Понятие линейной комбинации векторов. Линейная зависимость векторов.

Угол между двумя векторами. Определение скалярного произведения и его основные свойства. Выражение скалярного произведения через координаты векторов в ортонормированном базисе.

Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.

Пусть прямые l₁ и l₂ заданы уравнениями:
l₁: y=k₁x+в₁
l₂: y=k₂x+в₂
c углами наклона к оси Ох соответственно φ₁ и φ₂ (рис.2).

Обозначим через φ₁ угол наклона прямой l₁ к оси О_х и через φ угол, на который нужно повернуть прямую l₁ до совпадения с l₂
Тогда φ₁+φ=φ₂ будет, очевидно, углом наклона прямой l₂ к оси O_х. Отсюда φ=φ₂-φ₁ и если прямые l₁ и l₂ не являются перпендикулярными, то (по известной формуле тригонометрии)

Заметив, что tgφ₁=k₁ и tgφ₂=k₂ получим:

Скалярное произведение — операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат. Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Обычно используется одно из следующих обозначений: , ,

Свойства скалярного произведения

1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba

5. Если векторы а и b(ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если a ^ b, то ab=0. Справедливо и обратное утверждение: если ab =0 и а¹ 0¹b, то а ^ b

.

В трёхмерном вещественном векторном пространстве векторов введение скалярного произведения по формуле превращает это пространство в евклидово пространство. Аналогичное утверждение верно для евклидова пространства любой размерности (в сумму тогда входит количество членов, равное размерности пространства).

В любом евклидовом пространстве (размерности n) всегда можно выбрать ортонормированный базис

при разложении векторов по которому:

,

итд,

скалярное произведение будет выражаться приведённой следующей формулой:

.

В таком же, но комплексном, пространстве, скалярное произведение вводится по несколько другой формуле: . Здесь через обозначено число, комплексно сопряжённое к . При таком определении скалярное произведение становится положительно определённым.

6. Выражение скалярного произведения через координаты векторов в ортонормированном базисе.

В трёхмерном вещественном векторном пространстве векторов введение скалярного произведения по формуле превращает это пространство в евклидово пространство. Аналогичное утверждение верно для евклидова пространства любой размерности (в сумму тогда входит количество членов, равное размерности пространства).

В любом евклидовом пространстве (размерности n) всегда можно выбрать ортонормированный базис

при разложении векторов по которому:

,

итд,

скалярное произведение будет выражаться приведённой следующей формулой:

.

В таком же, но комплексном, пространстве, скалярное произведение вводится по несколько другой формуле: . Здесь через обозначено число, комплексно сопряжённое к . При таком определении скалярное произведение становится положительно определённым. Без комплексного сопряжения аксиома эрмитовости скалярного произведения была бы нарушена, а значит, вещественности определённой через него нормы вектора добиться бы не удалось, то есть норма в обычном смысле им бы не порождалась.

 

 

Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости.

Пусть заданы точки , и вектор .Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки М1 и М2 и произвольную точку М(х, у, z) параллельно вектору a. Векторы и вектор

должны быть компланарны, т.е.

 

Уравнение плоскости:

Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам, коллинеарным плоскости. Пусть заданы два вектора , коллинеарные плоскости. Тогда для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, векторы а,b, должны быть компланарны.

Уравнение плоскости:

Понятие линейной комбинации векторов. Линейная зависимость векторов.

Линейное пространство — это множество элементов, называемых векторами, над которыми определённым образом определены операции сложения и умножения на число. В любом линейном пространстве можно выделить особую систему векторов, называемых базисом линейного пространства. Количество векторов в базисе равно размерности пространства. Любой вектор из пространства можно представить, как линейную комбинацию базисных векторов. То есть, если у нас есть базис , то , где — это поле, над которым определенно линейное пространство .

Cумма вида

называется линейной комбинацией элементов с коэффициентами .

Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.

Система векторов называется линейно зависимым если хотя бы 1 вектор системы можно представить как линейную комбинацию других векторов данной системы. Система векторов называется линейно независимым если не 1 из векторов системы нельзя представить как линейную комбинацию других векторов данной системы

Бесконечное подмножество векторов из называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.

Число элементов максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество — базисом (базисом Га́меля или линейным базисом). Элементы базиса также называют базисными векторами. Свойства базиса:

Любые линейно независимых элементов -мерного пространства образуют базис этого пространства.

Любой вектор можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:

.

Система состоящая из 2 коллинеарных векторов линейно зависима. a,b – сонаправлены a= b , a,b – противоположено направлены a= b

Система состоящая из 3 компланарных векторов линейно зависима.

a,b,c – b= a+ c

Понятие базиса. Разложение вектора по базису. Координаты вектора относительно данного базиса.

Базис (др.-греч., основа) — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества — базисных векторов.

Представление какого-то конкретного (любого) вектора пространства в виде линейной комбинации векторов базиса (суммы базисных векторов числовыми коэффициентами), например или или, употребляя знак суммы : называется разложением этого вектора по этому базису.

Числовые коэффициенты называются коэффициентами разложения, а их набор в целом — представлением (или представителем) вектора в базисе (Разложение вектора по конкретному базису единственно; разложение одного и того же вектора по разным базисам — разное, то есть получается разный набор конкретных чисел, однако в результате при суммировании — как показано выше — дают один и тот же вектор).

Координатами вектора b относительно базиса В называется упорядоченная тройка чисел { x, y, z }, т.ч. b= x ·a₁+ y ·а₂+ z · а₃.

Обозначение: b={ x, y, z } _B

Любой вектор имеет однозначно определенные координаты относительно любого базиса.

Базис на прямой, на плоскости, в пространстве.

Выражение , где называется линейной комбинацией системы векторов , а числа называются коэффициентами этой линейной комбинации.

Пусть L, Р и S – прямая, плоскость и пространство точек соответственно и . Тогда – векторные пространства векторов как направленных отрезков на прямой L, на плоскости Р и в пространстве S соответственно.

Определение. Базисом векторного пространства называется любой ненулевой вектор , т.е. любой ненулевой вектор коллинеарный прямой L: и .

Обозначение базиса : – базис .

Определение. Базисом векторного пространства называется любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов пространства .

рис.1.

, где , – базис .

Определение. Базисом векторного пространства называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов (т.е. не лежащих в одной плоскости) пространства .

рис.2.

– базис .

Замечание. Базис векторного пространства не может содержать нулевого вектора: в пространстве по определению, в пространстве два вектора будут коллинеарные, если хотя бы один из них нулевой, в пространстве три вектора будут компланарные, т.е будут лежать в одной плоскости, если хотя бы один из трех векторов будет нулевой.