Каноническое уравнение эллипса.

Теорема. В канонической для эллипса системе координат уравнение эллипса имеет вид:

. (4)

Доказательство. Доказательство проведем в два этапа. На первом этапе мы докажем, что координаты любой точки, лежащей на эллипсе удовлетворяют уравнению (4). На втором этапе мы докажем, что любоерешение уравнения (4) дает координаты точки, лежащей на эллипсе. Отсюда будет следовать, что уравнению (4) удовлетворяют те и только те точки координатной плоскости, которые лежат на эллипсе. Отсюда и изопределения уравнения кривой будет следовать, что уравнение (4) является уравнением эллипса.

1) Пусть точка М(х, у) является точкой эллипса, т.е. сумма ее фокальных радиусов равна 2а:

.

Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками накоординатной плоскости и найдем по этой формуле фокальные радиусы данной точки М:

, , откуда получаем:

.

Перенесем один корень в правую часть равенства и возведем в квадрат:

.

Сокращая, получаем:

.

Приводим подобные, сокращаем на 4 и уединяем радикал:

.

Возводим в квадрат

.

Раскрываем скобки и сокращаем на :

,

откуда получаем:

.

Используя равенство (2), получаем:

.

Разделив последнее равенство на , получаем равенство (4), ч.т.д.

2) Пусть теперь пара чисел (х, у) удовлетворяет уравнению (4) и пусть М(х, у) – соответствующая точка на координатной плоскости Оху.

Тогда из (4) следует:

.

Подставляем это равенство в выражение для фокальных радиусов точки М:

.

Здесь мы воспользовались равенством (2) и (3).

Таким образом, . Аналогично, .

Теперь заметим, что из равенства (4) следует, что

или и т.к. , то отсюда следует неравенство:

.

Отсюда, в свою очередь, следует, что

или и

, . (5)

Из равенств (5) следует, что , т.е. точка М(х, у) является точкой эллипса, ч.т.д.

Теорема доказана.

Определение. Уравнение (4) называется каноническим уравнением эллипса.

Определение. Канонические для эллипса оси координат называются главными осями эллипса.

Определение. Начало канонической для эллипса системы координатназывается центром эллипса.

 

Определение гиперболы и параболы, уравнение и рисунки. Полярная система координат на плоскости.

Гипербола

Как учат в школе, графиком функции является гипербола. Мы посмотрим на гиперболу несколько с иной точки зрения.

Пусть на плоскости даны две точки и .

Определение. Гиперболой называют множество точек плоскости таких, что модуль разности растояний от каждой из таких точек до и постоянна. Иными в том и только том случае, когда постоянен Точки , называются фокусами гиперболы.

Для того, чтобы получить уравнение гиперболы, воспользуемся методом, который аналогичен тому, что был использован в случае эллипса.

Введем систему координат на плоскости так, чтобы фокусы и имели бы координаты и соответственно:

Пусть точка плоскости такова, что . Здесь и - фиксированные положительные числа. Таким образом, и, как следует из неравенства треугольника, . Однако, если , то либо , либо . А это означает, что лежит на одном из лучей, дополняющих до прямой отрезок . Поэтому этот случай мы рассматривать не будем.

Перепишем равенство в координатах:

(2)

или

(2`)

С этим уравнением поступим также, как в случае эллипса мы поступили с уравнением (1):

.

Произведя необходимые преобразования дальше, получим:

, или, принимая во внимание то, что положительно, для .

Поделив обе части полученного уравнения на , получим:

(2*)

Осталось доказать, что (2*) - действительно уравнение гиперболы: как и в случае эллипса, мы должны проверить, что если координаты точки удовлетворяют (2*), то принадлежит гиперболе, то есть справедливо равенство .

Имеем:

.(*)

Совершенно аналогично

(**).

Нам нужно выбрать знак перед скобками так, чтобы каждон из выражений было положительным. Из (2*) замечаем, что . Кроме того, . При положительном внутри скобок в (*) стоит положительное число, а внутри скобок из (**) - отрицательное число. Поэтому при и , а . Случай рассматривается аналогично, и приводит к равенству .

Таким образом уравнение (2*) действительно является уравнением гиперболы. Его называют каноническим уравнением гиперболы.

Разберемся теперь, как соотносится уравнения (2*) и , которое нам известно из школы. Для этого перепишем "школьное" уравнение в виде

(Ш)

и сделаем сначала такую замену переменных:

Тогда уравнение (Ш) примет вид

для подходящих и .(Ш*)

Это уравнение уже более похоже на уравнение (2*), нам осталось избавиться в нем от суммы . Для этого сделаем такую замену переменных:

После такой замены (Ш*) примет вид при подходящем значении . Интересующийся читатель сможет без труда установить,что не равно нулю и привести полученное уравнение к каноническому виду.

Парабола

В школе говорят, что парабола - это график функции . Как хорошо известно, эту параболу можно сдвинуть по плоскости так, что ее вершина окажется в начале координат, а уравнение примет вид . Мы, как и выше поступили с гиперболой, дадим геометрическое определение параболы и получим ее каноническое уравнение.

Возьмем точку на плоскости и прямую , которая не проходит через .

Определение. Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от точки , называемой фокусом параболы ии прямой , называемой директриссой параболы.

Приступим к получению канонического уравнения параболы. Предположим, что расстояние между и равно . Введем систему координат так, что будет иметь координаты , а - уравнение .

Пусть точка принадлежит параболе. Тогда тот факт, что она равноудалена от и записывается так:

.

После возведения в квадрат этого уравнения, будем иметь , откуда получается

(3)

Нам осталось проверить, что всякая точка координаты которой удовлетворяют уравнению (3), будет равноудалена от и . Поскольку положительно, , из чего следует, что . Заменяя здесь на из (3), получим . То есть действительно равноудаленна от и .