Определение линейного пространства

 

Определение. Множество называется линейным (векторным) пространством, если:

I. Дано правило, указывающее, как для любых двух элементов
, из найти в некоторый элемент, называемый их суммой
и обозначаемый символом + .

II. Дано правило, указывающее, как для любого вещественного
(или комплексного) числа и любого элемента из найти в
новый элемент, называемый произведением на и обозначаемый
символом или .

III. Определено понятие равенства элементов в , обозначае­мое знаком «=».

IV. I и II операции называются соответственно сложением и умножением на число и удовлетворяют следующим восьми условиям:

Сложение коммутативно

+ = + ; (1.5)

Сложение ассоциативно

( + ) + = + ( + ); (1.6)

Умножение ассоциативно

( ) = ( ) ; (1.7)

4) умножение дистрибутивно по отношению к сложению элементов из

( + ) = + ; (1.8)

Умножение дистрибутивно по отношению к сложению чисел

( + ) = + ; (1.9)

6) существует такой элемент , называемый нулевым, что

+ = (1.10)

для любого элемента ;

7) для любого элемента

∙ 1 = ; (1.11)

8) для любого элемента существует такой элемент – , называемый противоположным элементу , что

+ (– ) = . (1.12)

Если произведение определено только для вещественных чисел, то линейное пространство называется вещественным, если же произведение определено для любого комплексного числа , то линейное пространство называется комплексным. Элементы линейного пространства называются векторами (или точками) и обозначаются буквами , , , .

Свойства линейного пространства

 

Основные примеры линейных пространств будут указаны ниже, а вначале приведем (без доказательства) простейшие свойства, ко­торые непосредственно вытекают из определения линейного про­странства.

Свойство 1. В каждом линейном пространстве существует единственный
нулевой вектор.

Свойство 2. В каждом линейном пространстве для каждого вектора су­ществует единственный противоположный вектор.

Свойство 3. В любом линейном пространстве для всякого вектора имеет
место равенство

∙ = О. (1.13)

В левой части равенства символ означает число нуль, а в пра­вой – нулевой вектор О.

Свойство 4. Произведение любого числа на нулевой вектор равно ну­левому вектору, т. е.

∙ О = О. (1.14)

Свойство 5. Для каждого элемента противоположный элемент равен
произведению этого элемента на число – 1, т. е.

– = (– 1) ∙ . (1.15)

Если природа элементов, входящих в , а также правила обра­зования суммы элементов и произведения элемента на число ука­заны (причем III пункт и аксиомы IV пункта выполнены), то ли­нейное пространство называют конкретным.

 

Примеры конкретных линейных пространств

Пример 1. Множество вещественных чисел по отношению к обычным операциям сложения и умножения чисел является вещественным линейным пространством.

Пример 2. Множество всех свободных векторов в пространстве представляет собой линейное пространство, ибо все аксиомы IV пункта выполнены (операции сложения векторов по правилу параллелограмма и умножения вектора на число определены обычным образом).

Пример 3. Пусть

= ()

и

= ()

означают два решения некоторой системы линейных однородных уравнений

. (1.16)

Ранее было показано, что их сумма

+ = ( )

и произведение любого из них (для определенности ) на произвольное вещественное число

= ( , , …, )

также будут решениями системы (1.16).

Нетрудно показать, что множество всех решений однородной системы (1.16) является линейным пространством, у которого нулевым элементом является элемент О (0, 0,..., 0), а противоположным для элемента (, ,..., ) является элемент (– , – ,..., – ). Это утверждение следует из выполнимости восьми условий IV пункта, в чем легко убедиться в результате элементарной проверки каждого из них.

Пример 4. Множество , элементами которого служат упорядоченные совокуп­ности произвольных вещественных чисел = (, ,..., ). Множе­ство можно рассматривать как совокупность всевозможных строк, каж­дая из которых содержит вещественных упорядоченных чисел. При этом две строки

а = ()

b = ()

считаются различными, если нарушено хотя бы одно из равенств

.

Операции сложения элементов и множества , умножения

элемента на вещественное число определим правилами

;

.

Если в качестве нулевого элемента возьмем совокупность нулей О = (0, 0, …, 0), а элементом, противоположным для элемента , будет элемент , то справедливость условий IV пункта устанавливается элементарной проверкой каждого из них.

Пример 5. Множество всех многочленов от одной переменной , степень которых меньше либо равна заданному числу . Легко видеть, что сумма любых двух многочленов и из есть также многочлен, степени не выше , т. е. принадлежит , а произведение произвольного числа на любой многочлен из есть тоже многочлен степени не выше , и, сле­довательно, принадлежит . Понимая, как обычно, под равенствами много­членов и равенство их коэффициентов при одинаковых степе­нях , легко непосредственно проверить, что все аксиомы IV пункта выпол­нены. Заметим, что под нулевым элементом понимается многочлен, у которого все коэффи­циенты равны нулю.

 

 

Пример 6. Множество всех непрерывных функций от одной переменной , которое обозначают символом , так как для любых непрерывных на функций и их сумма + непрерывна на как сумма непрерывных функций и произведения числа и функции также непрерывна, то является линейным пространством.

Линейная зависимость

 

При изучении векторной алгебры было введено понятие линей­ной комбинации векторов. Обобщим это понятие на случай линей­ного пространства.

Пусть означают произвольные векторы линей­ного пространства .

Определение 1. Линейной комбинацией векторов , называется сумма произведений этих элементов на про­извольные вещественные числа , т. е. вектор

. (1.17)

Числа , называются коэффициентами этой ли­нейной комбинации.

Определение 2. Векторы называются ли­нейно зависимыми, если существуют чисел не все равные нулю, такие, что выполняется равенство

. (1.18)

Если же равенство (2.18) возможно только в единственном слу­чае, когда

,

то векторы называются линейно независимыми.
Рассмотрим примеры.

Пример 1. Обратимся к линейному пространству , элементами которого являются многочлены от одной переменной , степень которых меньше либо равна заданному числу .

Элементы пространства

(1.19)

образуют в этом пространстве линейно независимую систему. Линейная независимость системы (1.19) следует из того, что соотношение

может быть выполнено для любого только в том случае, если

.

Пример 2. В линейном пространстве, элементами которого являются свободные векторы на плоскости, любые три вектора линейно зависимы, т. е. существуют такие числа , не равные нулю одновременно, что выполняется соотношение

.

Пример 3. Функции линейно зависимы, так как соотношение

выполняется тождественно, если положить .

Теорема. Если векторы линейно зависимы, то один из них может быть представлен в виде линейной комбинации остальных векторов. Доказательство. Действительно, если векторы линейно зависимы, т.е. вы­полняется соотношение (1.18), и при этом допустить для определенности, что , то

или, поделив обе части последнего равенства на получим

.

 

Ясно, что верно и обратное утверждение. Последнее равенство называется разложением вектора по векторам .

 

Базис и координаты

 

Определение 1. Система линейно независимых векторов линейного пространства называется базисом этого пространства, если всякий вектор из этого пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов , т.е.

, (1.20)

где означают коэффициенты линейной комбинации.

Теорема. Коэффициенты в разложении (2.20) определяются един­ственным образом.

Доказательство. Действительно, допустим напротив, что для вектора существует два разложения по векторам :

;

.

Вычитая почленно из первого равенства второе, будем иметь

.

Но так как векторы линейно независимы, то послед­нее равенство возможно только в том случае, если

,

откуда и следует единственность представления вектора в виде линейной комбинации векторов . Эти, единственным образом определяемые числа , называются коорди­натами вектора относительно базиса , и при этом записываются

либо , либо ,

либо в виде столбца

,

который называют координатным столбцом.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. В множестве всех свободных векторов в пространстве тройка единичных взаимно ортогональных векторов образует базис. Координатами вектора относительно этого базиса служат проекции вектора на координатные оси.

Пример 2. В линейном пространстве многочленов , степень которых меньше либо равна , одночлены

образуют базис. Координатами всякого многочлена

в этом базисе являются его коэффициенты .

Во всяком фиксированном базисе все векторы можно задавать системами из чисел – их координатами в выбранном базисе. Нетрудно проверить, что если векторы заданы своими координатами, то их сложение, вычитание и умножение на число сводятся к соответствующим действиям над координатами.

Размерность

 

Определение 1. Линейно пространство , в котором существует базис из векторов, называют -мерным, а число – размерностью пространства .

Иногда, чтобы указать размерность пространства пишут .

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Множество всех свободных векторов на плоскости является двумерным линейным пространством, а множество всех свободных векторов в пространстве является трехмерным линейным пространством.

Пример 2. Линейное пространство многочленов степень которых не выше 4, является пятимерным.

Определение 2. Линейное пространство называется бесконечномерным, если для каждого натурального числа в существует линейно независимых векторов.

Подпространства

 

Определение 1. Подпространством линейного простран­ства называется такое множество элементов из , которое само является линейным пространством с теми же операциями сложения и умножения на число.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. В линейном пространстве свободных векторов на пло­скости множество всех векторов, параллельных какой-либо прямой, является подпространством.

Пример 2. В пространстве векторов, элементами которого являются одностолбцовые матрицы

,

где – любые вещественные числа, множество векторов, удовлетворяющих системе однородных линейных уравнений

(1.21)

образует линейное подпространство. Это следует из того, что сумма решений системы (1.21) и произведения решения на любое вещественное число являются также ее решениями.

Пример 3. Множество всех многочленов , степень которых не больше двух, является подпространством в пространстве всех многочленов , степень которых не более четырех.

Пример 4. Нулевой вектор линейного пространства образует, очевидно, наименьшее из возможных подпространств пространства .

Пример 5. Само линейное пространство является наибольшим из возможных подпространств пространства .

Отметим два свойства подпространств:

Свойство 1. Размерность любого подпространства в -мерном линейном пространстве не превосходит числа .

Свойство 2. Если в -мерном подпространстве -мерного пространства выбран базис , то всегда можно дополнительно так выбрать векторы , что система векторов образует базис в .