Декартова система координат на плоскости и в пространстве.

Декартова система координат на плоскости и в пространстве.

Декартова система координат в пространстве

Декартовы координаты в пространстве задаются с помощью точки начала координат и трёх взаимно-перпендикулярных направленных прямых. Прямые занумерованы, задан единичный отрезок. Положение любой точки в пространстве однозначно определено тремя числами: первое число – величина проекции точки на первую ось, второе – величина проекции на вторую ось, третье – на третью.

Декартова система координат на плоскости

Декартова система координат хорошо известна. И всё же сформулируем подробнее, каким образом она задаётся на плоскости, и какие величины в результате однозначно определяют положение точки на плоскости. Не будем, однако, слишком углубляться в терминологию, т.к. используемые понятия просты и подробно изучаются в курсе средней школы.

Как уже было замечено в гл.1, § 6, задать декартову систему координат на плоскости означает зафиксировать, во-первых, точку начала координат, а во-вторых, две перпендикулярные направленные оси (так называемые, оси координат). Причём, эти оси занумерованы. И, конечно, понадобится единичный отрезок, чтобы численно обозначать расстояние между двумя точками.

Таким образом, положение любой точки на плоскости однозначно определено двумя числами: первое число – величина проекции точки на первую ось (взятая с плюсом, если проекция попала на “положительную” часть оси, или с минусом, если на “отрицательную”), а второе – величина проекции на вторую ось.

 

Стандартным образом декартова система координат обозначаетсяOxy, оси нумеруются таким образом, что поворот от первой оси ко второй осуществляется против часовой стрелки. Координаты точки – (x,y).

 

Понятие вектора. Линейные операции над векторами.

Величины, которые полностью определяются заданием их числовых значений (например, длина, площадь, масса, объем и т.д.), называются скалярными. Величины, для определения которых, кроме числового значения, необходимо знать еще и направление (например, сила, скорость, ускорение и т.д.), называются векторными. Векторные величины геометрически изображаются с помощью векторов. Вектором называется направленный отрезок, т.е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Длиной вектора называется расстояние между началом и концом этого вектора и обозначается Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором. Нулевой вектор направления не имеет. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором. Векторы и называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых; записывают || . Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Два вектора называются равными, если они

а) коллинеарны,

б) одинаково направлены,

в) имеют одинаковые длины.

Вектор можно переносить в любую точку пространства посредством параллельного переноса (это следует из определения равенства векторов).

Векторы в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Под линейными операциями над векторами понимают

а) произведение вектора на число,

б) сложение и вычитание векторов.

Произведением вектора на число

называется вектор удовлетворяющий следующим условиям:а)длина вектора равна произведению модуля числа ƛ на длину вектора ƛ : |ƛ |= |ƛ|*| .

б) вектор ƛ коллинеарен вектору направление ƛ совпадает с направлением вектора если ƛ>0 и противоположно ему,

 

 

 

 

\

 

Координаты вектора. Действия над векторами, заданными своими координатами.

 

Линейные операции над матрицами.

Умножение матриц.

\

Перестановки.

Определитель n–го порядка и его свойства.

Обратная матрица.

Ранг матрицы.

Системы линейных уравнений

Метод Крамера. Матричный метод решения систем.

19. Критерий совместности систем линейных уравнений. Метод Гаусса

 

Взаимное расположение двух прямых, двух плоскостей, прямой и плоскости.

Квадратичные формы.

 

Координаты вектора

Теорема. Если – базис линейного пространства, то для любого вектора этого пространства существует единственная система чисел такая, что .

Из теоремы 12.2 следует существование такой системы , что выполняется. Докажем единственность. Допустим, что существует другая система , такая, что . Тогда .

Группируя слагаемые, получим

.

Отсюда следует, что , поскольку векторы линейно независимы. Теорема доказана.

.

Выражение называется разложением вектора по базису . Это выражение можно записать в матричной форме

Числа называются координатами вектора в базисе .

Если вектор имеет в некотором базисе координаты , то пишут .

Пример 7.Пусть V - пятимерное линейное пространство с базисом . Найти координаты векторов и .

, т.е. имеет координаты (2,0,-1,3,0).

Аналогично = (0,0,1,0,0).

Справедливы следующие утверждения:

1. Вектор является нулевым вектором пространства тогда и только тогда, когда все его координаты в любом базисе равны нулю.

2. Координаты суммы двух векторов в некотором базисе равны сумме соответствующих координат этих векторов в том же базисе.

3. Координаты произведения вектора на число в некотором базисе равны произведению соответствующих координат данного вектора в том же базисе на это число.

Два вектора равны между собой тогда и только тогда, когда равны между собой их соответствующие координаты в одном и том же базисе.

 

 

№ 37. Преобразование координат вектора при изменении базиса

 

Пусть в линейном пространстве V заданы два произвольных базиса и . Выразим векторы через . Пусть , где - координаты вектора в базисе .

Чтобы выразить векторы базиса через , нужно решить систему уравнений относительно векторов . Эта система имеет единственное решение, поскольку её определитель отличен от нуля.

Пусть –
решение системы. Из коэффициентов и составим матрицы:

которые называются матрицами перехода от одного базиса к другому.

Из соотношений и следует, что .

Пусть – произвольный вектор пространства V, который в базисе имеет координаты , а в базисе – , т. е.

;

.

Выясним, как преобразуются координаты вектора при переходе от одного базиса к другому. Подставим в выражение

.

Сравним полученное выражение с выражением. Коэффициенты при должны быть равны

Аналогично

В матричной форме формулы и запишутся в виде

,

где

; .

 

Евклидово пространство.

Для того, чтобы в линейном пространстве можно было измерять длины и углы, вводят новую операцию – скалярное произведение. Пусть –
n -мерное линейное пространство. Каждой паре векторов и ставится в соответствие действительное число – их скалярное произведение, обозначаемое , удовлетворяющее следующим аксиомам.

Аксиома 13.1. Скалярное произведение векторов коммутативно:

Аксиома 13.2. Скалярное произведение векторов дистрибутивно относительно сложения векторов: .

Аксиома 13.3. Числовой множитель можно вынести за знак скалярного произведения: .

Аксиома 13.4 Скалярный квадрат вектора неотрицателен: , причём тогда и только тогда, когда .

Линейное пространство размерности n со скалярным произведением, удовлетворяющим аксиомам (13.1)-(13.4), называется n -мерным евклидовым пространством и обозначается .

Пример 3.

1. Евклидовым пространством является множество всех векторов обычного трёхмерного пространства. Скалярное произведение вводится так же, как в лекции 2, т. е. как произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.

2. Евклидовым пространством является множество Т функций, непрерывных на отрезке . Скалярное произведение функций f и φ определим так: . Выполнение аксиом (13.1)-(13.4) непосредственно проверяется.

3. Если в арифметическом линейном пространстве скалярное произведение векторов и задать равенством , то аксиомы (13.1)-(13.4) выполняются.

Определение13. Величиной угла между двумя векторами и называется угол такой, что , где норма вектора .

 

Матрица линейного оператора

 

Пусть f - линейный оператор некоторого пространства, переводящий базисные векторы в ;

Тогда ,.

.

 

Определение 8. Матрица A =

называется матрицей линейного оператора в базисе .

 

Заметим, что в i -м столбце матрицы А стоят координаты в базисе .

Таким образом, каждому линейному оператору соответствует матрица оператора в данном базисе. Справедливо и обратное: всякой матрице порядка n соответствует линейный оператор n -мерного пространства.

Соотношение можно записать в матричном виде .

Пример2.Найдём матрицу оператора из предыдущего примера:

 

 

 

Значит, искомая матрица имеет вид

.

Декартова система координат на плоскости и в пространстве.

Декартова система координат в пространстве

Декартовы координаты в пространстве задаются с помощью точки начала координат и трёх взаимно-перпендикулярных направленных прямых. Прямые занумерованы, задан единичный отрезок. Положение любой точки в пространстве однозначно определено тремя числами: первое число – величина проекции точки на первую ось, второе – величина проекции на вторую ось, третье – на третью.

Декартова система координат на плоскости

Декартова система координат хорошо известна. И всё же сформулируем подробнее, каким образом она задаётся на плоскости, и какие величины в результате однозначно определяют положение точки на плоскости. Не будем, однако, слишком углубляться в терминологию, т.к. используемые понятия просты и подробно изучаются в курсе средней школы.

Как уже было замечено в гл.1, § 6, задать декартову систему координат на плоскости означает зафиксировать, во-первых, точку начала координат, а во-вторых, две перпендикулярные направленные оси (так называемые, оси координат). Причём, эти оси занумерованы. И, конечно, понадобится единичный отрезок, чтобы численно обозначать расстояние между двумя точками.

Таким образом, положение любой точки на плоскости однозначно определено двумя числами: первое число – величина проекции точки на первую ось (взятая с плюсом, если проекция попала на “положительную” часть оси, или с минусом, если на “отрицательную”), а второе – величина проекции на вторую ось.

 

Стандартным образом декартова система координат обозначаетсяOxy, оси нумеруются таким образом, что поворот от первой оси ко второй осуществляется против часовой стрелки. Координаты точки – (x,y).