычислении направляю­щих косинусов нормали следует считать, что она направлена от начала ко­ординат к плоскости (если же плоскость проходит через начало координат, то выбор положительного направления нормали безразличен).

Пусть М* — какая угодно точка пространства, d — расстояние от неё до данной плоскости. Отклонением о точки М* от данной плоскости называется число + d, если точка М* и начало координат лежат по разные стороны от данной плоскости, и число — d, если они лежат по одну сторону от данной плоскости (если М* лежит на самой плоскости, то отклонение равно нулю).

Если точка М * имеет координаты x *, у*, z*, а плоскость задана нор­мальным уравнением

x cos α + y cos β + z cos g— p = 0, то отклонение точки М * от этой плоскости даётся формулой

δ = x* cos α + y* cos β + z* cos g— p

Очевидно, d= |δ |.

Общее уравнение плоскости

Ах + By + Cz + D = 0

приводится к нормальному виду (1) умножением на нормирующий множи­тель, определяемый формулой

;

знак нормирующего множителя берётся противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения.

 

17. Взаимное расположения двух плоскостей: α₁ перпендикулярно α₂, α₁ II α₂ (2Д).

Возможны два случая взаимного расположения двух плоскостей в пространстве:

· Параллельны

· Пересекаться

Опр. Две плоскости в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются, в противном случаи они пересекаются.

Теорема1: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство:

Пусть и - данные плоскости, а1 и а2 - прямые в плоскости, пересекающиеся в точке А, в1 и в2 - соответственно параллельные им прямые в

плоскости. Допустим, что плоскости и не параллельны, т.е. пересекаются по некоторой прямой с. По теореме прямые а1 и а2, как параллельные прямым в1и в2, параллельны плоскости, и поэтому они не

пересекают лежащую в этой плоскости прямую с. Таким образом, в плоскости через точку А проходят две прямые (а1 и а2), параллельные прямой с. Но это невозможно по аксиоме параллельных. Мы пришли к противоречию ЧТД.

Перпендикулярные плоскости: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

Теорема2: Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Доказательство:

Пусть - плоскость, в -перпендикулярная ей прямая, - плоскость, проходящая через прямую в, с - прямая, по которой пересекаются плоскости и. Докажем, что плоскости и перпендикулярны. Проведем в плоскости через точку пересечения прямой в с плоскостью прямую а,

перпендикулярную прямой с. Проведем через прямые а и в плоскость. Она перпендикулярна прямой с, т.к. прямая с перпендикулярна прямым а и в. Т. к. прямые а и в перпендикулярны, то плоскости и перпендикулярны. ч.т.д.

18. Каноническое и параметрическое уравнение прямой в R^3. Уравнение через 2 точки в R^3 и уравнение плоскости в отрезках (рисунки, уравнения, самостоятельно конспект).

Замечания.

1. От канонических уравнений легко перейти к общим уравнениям прямой, например:

2. Одна или две координаты направляющего вектора прямой могут быть равны нулю, это означает, что числитель соответствующей дроби тоже равен нулю.

Если в (1) ввести параметр t

т о уравнения прямой можно записать в виде

Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой. Они имеют механический смысл: если параметр t рассматривать как время, а x, y, z — как координаты материальной точки, то параметрические уравнения описывают равномерное прямолинейное движение точки со скоростью

= { l, m, n }, (x ₀, y ₀, z ₀) —начальное положение точки (при t = 0).

Определение эллипса и вывод канонического уравнения (Д), параллельный перенос центра.

 

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, назывемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.

 

Гипербола

Как учат в школе, графиком функции является гипербола. Мы посмотрим на гиперболу несколько с иной точки зрения.

Пусть на плоскости даны две точки и .

Определение. Гиперболой называют множество точек плоскости таких, что модуль разности растояний от каждой из таких точек до и постоянна. Иными в том и только том случае, когда постоянен Точки , называются фокусами гиперболы.

Для того, чтобы получить уравнение гиперболы, воспользуемся методом, который аналогичен тому, что был использован в случае эллипса.

Введем систему координат на плоскости так, чтобы фокусы и имели бы координаты и соответственно:

Пусть точка плоскости такова, что . Здесь и - фиксированные положительные числа. Таким образом, и, как следует из неравенства треугольника, . Однако, если , то либо , либо . А это означает, что лежит на одном из лучей, дополняющих до прямой отрезок . Поэтому этот случай мы рассматривать не будем.

Перепишем равенство в координатах:

(2)

или

(2`)

С этим уравнением поступим также, как в случае эллипса мы поступили с уравнением (1):

.

Произведя необходимые преобразования дальше, получим:

, или, принимая во внимание то, что положительно, для .

Поделив обе части полученного уравнения на , получим:

(2*)

Осталось доказать, что (2*) - действительно уравнение гиперболы: как и в случае эллипса, мы должны проверить, что если координаты точки удовлетворяют (2*), то принадлежит гиперболе, то есть справедливо равенство .

Имеем:

.(*)

Совершенно аналогично

(**).

Нам нужно выбрать знак перед скобками так, чтобы каждон из выражений было положительным. Из (2*) замечаем, что . Кроме того, . При положительном внутри скобок в (*) стоит положительное число, а внутри скобок из (**) - отрицательное число. Поэтому при и , а . Случай рассматривается аналогично, и приводит к равенству .

Таким образом уравнение (2*) действительно является уравнением гиперболы. Его называют каноническим уравнением гиперболы.

Разберемся теперь, как соотносится уравнения (2*) и , которое нам известно из школы. Для этого перепишем "школьное" уравнение в виде

(Ш)

и сделаем сначала такую замену переменных:

Тогда уравнение (Ш) примет вид

для подходящих и .(Ш*)

Это уравнение уже более похоже на уравнение (2*), нам осталось избавиться в нем от суммы . Для этого сделаем такую замену переменных:

После такой замены (Ш*) примет вид при подходящем значении . Интересующийся читатель сможет без труда установить,что не равно нулю и привести полученное уравнение к каноническому виду.

Парабола

В школе говорят, что парабола - это график функции . Как хорошо известно, эту параболу можно сдвинуть по плоскости так, что ее вершина окажется в начале координат, а уравнение примет вид . Мы, как и выше поступили с гиперболой, дадим геометрическое определение параболы и получим ее каноническое уравнение.

Возьмем точку на плоскости и прямую , которая не проходит через .

Определение. Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от точки , называемой фокусом параболы ии прямой , называемой директриссой параболы.

Приступим к получению канонического уравнения параболы. Предположим, что расстояние между и равно . Введем систему координат так, что будет иметь координаты , а - уравнение .

Пусть точка принадлежит параболе. Тогда тот факт, что она равноудалена от и записывается так:

.

После возведения в квадрат этого уравнения, будем иметь , откуда получается

(3)

Нам осталось проверить, что всякая точка координаты которой удовлетворяют уравнению (3), будет равноудалена от и . Поскольку положительно, , из чего следует, что . Заменяя здесь на из (3), получим . То есть действительно равноудаленна от и .

Нормальное уравнение плоскости и расстояние от точки до плоскости (вывод уравнения, Д).

Нормальным уравнением плоскости называется её уравнение, написанное в виде

x cos α + y cos β + z cos g— p = 0, (1)

где cos α, cos β, cos g суть направляющие косинусы нормали плоскости, р — расстояние до плоскости от начала координат. При вычислении направляю­щих косинусов нормали следует считать, что она направлена от начала ко­ординат к плоскости (если же плоскость проходит через начало координат, то выбор положительного направления нормали безразличен).

Пусть М* — какая угодно точка пространства, d — расстояние от неё до данной плоскости. Отклонением о точки М* от данной плоскости называется число + d, если точка М* и начало координат лежат по разные стороны от данной плоскости, и число — d, если они лежат по одну сторону от данной плоскости (если М* лежит на самой плоскости, то отклонение равно нулю).

Если точка М * имеет координаты x *, у*, z*, а плоскость задана нор­мальным уравнением

x cos α + y cos β + z cos g— p = 0, то отклонение точки М * от этой плоскости даётся формулой

δ = x* cos α + y* cos β + z* cos g— p

Очевидно, d= |δ |.

Общее уравнение плоскости

Ах + By + Cz + D = 0

приводится к нормальному виду (1) умножением на нормирующий множи­тель, определяемый формулой

;

знак нормирующего множителя берётся противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения.

 

17. Взаимное расположения двух плоскостей: α₁ перпендикулярно α₂, α₁ II α₂ (2Д).

Возможны два случая взаимного расположения двух плоскостей в пространстве:

· Параллельны

· Пересекаться

Опр. Две плоскости в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются, в противном случаи они пересекаются.

Теорема1: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство:

Пусть и - данные плоскости, а1 и а2 - прямые в плоскости, пересекающиеся в точке А, в1 и в2 - соответственно параллельные им прямые в

плоскости. Допустим, что плоскости и не параллельны, т.е. пересекаются по некоторой прямой с. По теореме прямые а1 и а2, как параллельные прямым в1и в2, параллельны плоскости, и поэтому они не

пересекают лежащую в этой плоскости прямую с. Таким образом, в плоскости через точку А проходят две прямые (а1 и а2), параллельные прямой с. Но это невозможно по аксиоме параллельных. Мы пришли к противоречию ЧТД.

Перпендикулярные плоскости: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

Теорема2: Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Доказательство:

Пусть - плоскость, в -перпендикулярная ей прямая, - плоскость, проходящая через прямую в, с - прямая, по которой пересекаются плоскости и. Докажем, что плоскости и перпендикулярны. Проведем в плоскости через точку пересечения прямой в с плоскостью прямую а,

перпендикулярную прямой с. Проведем через прямые а и в плоскость. Она перпендикулярна прямой с, т.к. прямая с перпендикулярна прямым а и в. Т. к. прямые а и в перпендикулярны, то плоскости и перпендикулярны. ч.т.д.

18. Каноническое и параметрическое уравнение прямой в R^3. Уравнение через 2 точки в R^3 и уравнение плоскости в отрезках (рисунки, уравнения, самостоятельно конспект).

Канонические и параметрические уравнения прямой

Поставим следующую задачу:

Составить уравнения прямой, проходящей через данную точку M (x ₀, y ₀, z ₀) параллельно данному вектору

= { l, m, n } ≠

(вектор называется направляющим вектором прямой).

Решение. Пусть N (x, y, z) — произвольная точка пространства. Построим вектор MN = { x − x ₀, y − y ₀, z − z ₀} (рис.1).

Очевидно, что точка N принадлежит прямой тогда и только тогда, когда вектор MN коллинеарен вектору

= { l, m, n }, т.е. когда их координаты пропорциональны:

(1)

Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Замечания.

1. От канонических уравнений легко перейти к общим уравнениям прямой, например:

2. Одна или две координаты направляющего вектора прямой могут быть равны нулю, это означает, что числитель соответствующей дроби тоже равен нулю.

Если в (1) ввести параметр t

т о уравнения прямой можно записать в виде

Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой. Они имеют механический смысл: если параметр t рассматривать как время, а x, y, z — как координаты материальной точки, то параметрические уравнения описывают равномерное прямолинейное движение точки со скоростью

= { l, m, n }, (x ₀, y ₀, z ₀) —начальное положение точки (при t = 0).