Свойства линейных пространств

 

1) В каждом линейном пространстве существует только один нулевой элемент.

2) Для каждого элемента существует только один противоположный элемент.

3) Для каждого Î L верно 0× = 0

4) Для каждого a Î R и Î L верно a× =

5) Если a× = , то a = 0 или =

6) (-1) = -

Линейные преобразования

Определение: Будем считать, что в линейном пространстве L задано некоторое линейное преобразование А, если любому элементу Î L по некоторому правилу ставится в соответствие элемент А Î L.

Определение: Преобразование А называется линейным, если для любых векторов Î L и Î L и любого a верно:

A( + ) = A +A

A(a ) = aA

 

Определение: Линейное преобразование называется тождественным, если оно преобразует элемент линейного пространства сам в себя.

Е =

 

Пример. Является ли А линейным преобразованием. А = + ; ¹ 0.

 

Запишем преобразование А для какого- либо элемента . А = +

Проверим, выполняется ли правило операции сложения для этого преобразования А( + ) = + + ; A() + A() = + + + , что верно только при = 0, т.е. данное преобразование А нелинейное.

 

 

Определение: Если в пространстве L имеются векторы линейного преобразования , то другой вектор является линейной комбинацией векторов .

 

Определение: Если только при a = b = … = l = 0, то векторы называются линейно независимыми.

 

Определение: Если в линейном пространстве L есть n линейно независимых векторов, но любые n + 1 векторов линейно зависимы, то пространство L называется n-мерным, а совокупность линейно независимых векторов называется базисом линейного пространства L.

 

Следствие: Любой вектор линейного пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса.

 

Матрицы линейных преобразований

 

Пусть в n- мерном линейном пространстве с базисом , ,…, задано линейное преобразование А. Тогда векторы А ,А ,…,А - также векторы этого пространства и их можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса:

 

A = a₁₁ + a₂₁ +…+ a_n1

A = a₁₂ + a₂₂ +…+ a_n2

……………………………….

A = a_n1 + a_n2 +…+ a_nn

Тогда матрица А = называется матрицей линейного преобразования А.

 

Если в пространстве L взять вектор = x₁ + x₂ +…+ x_n , то A Î L.

, где

……………………………..

 

Эти равенства можно назвать линейным преобразованием в базисе , ,…, .

В матричном виде:

, А× ,

 

Пример. Найти матрицу линейного преобразования, заданного в виде:

x¢ = x + y

y¢ = y + z

z¢ = z + x

x¢ = 1×x + 1×y + 0×z

y¢ = 0×x + 1×y + 1×z

z¢ = 1×x + 0×y + 1×z

A =

 

На практике действия над линейными преобразованиями сводятся к действиям над их матрицами.

 

Определение: Если вектор переводится в вектор линейным преобразованием с матрицей А, а вектор в вектор линейным преобразованием с матрицей В, то последовательное применение этих преобразований равносильно линейному преобразованию, переводящему вектор в вектор (оно называется произведением составляющих преобразований).

С = В×А

 

Пример. Задано линейное преобразование А, переводящее вектор в вектор и линейное преобразование В, переводящее вектор в вектор . Найти матрицу линейного преобразования, переводящего вектор в вектор .

С = В×А

 

Т.е.

 

Примечание: Если ïАï= 0, то преобразование вырожденное, т.е., например, плоскость преобразуется не в целую плоскость, а в прямую.

 

 

Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования

 

Определение: Пусть L – заданное n- мерное линейное пространство. Ненулевой вектор L называется собственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число l, что выполняется равенство:

A .

 

При этом число l называется собственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору .

 

Определение: Если линейное преобразование А в некотором базисе , ,…, имеет матрицу А = , то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни l₁, l₂, …,l_n уравнения:

 

Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть- характеристическим многочленом линейного преобразования А.

 

Следует отметить, что характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.

 

Рассмотрим частный случай. Пусть А – некоторое линейное преобразование плоскости, матрица которого равна . Тогда преобразование А может быть задано формулами:

 

;

в некотором базисе .

Если преобразование А имеет собственный вектор с собственным значением l, то А .

или

 

Т.к. собственный вектор ненулевой, то х₁ и х₂ не равны нулю одновременно. Т.к. данная система однородна, то для того, чтобы она имела нетривиальное решение, определитель системы должен быть равен нулю. В противном случае по правилу Крамера система имеет единственное решение – нулевое, что невозможно.

 

Полученное уравнение является характеристическим уравнением линейного преобразования А.

 

Таким образом, можно найти собственный вектор (х₁, х₂) линейного преобразования А с собственным значением l, где l - корень характеристического уравнения, а х₁ и х₂ – корни системы уравнений при подстановке в нее значения l.

 

Понятно, что если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то линейное преобразование А не имеет собственных векторов.

Следует отметить, что если - собственный вектор преобразования А, то и любой вектор ему коллинеарный – тоже собственный с тем же самым собственным значением l.

Действительно, . Если учесть, что векторы имеют одно начало, то эти векторы образуют так называемое собственное направление или собственную прямую.

 

Т.к. характеристическое уравнение может иметь два различных действительных корня l₁ и l₂, то в этом случае при подстановке их в систему уравнений получим бесконечное количество решений. (Т.к. уравнения линейно зависимы). Это множество решений определяет две собственные прямые.

 

Если характеристическое уравнение имеет два равных корня l₁ = l₂ = l, то либо имеется лишь одна собственная прямая, либо, если при подстановке в систему она превращается в систему вида: . Эта система удовлетворяет любым значениям х₁ и х₂. Тогда все векторы будут собственными, и такое преобразование называется преобразованием подобия.

 

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = .

 

Запишем линейное преобразование в виде:

Составим характеристическое уравнение:

l² - 8l + 7 = 0;

Корни характеристического уравнения: l₁ = 7; l₂ = 1;

Для корня l₁ = 7:

Из системы получается зависимость: x₁ – 2x₂ = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; 0,5t) где t - параметр.

 

Для корня l₂ = 1:

Из системы получается зависимость: x₁ + x₂ = 0. Собственные векторы для второго корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; -t) где t - параметр.

 

Полученные собственные векторы можно записать в виде:

 

 

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = .

 

Запишем линейное преобразование в виде:

 

Составим характеристическое уравнение:

l² - 4l + 4 = 0;

 

Корни характеристического уравнения: l₁ = l₂ = 2;

Получаем:

Из системы получается зависимость: x₁ – x₂ = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; t) где t - параметр.

 

Собственный вектор можно записать: .

 

 

Рассмотрим другой частный случай. Если - собственный вектор линейного преобразования А, заданного в трехмерном линейном пространстве, а х₁, х₂, х₃ – компоненты этого вектора в некотором базисе , то

,

где l - собственное значение (характеристическое число) преобразования А.

 

Если матрица линейного преобразования А имеет вид:

 

, то

 

Характеристическое уравнение:

Раскрыв определитель, получим кубическое уравнение относительно l. Любое кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет либо один, либо три действительных корня.

Тогда любое линейное преобразование в трехмерном пространстве имеет собственные векторы.

 

 

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, матрица линейного преобразования А = .

 

Составим характеристическое уравнение:

 

 

 

(1 - l)((5 - l)(1 - l) - 1) - (1 - l - 3) + 3(1 - 15 + 3l) = 0

(1 - l)(5 - 5l - l + l² - 1) + 2 + l - 42 + 9l = 0

(1 - l)(4 - 6l + l²) + 10l - 40 = 0

4 - 6l + l² - 4l + 6l² - l³ + 10l - 40 = 0

-l³ + 7l² – 36 = 0

-l³ + 9l² - 2l² – 36 = 0

-l²(l + 2) + 9(l² – 4) = 0

(l + 2)(-l² + 9l - 18) = 0

 

Собственные значения: l₁ = -2; l₂ = 3; l₃ = 6;

 

1) Для l₁ = -2:

 

Если принять х₁ = 1, то Þ х₂ = 0; x₃ = -1;

 

Собственные векторы:

 

2) Для l₂ = 3:

 

Если принять х₁ = 1, то Þ х₂ = -1; x₃ = 1;

 

Собственные векторы:

 

3) Для l₃ = 6:

 

Если принять х₁ = 1, то Þ х₂ = 2; x₃ = 1;

 

Собственные векторы:

 

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, матрица линейного преобразования А = .

 

Составим характеристическое уравнение:

 

 

-(3 + l)((1 - l)(2 - l) – 2) + 2(4 - 2l - 2) - 4(2 - 1 + l) = 0

-(3 + l)(2 - l - 2l + l² - 2) + 2(2 - 2l) - 4(1 + l) = 0

-(3 + l)(l² - 3l) + 4 - 4l - 4 - 4l = 0

-3l² + 9l - l³ + 3l² - 8l = 0

-l³ + l = 0

l₁ = 0; l₂ = 1; l₃ = -1;

 

Для l₁ = 0:

 

Если принять х₃ = 1, получаем х₁ = 0, х₂ = -2

Собственные векторы ×t, где t – параметр.

 

Для самостоятельного решения: Аналогично найти и для l₂ и l₃.

 

Квадратичные формы

 

 

Определение: Однородный многочлен второй степени относительно переменных х₁ и х₂

Ф(х₁, х₂) = а ₁₁

 

не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных х₁ и х₂.

 

Определение: Однородный многочлен второй степени относительно переменных х₁, х₂ и х₃

 

 

не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных х₁, х₂ и х₃.

 

Рассмотрим квадратичную форму двух переменных. Квадратичная форма имеет симметрическую матрицу А = . Определитель этой матрицы называется определителем квадратичной формы.

 

Пусть на плоскости задан ортогональный базис . Каждая точка плоскости имеет в этом базисе координаты х₁, х₂.

Если задана квадратичная форма Ф(х₁, х₂) = а ₁₁ , то ее можно рассматривать как функцию от переменных х₁ и х₂.