Многомерное линейное (векторное) пространство

Всякая точка на плоскости определяется двумя координатами, т.е. упорядоченной системой из двух действительных чисел, всякий вектор на плоскости определяется двумя компонентами. Аналогично, всякая точка трехмерного пространства определяется тремя координатами, всякий вектор в пространстве – тремя компонентами.

Для определения шара в пространстве нужно задать координаты его центра и радиус, т.е. четыре действительных числа, следовательно, целесообразно рассмотреть совокупность всевозможных упорядоченных чисел.

Опр.: n-мерным вектором называется упорядоченный набор из n вещественных чисел а=(х₁,х₂…х_п), где х₁,х₂…х_п - координаты вектора.

Действия:

1. 2 вектора равны, если равны их соответствующие координаты.

2. =

3.

4.Дана система из m n -мерных векторов: Вектор , где - скаляры, называют линейной комбинацией векторов

 

Рассмотрим множество и множество R действительных чисел.

Введем в V операцию сложения и умножения элементов множества V на действительные числа:

1. x+y=z, x,y,z V

2. x∙α=z, х V, α R, z V.

Также потребуем, чтобы операция сложения и умножения на число удовлетворяли следующим аксиомам:

(1) x+y=y+x

(2) (x+y)+z=x+(y+z)

(3) Существует нулевой элемент, который в сумме с любым элементом дает тот же элемент

(4) Существует противоположный элемент: x+(-x)=0, x

(5) 1∙x=x, x

(6) α(β∙x)=(α∙β)x, α,β

(7)

(8)

В случае, когда заданы операция сложения и умножения на число и выполнены 8 аксиом, говорят, что задано линейное пространство (V)

Примеры:

1. Множество векторов в этом случае множество векторов являющихся линейным пространством

2. Множество всех матриц размерностью - линейное пространство

Линейная зависимость

Вектор b из n-мерного пространства называется пропорциональным вектору а, если существует такое число k, что b=k*a. Нулевой вектор пропорционален любому вектору в виду равенства 0=0*a. Обобщением понятия пропорциональности векторов служит понятие линейной комбинации векторов.

 

Опр.(*) Система векторов называется линейно зависимой, если какой-либо из этих векторов может быть представлен в виде линейной комбинации остальных векторов. В противном случае система называется линейно независимой.

Опр. (**) Система векторов называется линейно зависимой, если существуют скаляры такие, что соотношение выполняется хотя бы при одном . Если же это соотношение выполняется только лишь в случае , то система называется линейно независимой.

Замечание: система из одного ненулевого вектора – линейно независимая, так как тогда и только тогда, когда .

Система из одного вектора линейно зависимо, тогда и только тогда, когда

Теорема: Определения (*) и (**) равносильны.

Пусть система векторов линейно зависима в смысле определения (*), тогда какой-либо вектор этой системы можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов. Для определенности положим , следовательно, , следовательно, , т.е. система линейно зависима всмысле определения (**).

Обратно: пусть система линейно зависима в смысле определения (**), тогда выполняется хотя бы при одном . Для определенности положим, что , тогда , следовательно, , где - скаляры. Следовательно, представлен в виде линейной комбинации остальных векторов, следовательно, система линейно зависима в смысле определения (*).

Теорема: Если некоторая подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Док-во: Пусть из системы , где s<m, связаны соотношением , в котором не все коэффициенты равны нулю. Отсюда следует соотношение ?, т.е. система линейно зависима.

Из этой теоремы следует: всякая система векторов, содержащая два равных, или два пропорциональных, а также всякая система, содержащая нулевой вектор, линейно зависимая. А также если система векторов линейно независима, то и всякая ее подсистема линейно независима.

Возникает вопрос, как много векторов может содержать линейно независимая система n -мерных векторов и существуют ли, в частности, такие системы с произвольно большим числом векторов. Рассмотрим в n -мерном пространстве векторы

называемые единичными векторами этого пространства. Пусть Так как левая часть этого равенства равна вектору (, то (, т.е. i=1,2,…,n, так как все компоненты нулевого вектора равны нулю, а равенство векторов равносильно равенству их соответствующих компонент. Таким образом, в n -мерном пространстве существует одна линейно независимая система, состоящая из n векторов.

Всякие s векторов n -мерного векторного пространства составляют при s>n линейно зависимую систему.