Базис множества всех векторов в трехмерном пространстве.

Вектор.Свойства.

Вектор - направленный отрезок, нулевой вектор-точка. Длина вектора- длина отрезка вектора или расстояние от начала до конца. Два вектора равные если: лежат на парал. прямых или на одной. их длины равны, напр в одну сторону. Векторы, которые лежат на парал прямых или на одной- коллинеарные, 2 коллин. вектора напр в одну сторону- соноправл., в разнае стороны- противополнапр. векторы лежащ на парал прямых – компланарные.

Операции: 1.Сложение: правило треуг, правило парал-рама.

2.Умножение вектора на число: Произведение вектора А на число наз В: 1) В колинеарен А, 2) соноправлен, есль >0 против. есль <0 3) |В|=| |*|А| Теорема: пусть А 0, В коллин А, тогда : В= А. Док-во: В= *|А|=> |В|=| |*|А|=> | |=|В|/|А|=> Единственность: Пусть сущ и => В=| |*|А|=| |*|А| => | |*|А|=| |*|А|, А 0, | |=| | => = 2; = или = (не может).

Свойства операций: 1)А+В=В+А, 2)(А+В)+С=А+(В+С), 3)А+0=А, 4) Для А В: А+В=0. Опр: Разностью А-В=А+(-В). 5) (А+В)= А+ В 6) ( + )А= А+ А. Док-во: 1) и одного знака: Длина: |(a+b)A|=(|a|+|b|)|A|=|a|A|+|b||a|=

= |aA|+|bA|=|aA+bA||

Направл: => ; => , }=> . 2) и разного знака: а) | |=| | =- => ( + )А=0, А+ А=0 => 0=0 б) | |>| | , , , }=> .Длина: . 7) ( А)= ( )А 8)1*А=А

Множество векторов, замкнутое относительно линейных операций, называется векторным пространством. Если одно векторное пространство является подмножеством другого, то оно называется его подпространством.

 

Проекция на ось.

Опр: Осью наз прямую на которой задано направл. Оно задается произвольным не 0вым вектором. Опр: Рассм множество векторов плоскости.

-проекция вектора на ось(рис)

Рассм произв ось. Пусть l прямая пересек ось в произв точке. Еще есть точка М(не лежащая на оси). Проводим через нее прямую || l. Получаем -проекцию точки на ось вектора А || l . Опр: Рассм множество всех векторов 3-х метром пространстве. Берется ось, через нее проводится плоскость Пи. Берется М, через нее проводится еще одна плоскость || Пи . Алгебраич значением проекции вектора на ось наз число которое опр след образом: Свойства алгебр значений:

1) 2) . Опр: Под углом между векторами будем принимать угол между векторами равных данным и имеющими общее начало и абсолютной величине не больше 180. По часовой угол с минусом, против +. Опр: Рассм проекциб вектора на ось || l или || плоскости Пи., если эта прямая или плоскость перпендик оси, то она ортогональна. Теорема: Алгебр значение ортогональной проекции АВ на ось вектора а Док-во:

1) , проводим ||AB из точки С (лежащей на оси), получается CD => т.к. длины АВ и CD равны =>

2) , .

 

3 ) Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис векторного пространства. Разложение вектора по базису. Координаты вектора. Арифметические свойства координат вектора.

Система векторов a1,...,ak называется линейно независимой, если нулевой вектор раскладывается по ней единственным образом.

Система векторов a1,..., аk, линейно зависима, если нулевой вектор раскладывается по ней не единственным образом, т. е. если найдутся такие коэффициенты α1,...,αk что α1a1 +... + αkаk = 0, но не все они равны нулю: а1^2+... + аk^2≠ 0.

Базисом в векторном пространстве называется упорядоченная линейно независимая система векторов такая, что любой вектор этого пространства по ней раскладывается.

Чтобы разложить, вектор b по базисным векторам a₁,..., a_n, необходимо найти коэффициенты x₁,...,x_n, при которых линейная комбинация векторов a₁,...,a_n равна вектору b.

Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.

Равные векторы в единой системе координат имеют равные координаты

Координаты коллинеарных векторов пропорциональны:

Подразумевается, что координаты вектора не равны нулю.

 

Квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат:

При умножении вектора на действительное число каждая его координата умножается на это число:

При сложении векторов соответствующие координаты векторов складываются:

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат:

Векторное произведение двух векторов можно вычислить с помощью определителя матрицы

где

Аналогично, смешанное произведение трех векторов можно найти через определитель

 

4.Базис множества всех векторов на прямой и плоскости.

Теорема1: Произвольный не 0ой вектор обр базис множества всех векторов прямой. Док-во: Рассмотрим любой 1) -лин независ система векторов,т.к. => => => . 2) Любой произвольный вектор принадлеж прямой. коллинеарен : координата вектора в базисе => множество всех векторов на прямой обр базис величиной 1. Теорема2:

2 произвнеколинеарн вектора обр базис множества всех векторов плоскости. Док-во: Пусть произ неколин векторы. 1) лин независ система векторов, т.к. оба они не равно нулю, т.к. о коллинеарен всем. Подставл в лин комбинацию: , от обратного. Пусть противоречие. => лин независ система.

2) . базис на АВ. базис на АС=> координаты вектора в базисе .

 

Уравн линий и поверхн

Параметрические уравнения линий и поверхностей. Алгебраические линии и поверхности. Примеры.

 

Линия на плоск – это множество точек, координаты которых удовл F(x,y)=0, данное ур-е должно иметь решение и не должно быть тождеством, в этом случае говорят, что кривая задана не явно. Если кривая задается множ-ом тчк y=f(x)– явно. (x+1024y-1100=0 - прямая). Если в неявном ур-ии кривой F(x,y)=0, F(x,y) – многочлен относ x,y то такая кривая – алгебраическая. Степень данного мн-на порядок кривой. Если F(x,y) нельзя представить в виде мн-на относ x,y то кривая назыв трансцендентной. (Ax+By+C=0 – алг, y=cosx - трансц). Параметрич ур-ями кривой наз ур-ия вида

, где t – параметр, котор приним знач от а до b (a≤t≤b) F(x,y)=0 => F(x(t),y(t))=0 (y-kx-b=0

Поверхностью в 3д пространсте назыв множ-во тчк корд-ты кот-ых удовл: F(x,y,z)=0 если пов-сть задается z=z(x,y) то говорят что пов-сть задана явно (Ур-ие F(x,y,z)=0 имеет реш и не явл тожд) (x,y,z) – прям.д.с.к. (Ax+By+Cz+D=0) (про мн-ны, алг и трансц тоже самое) парам-ское Ур-ие:,

u,v – парам. Кривая может быть задана как пересечение двух поверхностей или парам ур. (x=x(t) и тд)

5.Прямые и плоскости

6.

Центральные линии).

Приведение к конанич виду в два этапа: на первом - поворос с.к. таким образом что бы ур-ие не содержало xy (т.е. b^|=0). На втором – параллельный перенос с.к.

1этап) Если ур-ие не содержит xy то первый этам можно пропустить. Если b не равн нулю: ((далее тупо подставить в ур крив)) …

Пусть ; 1 случай) если а=с ; 2 случ) если ; После первого этапа ур кривой бедет иметь вид:

Второй этап: ((центр кривые)) ; ; ; ; , где Если ;

1) если - эллипс

2) если - мнимый эллипс

3) если разных знаков - гипербола

4) если одного знака – пара мнимых пересек прямых ()

5) если разных знаков – пересек прямые ()

Теорема: ((в след билете))

НЕцентральные линии).

Приведение к конанич виду в два этапа: на первом - поворос с.к. таким образом что бы ур-ие не содержало xy (т.е. b^|=0). На втором – параллельный перенос с.к.

1этап) Если ур-ие не содержит xy то первый этап можно пропустить. Если b не равн нулю: ((далее тупо подставить в ур крив)) …

Пусть ; 1 случай) если а=с ; 2 случ) если ; После первого этапа ур кривой бедет иметь вид:

 

Второй этап: ((нецентр кривые)) ; либо либо ; пусть ; ;

1) если : ; ; - порабола

если : ; (пар перенос) , где

2) если - пара парал прямых

3) если - пара мнимых парал прямых

4) если - пара совп прямых

Теорема: Пусть в прямоуг д.с.к. задано ур крив втор порядка. Существует такая прямоуг д.с.к. в которой ур-ие принимает один из девяти кон видов.((перечислены выше))

Невырожденные кривые

Кривая второго порядка называется невырожденной, если Могут возникать следующие варианты:

§ Невырожденная кривая второго порядка называется центральной, если

§ эллипс — при условии D > 0 и Δ I < 0;

§ частный случай эллипса — окружность — при условии

§ I ² = 4 D или a ₁₁ = a ₂₂, a ₁₂ = 0;

§ мнимый эллипс (ни одной вещественной точки) — при условии Δ I > 0;

§ гипербола — при условии D < 0;

§ Невырожденная кривая второго порядка называется нецентральной, если Δ I = 0

§ парабола — при условии D = 0.

Вырожденные кривые

Кривая второго порядка называется вырожденной, если Δ = 0. Могут возникать следующие варианты:

§ вещественная точка на пересечении двух мнимых прямых (вырожденный эллипс) — при условии D > 0;

§ пара вещественных пересекающихся прямых (вырожденная гипербола) — при условии D < 0;

§ вырожденная парабола — при условии D = 0:

§ пара вещественных параллельных прямых — при условии B < 0;

§ одна вещественная прямая (две слившиеся параллельные прямые) — при условии B = 0;

§ пара мнимых параллельных прямых (ни одной вещественной точки) — при условии B > 0.

Гипербалоиды

Однополостный:

- сечение однополосного гиперболойда 2-мя плоскостями

- сечение однополосного гиперболойда

-однополосный вращение

1) yOz:

2) xOz:

3) ; а) эллипс с полуосями (чем |h| больше, тем полуоси больше);

Прямолинейной образующей поверхности назовем прямую целиком лежащую на поверхности. Теорема: через каждую точку однополостного гипербалоида проходят две прямолинейных образующих. Д-во: ; ; - ур-ия двух пл-стей (первая прямая); - вторая прямая

Вращение гиперболы вокруг Oz:

Двухполостный:

- Сечения двуполостного гиперболоида плоскостью xOz

-двуполосный гиперболоид

1) yOz: - гипербола с действ осью z и мнимой у

2) xOz: - гипербола с действ осью z и мнимой х

 

3) ; а) эллипс с полуосями (чем |h| больше, тем полуоси больше);

б) |h|<|c| - пустое множество

в) |h|=|c| - 2 точки (0,0,c) и (0,0,-c)

Вращение гиперболы вокруг Oz:

 

 

-двуполосный вращение

 

Конус.

1) - две прямые

2) - две прямые

3) ; а) эллипс с полуосями (чем |h| больше, тем полуоси больше);

б) h=0 – 1 точка (0,0,0) – вершина

ЗЫ Конус – асимптотическая поверхность для гипербалоидОВ

 

 

Параболоиды

Эиптический

а - эллиптический;

- Сечения эллиптического параболоида координатными плоскостями

1) - парабола

1) - парабола

3) а) h<0 – беск множ-во

б) h=0 – 1 тчк (0,0,0)

в) h>0 эллипс с полуосями

-Дополнительные сечения параболоида

-параболойд вращения

 

Гипербалический

б - гиперболический

 

-Изображение гиперболического параболоида с помощью сечений

 

1) - парабола ветви вниз

1) - парабола ветви вверх

3) а) h<0 – гипербола с действ осью у и мнимой х

б) h=0: - две прямые

в) h>0 гипербола с действ осью х и мнимой у

Теорема: Через каждуйю точку гиперболич параб проходят 2 прямые лежащ на нем. Д-во: ; - перв прям и

 

Цилиндры

Цилиндром наз поверхность, которая получ при движении прямой в простр не меняющей своего напрв. Если данная прямая параллельна Oz, то цилиндр опред ур-ием сечения xOy, т.е. z=0

Эллиптический

Изображение эллиптического цилиндра с помощью сечений

 

Гипербалический

Изображение гипербоического цилиндра с помощью сечений

 

Пораболический

Изображение параболического цилиндра с помощью сечений

Прямолинейныеобразующие:

поверхности, бесконечная система прямых линий (или отрезков прямых линий), целиком заполняющих поверхность. Поверхность, состоящая из прямых линий, называется линейчатой. Поверхности, имеющие два семейства прямолинейных образующих, суть поверхности второго порядка.

 

Поверхности вращения.

(вокруг Oz) ; Рассмтрим M₁ и M₂ которые лежат в yOz: кривой, - ур-ие поверхности вращения

 

 

Вектор.Свойства.

Вектор - направленный отрезок, нулевой вектор-точка. Длина вектора- длина отрезка вектора или расстояние от начала до конца. Два вектора равные если: лежат на парал. прямых или на одной. их длины равны, напр в одну сторону. Векторы, которые лежат на парал прямых или на одной- коллинеарные, 2 коллин. вектора напр в одну сторону- соноправл., в разнае стороны- противополнапр. векторы лежащ на парал прямых – компланарные.

Операции: 1.Сложение: правило треуг, правило парал-рама.

2.Умножение вектора на число: Произведение вектора А на число наз В: 1) В колинеарен А, 2) соноправлен, есль >0 против. есль <0 3) |В|=| |*|А| Теорема: пусть А 0, В коллин А, тогда : В= А. Док-во: В= *|А|=> |В|=| |*|А|=> | |=|В|/|А|=> Единственность: Пусть сущ и => В=| |*|А|=| |*|А| => | |*|А|=| |*|А|, А 0, | |=| | => = 2; = или = (не может).

Свойства операций: 1)А+В=В+А, 2)(А+В)+С=А+(В+С), 3)А+0=А, 4) Для А В: А+В=0. Опр: Разностью А-В=А+(-В). 5) (А+В)= А+ В 6) ( + )А= А+ А. Док-во: 1) и одного знака: Длина: |(a+b)A|=(|a|+|b|)|A|=|a|A|+|b||a|=

= |aA|+|bA|=|aA+bA||

Направл: => ; => , }=> . 2) и разного знака: а) | |=| | =- => ( + )А=0, А+ А=0 => 0=0 б) | |>| | , , , }=> .Длина: . 7) ( А)= ( )А 8)1*А=А

Множество векторов, замкнутое относительно линейных операций, называется векторным пространством. Если одно векторное пространство является подмножеством другого, то оно называется его подпространством.

 

Проекция на ось.

Опр: Осью наз прямую на которой задано направл. Оно задается произвольным не 0вым вектором. Опр: Рассм множество векторов плоскости.

-проекция вектора на ось(рис)

Рассм произв ось. Пусть l прямая пересек ось в произв точке. Еще есть точка М(не лежащая на оси). Проводим через нее прямую || l. Получаем -проекцию точки на ось вектора А || l . Опр: Рассм множество всех векторов 3-х метром пространстве. Берется ось, через нее проводится плоскость Пи. Берется М, через нее проводится еще одна плоскость || Пи . Алгебраич значением проекции вектора на ось наз число которое опр след образом: Свойства алгебр значений:

1) 2) . Опр: Под углом между векторами будем принимать угол между векторами равных данным и имеющими общее начало и абсолютной величине не больше 180. По часовой угол с минусом, против +. Опр: Рассм проекциб вектора на ось || l или || плоскости Пи., если эта прямая или плоскость перпендик оси, то она ортогональна. Теорема: Алгебр значение ортогональной проекции АВ на ось вектора а Док-во:

1) , проводим ||AB из точки С (лежащей на оси), получается CD => т.к. длины АВ и CD равны =>

2) , .

 

3 ) Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис векторного пространства. Разложение вектора по базису. Координаты вектора. Арифметические свойства координат вектора.

Система векторов a1,...,ak называется линейно независимой, если нулевой вектор раскладывается по ней единственным образом.

Система векторов a1,..., аk, линейно зависима, если нулевой вектор раскладывается по ней не единственным образом, т. е. если найдутся такие коэффициенты α1,...,αk что α1a1 +... + αkаk = 0, но не все они равны нулю: а1^2+... + аk^2≠ 0.

Базисом в векторном пространстве называется упорядоченная линейно независимая система векторов такая, что любой вектор этого пространства по ней раскладывается.

Чтобы разложить, вектор b по базисным векторам a₁,..., a_n, необходимо найти коэффициенты x₁,...,x_n, при которых линейная комбинация векторов a₁,...,a_n равна вектору b.

Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.

Равные векторы в единой системе координат имеют равные координаты

Координаты коллинеарных векторов пропорциональны:

Подразумевается, что координаты вектора не равны нулю.

 

Квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат:

При умножении вектора на действительное число каждая его координата умножается на это число:

При сложении векторов соответствующие координаты векторов складываются:

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат:

Векторное произведение двух векторов можно вычислить с помощью определителя матрицы

где

Аналогично, смешанное произведение трех векторов можно найти через определитель

 

4.Базис множества всех векторов на прямой и плоскости.

Теорема1: Произвольный не 0ой вектор обр базис множества всех векторов прямой. Док-во: Рассмотрим любой 1) -лин независ система векторов,т.к. => => => . 2) Любой произвольный вектор принадлеж прямой. коллинеарен : координата вектора в базисе => множество всех векторов на прямой обр базис величиной 1. Теорема2:

2 произвнеколинеарн вектора обр базис множества всех векторов плоскости. Док-во: Пусть произ неколин векторы. 1) лин независ система векторов, т.к. оба они не равно нулю, т.к. о коллинеарен всем. Подставл в лин комбинацию: , от обратного. Пусть противоречие. => лин независ система.

2) . базис на АВ. базис на АС=> координаты вектора в базисе .

 

Базис множества всех векторов в трехмерном пространстве.

Теорема3: 3 произв некомпл вектора обр базис множества векторов 3-х мерного пространства. Док-во: Пусть произвольные неколинеарн вектора. 1) Покажем, что лин независимая система векторов. , , . (от обратного)Пусть - компланарны- противоречие. Т.к. если вектор раскладывается через другие, значит он лежит в их плоскости. -базис множества векторов прямой (АВ), - прямой АС - прямой АD. .