Угол между прямыми в пространстве

 

Пусть в пространстве заданы две прямые. Их параметрические уравнения:

l₁:

l₂:

 

Угол между прямыми j и угол между направляющими векторами j этих прямых связаны соотношением: j = j₁ или j = 180⁰ - j₁. Угол между направляющими векторами находится из скалярного произведения. Таким образом:

.

 

 

Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве

 

Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.

 

Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю.

 

 

Угол между прямой и плоскостью

Определение. Углом между прямой и плоскостью называется любой угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

 

 

a

 

a

j

 

Пусть плоскость задана уравнением , а прямая - . Из геометрических соображений (см. рис.) видно, что искомый угол a = 90⁰ - j, где a - угол между векторами и . Этот угол может быть найден по формуле:

В координатной форме:

 

Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве

 

Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

 

Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарны. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.

 

Поверхности второго порядка

Определение. Поверхности второго порядка – это поверхности, уравнения которых в прямоугольной системе координат являются уравнениями второго порядка.

 

 

Цилиндрические поверхности

Определение. Цилиндрическими поверхностями называются поверхности, образованные линиями, параллельными какой- либо фиксированной прямой.

 

Рассмотрим поверхности, в уравнении которых отсутствует составляющая z, т.е. направляющие параллельны оси Оz. Тип линии на плоскости ХOY (эта линия называется направляющей поверхности) определяет характер цилиндрической поверхности. Рассмотрим некоторые частные случаи в зависимости от уравнения направляющих:

 

1) - эллиптический цилиндр.

 

 

2) - гиперболический цилиндр.

 

 

3) x² = 2py – параболический цилиндр.

 

 

 

Поверхности вращения

 

 

Определение. Поверхность, описываемая некоторой линией, вращающейся вокруг неподвижной прямой d, называется поверхностью вращения с осью вращения d.

Если уравнение поверхности в прямоугольной системе координат имеет вид:

F(x² + y², z) = 0, то эта поверхность – поверхность вращения с осью вращения Оz.

Аналогично: F(x² + z², y) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Оу,

F(z² + y², x) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Ох.

 

Запишем уравнения поверхностей вращения для некоторых частных случаев:

 

1) - эллипсоид вращения

2) - однополостный гиперболоид вращения

3) - двуполостный гиперболоид вращения

4) - параболоид вращения

Аналогично могут быть записаны уравнения для рассмотренных выше поверхностей вращения, если осью вращения являются оси Ох или Оу.

 

Однако, перечисленные выше поверхности являются всего лишь частными случаями поверхностей второго порядка общего вида, некоторые типы которых рассмотрены ниже:

Сфера:

 

 

 

Трехосный эллипсоид:

 

В сечении эллипсоида плоскостями, параллельными координатным плоскостям, получаются эллипсы с различными осями.

 

 

 

 

Однополостный гиперболоид:

 

 

Двуполостный гиперболоид:

 

Эллиптический параболоид:

 

 

 

Гиперболический параболоид:

 

 

 

Конус второго порядка: