Произвольная система линейных уравнений.

А – матрица СЛУ

В – расширенная матрица СЛУ

Тh: Кронекера - Капелли

Для того чтобы произвольная система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы r(A)=r(B).

Примечание: r(A) ≤ r(B).

Доказательство:

(необходимость)

Дано: Система совместна.

Доказать: r(A)=r(B)

Так как система совместна, то существует совокупность значений неизвестных , которые при подстановке обращает каждое уравнение в тождество.

; (*)

Рассмотрим расширенную матрицу В

Первый столбец умножим на (-с₁), второй – на (-с₂), и так далее – n-столбец умножим на (-с_n) и сложим с последним столбцом. При этом ранг матрицы не изменится.

(в силу соотношения (*))

Имеем, что r(B)=r(B₁), r(B₁)=r(А), следовательно, r(B)=r(А).

(достаточность)

Дано: r(A)=r(B)=r

Доказать, что система совместна.

Согласно r(A)=r(B)=r, наивысший порядок отличного от нуля минора равен r. Для определенности предположим, что этот минор расположен в левом верхнем углу матрицы А. Тогда систему можно переписать в следующем виде:

Тогда последние (m-r) (т.к. ранг матрицы равен r) уравнений являются следствием первых r уравнений, их можно опустить. Тогда система перепишется в виде:

Возможны 2 случая:

1. r=n (ранг матрицы равен числу неизвестных), тогда система примет вид:

Определителем этой системы является минор r -того порядка, который по условию не равен нулю, так как r(A)=r(B)=r

Следовательно, по т. Крамера эта система совместна и имеет единственное решение.

2. r <n, т.е ранг матрицы меньше числа неизвестных, тогда система имеет вид:

;

;

Назовем x₁, x₂…x_r - базисными переменными,

x_r+1, x_r+2…x_n - свободными переменными.

Присваивая свободным переменным произвольные значения(x_r+1=c₁, x_r+2=c_2,…,x_n=c_n-r), мы получаем систему, в которой определитель M_r 0 (по условию) система совместна, но имеет множество решений.

Вывод: при исследовании произвольной системы линейных уравнений, имеем следующие случаи:

1. r (A) r(B) – СЛУ решений не имеет.

2. r (A) =r (B)=n – СЛУ имеет 1 (единственное) решение.

3. r (A) = r (B) < n – СЛУ имеет множество решений.

Лекция 4

Векторная алгебра.

Опр.: Векторной величиной называется всякая величина, обладающая направлением.

Скалярной величиной называется всякая величина, не обладающая направлением.

Например, сила, действующая на материальную точку, есть векторная величина. Скорость материальной точки – векторная величина. Температура тела – скалярная величина, так как с этой величиной не связано никакое направление. Масса и плотность тела – тоже скалярные величины.

Опр.: Вектор - направленный отрезок.

А В, А - начало вектора.

В - конец вектора.

Длина вектора – его модуль, обозначается или . Начало вектора называется точкой приложения. Нулевой вектор – вектор, начало и конец которого совпадают, его направление не определено.

Единичный вектор – вектор, длина которого равна единице.

Векторы, лежащие на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Нулевой вектор коллинеарен с любым вектором.

Коллинеарные векторы, имеющие одинаковые направления и длины, называются равными.

Два вектора, имеющие равные модули, и противоположные по направлению, называются противоположными.

Действия над векторами.

Опр. Суммой векторов a и b называется вектор с, полученный следующим образом:

OM=OL+LM, c=a+b, т.е. с равен сумме векторов a и b – правило треугольника.

 

 

Свойства:

1. +(- )=0

2. + = + - свойство переместительности.

 

Правило параллелограмма:

 

Если слагаемые a и b не коллинеарны, то сумму векторов a и b можно найти следующим способом: из любой точки строим векторы a = ОА и b=OB и достраиваем до параллелограмма OACB. Вектор с=ОС и есть сумма a и b.

 

Вычитание векторов:

Вычесть вектор a ₁ (вычитаемое) из вектора a₂ (уменьшаемое) значит найти новый вектор x (разность), который в сумме с вектором a ₁ даст вектор a_2.

Умножение вектора на число.

 

Произведение на скаляр ≠0= , называется ,направлен в ту же сторону,

что и вектор , если и направленный в противоположную сторону, если и имеющий длину .

Свойства умножения вектора на число:

1. , є R.

2. , є R.

3.

Проекция вектора на ось n.

В пространстве заданы вектор и ось n. Пусть А₁ - проекция точки А на ось n, В₁ – проекция точки В на ось n.

 

В

А

n

А₁ В₁

 

Алгебраической проекцией на ось n называется величина направленного отрезка (моуль) А₁В₁, взятого со знаком «+», если направления совпадают, и со знаком «-», если не совпадают. Проекция на n обозначается пр._n .

Очевидно, что если угол - острый, т.е. направление вектора А₁В₁ совпадает с направлением оси n, то пр._n = , а если - тупой, т.е. направление А₁В₁ противоположно n, то пр._n =- .

Th: (о проекциях).

Th1: пр = cos

1. - острый угол.

 

В

 

 

А С

n

А₁ В₁

пр_n = cos

2. - тупой угол.

 

В

А

С

n

В₁ А₁

 

 

3. = , , но, с другой стороны,

, следовательно,

 

 

Th2:

(1) , (т.е. направлены в одну сторону), то

(2) , то есть и направлены в противоположные стороны.

Th3:

 

+

 

M₁ M₂ M₃

, но по чертежу , следовательно,

 

Координаты вектора. Действия над векторами в координатной форме.

Рассмотрим в пространстве декартову прямоугольную систему координат. Радиус-вектором т. М называется вектор , точка приложения которого совпадает с началом координат.

 

Z

 

 

_M

_z

_x o _y Y

 

 

X

 

- радиус-вектор т. М.

Координаты вектора называются проекции вектора на координатные оси и обозначаются

Обозначим через углы, образуемые вектором с координатными осями. Косинусы этих углов называются направляющим косинусами вектора, т.е. - направляющие косинусы вектора , тогда

, тогда

( - квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда).

 

Координаты единичного вектора равны его направляющим косинусам: