Размерность и базис линейного пространства

 

Линейное пространство - n -мерное, если в нем существует система из n-линейно независимых векторов, а любая система из (n +1) векторов является линейно зависимой, таким образом размерность линейного пространства - это наибольшее количество линейно независимых элементов в нем.

Базисом n -мерного линейного пространства является любая упорядоченная систем n -мерного независимых векторов в нем.

Напр.: базис - образуют тройка некомпланарных векторов.

 

Опр.: Вектора некомпланарные, если они не лежат в одной плоскости.

 

Иными словами множество из n- векторов называется базисом, если оно линейно независимо и любой вектор этого пространства можно представить как линейную комбинацию базисных векторов.

Th1: Система из n -единичных векторов в пространстве образует базис

Th2: Любой вектор пространства может быть представлено в виде линейной комбинации базисных векторов единственным образом.

 

Пр.: Образует ли в любом пространстве - базис?

по базису

 

 

и - линейно независимы

 

 

и базис в

- координаты

 

 

Ранг матрицы.

Если дана некоторая система n- мерных векторов, то возникает вопрос, является ли эта система линейно зависимой или нет. При поверхностном взгляде на это вопрос трудно ответить, например, пусть дана система векторов а₁=(2,-5,1,-1), а₂=(1,3,6.5), а₃=(-1,4,1,2). Эти векторы связаны соотношением 7а₁-3а₂+11а₃=0.

Рассмотрим произвольную матрицу, содержащую m строк и n столбцов.

Столбцы этой матрицы, рассматриваемые как m -мерные векторы, могут быть линейно зависимыми. Ранг системы столбцов, т.е. максимальное число линейно независимых столбцов матрицы А называется рангом матрицы А. Подобным образом строки матрицы А можно рассматривать как n-мерные векторы. Оказывается, ранг системы строк матрицы А равен рангу системы столбцов, т.е. рангу этой матрицы. Доказательство этого весьма неожиданного утверждения будет получено после того, как мы введем еще одну форму определения ранга матрицы А.

Опр.: Выделим в матрице А k строк и k столбцов; элементы матрицы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, являются элементами определителя k –го порядка, который называется минором матрицы k–го порядка.

Пример:

=***

 

 

М₁-любой элемент матрицы.

М₄=0, так как есть 3 строки, а 4 строка – нулевая.

Среди всех миноров матриц различных порядков есть миноры, равные нулю, есть миноры, отличные от нуля.

Теорема: Наивысший порядок отличного от нуля минора, называется рангом матрицы [ r (A)].

Доказательство:

Пусть наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы A равен r и пусть он (минор r -го порядка D) расположен в левом верхнем углу матрицы А и отличен от нуля.

Тогда первые r столбцов матрицы А будут линейно независимыми: если бы между ними существовала линейная зависимость, то по свойствам определителей этот определитель был бы равен нулю.

Докажем теперь, что всякий l -й столбец матрицы А, r<l<=n, будет линейной комбинацией первых r векторов. Берем любое i<=i<=m, и строим вспомогательный определитель (r +1) порядка.

, получающийся «окаймлением» минора D соответствующими элементами l -го столбца и i -ой строки. При любом i определитель равен нулю. Действительно, если i>r, то будет минором (r +1) порядка нашей матрицы А и поэтому будет равен нулю в виду выбора числа r. Если же i<=r, то уже не будет минором матрицы А, так как не может быть получен вычеркиванием из этой матрицы некоторых ее строк и столбцов; однако содержит теперь две одинаковые строки и опять равен нулю.

Рассмотрим алгебраические дополнения элементов последней строки определителя Алгебраическим дополнением для элемента служит определитель D. Если же 1 <=j<=r, то алгебраическим дополнением для элемента в будет число

; оно не зависит от i и поэтому обозначено через . Разлагая определитель по последней строке и приравнивая его нулю, так как , мы получим:

, откуда, так как

. Это равенство справедливо при всех i от 1 до m, а так как его коэффициенты от i не зависят, то мы получаем, что весь i -й столбец матрицы А будет суммой ее первых r столбцов, взятых с коэффициентами .

Таким образом, в системе столбцов матрицы А мы нашли максимальную линейно независимую подсистему, состоящую из r столбцов, что доказывает, что ранг матрицы А равен r.

Эта теорема дает метод для практического вычисления ранга матрицы, а поэтому и для решения вопроса о существовании линейной зависимости в данной системе векторов; составляя матрицу, для которой данные векторы служат столбцами, и вычисляя ранг этой матрицы, мы находим максимальное число линейно независимых векторов нашей системы.

Правило вычисления ранга матрицы:

При вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если уже найден минор k -го порядка D, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k +1) –го порядка, окаймляющие минор D: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.

Пр.:

 

Из определения ранга матрицы следует утверждение:

1. 0 ≤ r ≤ min (m,n)

2. r = 0, тогда и только тогда, когда матрица нулевая

3. для квадратной матрицы порядка n, r=n, тогда и только тогда, когда матрица не особенная.

Пример: Найти максимальную линейно независимую подсистему в системе векторов

а₁ =(2,-2,-4), а₂= (1,9,3), а₃= (-2,-4,1), а₄ =(3,7,-1).

Элементарные преобразования матриц:

1. Транспонирование – строки меняются местами со столбцами;

2. Перестановка двух строк или столбцов;

3. Умножение элементов некоторой строки или столбца на λ, где λ≠0;

4. Прибавление к элементам какой-либо строки или столбца элементы другой строки или столбца, предварительно умноженные на некоторое число.

Th: Элементарные преобразования ранга матрицы не меняют.

Так как ранг – наивысший порядок отличного от нуля минора (т.е. является определителем), то по свойствам определителей преобразование 1. величины определителя, а соответственно и минора, не меняет.

Преобразование 2. меняет знак минора на противоположный.

Преобразование 3. увеличивает величину минора в λ-раз

Преобразование 4. величину минора (определителя) не меняет.

Следовательно, в результате перечисленных преобразований, миноры неравные нулю, останутся неравными нулю, а миноры, равные нулю, остаются равными нулю. Это означает, что ранг матрицы не меняется.

Пример: