Эллипс. Вывод канонического уравнения. Свойства.

Опр: Эллипсом наз сножесто точек плоскости, сумма расстояний от которых до 2 заданных точек есть величина постоянная.Заданые точки – наз фокусами эллипса.(F1,F2)

; , т.е. а и с- параметры, а>c ; ; ; ; ; т.к. a>c, то ; ; - канонич ур-ние эллипса в канонич системе координат. a и b- параметры, а- большая полуось b- малая полуось. Свойства: 1) пересечение с осями координат: с Ох: с Оу ; вершины эллипса. 2) Симметричность: эллипсу => эллипс симметричен относительно Оу. эллипсу => симметричен относит Ох эллипсу => О-ценр симметрии эллипса. 3) Эллипс расположен в ограниченной части плоскости ; 4) Эллипс можно получить из окружности с помощью сжатия или растяжения ; ; ;

5) Параметрические ур-ния эллипса: ;

6) Эксцентриситет ; отрезок; окружность(с=0).

 

Гипербола. Вывод канонического уравнения. Свойства. Асимптоты

Гиперболой наз множеатво точек плоскости модуль разницы расстояний от которых до двух заданных точек есть величина постоянная. Две заданные точки наз фокусами.

фокусы. , a<c. Если - модуль опускается со знаком минус. Если , со знаком плюс. ; ; ; ; ; ; т.к. a<c, то ; ; - каноническое ур-ние в канонической системе координат. а(Ох)- действит полуось, b(Оу)- мнимая. Свойства: 1) пересечение с осями: с Ох: - вершина. с Оу не пересек. 2) Симметрия: а) гиперб=> симметричен отност Оу. б) гиперб => симмет относит Ох в) гипеб => центрально симметр относит начала координат 3) не является ограниченной. 4) Асимптоты- прямые к которым кривые неограниченно приближ удаляясь в бесконечность. наклонная асимптота. Если асимптота если в ; Рассмотрим случай: ; ; . Асимптоты в +бесконечн , Асимптоты в -бесконечн

5)Из окружности ;

6) ;

7) Эксцентриситет директрисы

 

Парабола. Вывод канонического уравнения. Свойства.

Параболой наз множество точек плоскости расстояние от которых до зад точки (фокуса) и до заданной прямой (директрисы) равно.

|MK|=|MF| р- фокальный параметр. фокус. директриса. |MK|=|MF| ; ; - канонич ур-ние. Свойства: 1) пересечение с осями: О(0,0)-вершина. 2) Симметричность: симметричн относ Ох. 3)параметри ур-ние: 4) директриса.

 

Родство эллипса, гиперболы и параболы.

Кривая второго порядка - это множество точек плоскости для которых отношение расстояния до заданной точки (фокуса) и до заданной прямой (директрисы) есть величина постоянная равная .

а)

б)

в)

Опр: Кривая второго порядка наз центральной, если она имеет один центр симметрии и не центральной или гиперболич, если имеет бесконечное множество центров симметрии, или не имеет. Общее ур-ние кривой:

5.Преобразование прям д с к.

1)Параллельный перенос: старая система кооорд. новая.

Рассмотрим точку М. У нее были корд (х,у) в старой системе корд. и в новой. - в старой. ; координатный столбец точки М в старой с к. корд точки М в новой. корд точки в старой с.к. <~ Связь между .

2) Поворот прям д с к вокруг начала корд на угол альфа.

М(х,у) в старой системе корд. и в новой . ; ; ; ; detP=1. P- матрица перехода от старого базиса к новому

координатный столбец в старой с.к. в новой.

3) Общее преобразование прямоуг д с к, состоит из поворота и переноса. 1] а)параллельный перенос начала координат на б) поворот относительно ;

Матрица перехода: 2] а)поворот с.к. относительно О б) Перенос относительно носой с.к. композиция ; корд столбец нового начала координат.

 

 

6.

Общ ур линий второго порядка

Центральные линии).

Приведение к конанич виду в два этапа: на первом - поворос с.к. таким образом что бы ур-ие не содержало xy (т.е. b^|=0). На втором – параллельный перенос с.к.

1этап) Если ур-ие не содержит xy то первый этам можно пропустить. Если b не равн нулю: ((далее тупо подставить в ур крив)) …

Пусть ; 1 случай) если а=с ; 2 случ) если ; После первого этапа ур кривой бедет иметь вид:

Второй этап: ((центр кривые)) ; ; ; ; , где Если ;

1) если - эллипс

2) если - мнимый эллипс

3) если разных знаков - гипербола

4) если одного знака – пара мнимых пересек прямых ()

5) если разных знаков – пересек прямые ()

Теорема: ((в след билете))

НЕцентральные линии).

Приведение к конанич виду в два этапа: на первом - поворос с.к. таким образом что бы ур-ие не содержало xy (т.е. b^|=0). На втором – параллельный перенос с.к.

1этап) Если ур-ие не содержит xy то первый этап можно пропустить. Если b не равн нулю: ((далее тупо подставить в ур крив)) …

Пусть ; 1 случай) если а=с ; 2 случ) если ; После первого этапа ур кривой бедет иметь вид:

 

Второй этап: ((нецентр кривые)) ; либо либо ; пусть ; ;

1) если : ; ; - порабола

если : ; (пар перенос) , где

2) если - пара парал прямых

3) если - пара мнимых парал прямых

4) если - пара совп прямых

Теорема: Пусть в прямоуг д.с.к. задано ур крив втор порядка. Существует такая прямоуг д.с.к. в которой ур-ие принимает один из девяти кон видов.((перечислены выше))