Нелинейные системы автоматического управления

8.1. Особенности нелинейных систем
и методы их анализа

Система автоматического регулирования является нелинейной, если для нее не выполняется принцип суперпозиции, и сигналы в системе связаны между собой нелинейными дифференциальными уравнениями. Строго говоря, линейных САУ не существует, так как характеристики реальных устройств нелинейны и некоторые из них не могут быть линеаризованы, а при боль­ших отклонениях сигналов от установившихся значений приходится учитывать нелинейные свойства и элементов САУ, допускающих линеаризацию.

Причиной нелинейности САУ может быть то, что некоторые сигналы или их производные входят в математическое описание системы не в первой степени или имеется произведение сигналов, а также то, что коэффициенты уравнений изменяются во времени или являются функциями сигналов и их производных. Очень часто нелинейность системы обусловлена наличием в ней звеньев, у которых выходной и входной сигналы связаны между собой существенной, т.е. неподдающейся линеаризации, статической нелинейной зависимостью вида: . К числу таких звеньев относятся так называемые типовые нелинейности (табл. 8.1).

Во всех перечисленных случаях процессы, протекающие в САУ, описываются нелинейными диф­ференциальными уравнениями, что существенно услож­няет их анализ. К сигналам в нелинейной системе неприменимы преобразования Лапласа или Фурье в обычном виде. В отличие от линейных САУ нелинейная система может иметь несколько состояний устойчивого или неустойчивого равновесия, причем области устойчивости определяются не только параметрами системы, но и значениями начальных условий.

Нелинейная система может находиться не только в равновесно сходящемся процессе, но и в устойчивом установившемся периодическом режиме, называемом режимом автоколебаний. В переходном колебательном процессе в нелинейной системе изменяется не только амплитуда, но и частота колебаний.

При описании не­линейных САУ сначала составляют дифференци­альные уравнения для каждого звена системы. При этом характеристики звеньев, не являющихся существенно нелинейными, линеаризуются. В результате, получают систему дифференциальных уравнений, в которой одно или не­сколько уравнений нелинейные. Устройства, допускаю­щие линеаризацию, образуют линейную часть системы САУ, а устройства, которые не могут быть линеаризованы, составляют нелинейную часть.

Существует достаточно большое число методов, позволяющих решать задачи анализа и синтеза нелинейных систем, например: метод фазовой плоскости; метод кусочно-линейной аппроксимации; метод гармонической линеаризации; метод статистической линеариза­ции.

Метод фазовой плоскости применяется для анализа нелинейных систем, порядок которых не выше второго. На плоскости с координатами и , где – ошибка системы или какой-либо другой сигнал, строится траектория движения системы. Плоскость и траекторию движения систем называют фазовыми. По характеру фазовой траектории оценивается качество работы системы.

Метод кусочно-линейной аппроксимации используется в том случае, когда нелинейная часть системы безынерционна, и ее характеристика может быть аппроксимирована прямолинейными участками. На каждом таком участке процессы в системе описываются линейными дифферен­циальными уравнениями, решение которых может быть найдено. В точках излома нелинейной характеристики решения «сшиваются»: значения переменных в конце дан­ного участка принимаются за начальные условия для последующего участка. Таким образом удается построить фазовую траекторию движения системы.

Метод гармонической линеаризации базируется на замене нелинейного элемента линейным звеном, параметры которого определяются при синусоидальном входном сигнале из условия равенства амплитуд первых гармоник на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного звена. Данный метод может быть исполь­зован в том случае, когда линейная часть системы является низкочастотным фильтром, т.е. отфильтровывает все гармонические составляющие выходного сигнала, кроме первой гармоники.

Метод статистической линеаризации является прибли­женным и применим для систем произвольного порядка. Он основан на замене нелинейного элемента линейным звеном, коэффициенты передачи которого по математиче­скому ожиданию и случайной составляющей сигнала на входе нелинейного элемента определяются из условия статистической эквивалентности нелинейного звена ли­нейному звену.

Рассмотрим описание динамики САУ на фазовой плоскости и использование метода гармонической линеаризации для широко распространенного класса нелинейных систем, характеризующегося следующими особенностями:

1) структура системы представляет собой соединения из двух частей (рис. 8.1) – линейной части (ЛЧ), описываемой линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, и нелинейного элемента (НЭ);

2)
нелинейный элемент является безынерционным, и его входной и выходной сигналы связаны между собой некоторой статической зависимостью:

.

Если система содержит несколько нелинейных элементов, соединенных между собой параллельно, последовательно или по схеме обратной связи, то в ряде случаев удается заменить эти нелинейные элементы одним с результирующей статической характеристикой.

На рис. 8.2, а приведена структура системы, состоящая из двух параллельно включенных нелинейных звеньев, а на рис. 8.2, б проиллюстрирована методика определения результирующей статической характеристики . Для ее построения достаточно сложить ординаты нелинейных характеристик и .

Рассмотрим структуру системы, состоящую из двух последовательно соединенных статических нелинейных звеньев (рис. 8.3, а). Методика построения результирующей нелинейной характеристики проиллюстрирована на рис. 8.3, б. В первом квадранте построена статическая характеристика первого нелинейного звена , а во втором квадранте – характеристика второгозвена, но так,
что ее оси повернуты на : ось совпадает с положительной полуосью ординат, а ось направлена по отрицательной полуоси абсцисс. Значению входного сигнала (точка 1 на оси ) соответствует значение на выходе первого нелинейного элемента (точка 2).

При таком значении сигнала на входе второго нелинейного элемента сигнал на выходе системы равен: (точка 3). Очевидно, что величины и представляют собой соответственно абсциссу и ординату одной из точек на результирующей нелинейной характеристике .

Но удобнее построить эту характеристику в четвертом квадранте, для чего точка 3 с помощью биссектрисы третьего квадранта отображается в точку 4 на отрицательной полуоси ординат. Поскольку расстояния от начала координат до точек 3 и 4 одинаковы, точка 5 принадлежит эквивалентной нелинейной статической характеристике . Находя аналогичным способом ряд точек и соединяя их плавной кривой, получаем результирующую характеристику: .

Наиболее просто строится характеристика последовательного соединения трех нелинейных звеньев. Характеристика располагается в первом квадранте, а характеристики и , с соответствующим поворотом осей, – во втором и в третьем квадрантах (рис. 8.4).

В замкнутой системе (рис. 8.5, а) нелинейный элемент со статической нелинейностью , охвачен отрицательной обратной связью. При этом канал обратной связи также образует нелинейный элемент со своей статической нелинейностью .

Проиллюстрируем методику построения результирующей характеристики такой системы (рис. 8.5, б). В первом квадранте строится характеристика , а во втором (с поворотом осей на 90⁰ против часовой стрелки) строится характеристика .

На характеристике выбирается произвольная точка А. Координаты этой точки () – это соответствующие друг другу значения входного и выходного сигналов нелинейности в прямом канале системы. Сигнал является входным сигналом нелинейного звена в обратной связи системы, а его значению на выходе второй нелинейности будет соответствовать сигнал равный: .

В случае отрицательной обратной связи

т.е. указанному значению выходного сигнала системы, соответствует входной сигнал равный:

Следовательно, для построения первой точки результирующей нелинейности системы достаточно точку А переместить вправо параллельно оси абсцисс на расстояние равное значению

Очевидно, что в случае положительной обратной связи, точку А необходимо было бы переносить на такое же расстояние влево. Осуществив указанную процедуру многократно, можно по полученным точкам построить результирующую характеристику: .

Если же между нелинейными элементами имеются разделяющие их инерционные линейные звенья, то САУ уже не удается свести к рассматриваемому в данном пособии классу систем.

8.2. Исследование нелинейных систем
на фазовой плоскости

Метод фазовой плоскости используется для исследования нелинейных САУ, линей­ная часть которых с достаточной для решения практических задач точностью может быть описана диффе­ренциальным уравнением второго порядка.

Фазовой плоскостью называется плоскость, на кото­рой изображается изменение какой-либо переменной ве­личины в функции скорости ее изменения: . Оси времени на фазовой плоскости нет, но каждому моменту времени соответствует определенная точка (изображающая точка), абсцисса и ордината которой равны соответственно значению сигнала и скорости его изменения в данный момент времени. При изменении времени изображающая точка перемещается по определенной траектории, называемой фазовой траекторией.

Определим выражение фазовой траектории для сигнала , представляющего собой незатухающие гармониче­ские колебания с амплитудой и частотой (рис. 8.6, а):

. (8.1)

Скорость изменения такого сигнала равна:

. (8.2)

Выражая из уравнений (8.1) и (8.2) и , на основании основного тригонометрического тождества получим:

. (8.3)

Следовательно, незатухающие гармонические колеба­ния изображаются на фазовой плоскости в виде эллипса (рис. 8.6, б) с полуосями А и .

При изменении времени изображающая точка, будет перемещаться вдоль эллипса по часовой стрелке с периодом колебания .

Для различных амплитуд А при заданной частоте можно построить семейство таких эллипсов, вложенных один в другой (рис. 8.6, в). Совокупность фазовых траекторий нелинейной системы, соответствующих различным значения ее параметров или начальных условий, называется фазовой картиной (фазовым портретом).

В случае расходящегося колебательного процесса (рис. 8.7, а) амплитуда колебаний увеличи­вается и соответствующая такому процессу фазовая траектория бу­дет иметь вид расходящейся логарифмической спирали (рис. 8.7, б). Наоборот, затухающий колебательный процесс (рис. 8.8, а) на фазовой плоскости изображается в виде логарифмической спирали, сходящейся к началу коорди­нат (рис. 8.8, б). Фазовые портреты, соответствующие различным значениям начальных условий для таких процессов приведены соответственно на рис. 8.7, в и рис. 8.8, в.

Таким образом, по виду фазовой траектории можно наглядно судить об устойчивости си­стемы.

Возможно и решение обратной задачи – определение закона изменения сигнала по уравнению фазовой траектории . Пусть, например, фазовая траектория представляет собой отрезок прямой, начальная точка (соответствующая моменту времени ) которого имеет координаты (), а конечная совпадает с началом координат фазовой плоскости. Очевидно, что уравнение фазовой траектории:

где .

На рис. 8.9, а приведена совокупность таких фазовых траекторий, различающихся значениями абсциссы и ординаты начальной точки для случая, когда знаки и противоположны ( < 0), а на рис. 8.9, б – когда знаки и совпадают ( > 0).

Так как то уравнение фазовой траектории можно записать в виде: . Разделяя переменные, имеем Интегрируя последнее выражение, получим:

= = .

Откуда и, следовательно, искомый закон изменения сигнала:

.

Совокупность графиков сигнала , соответствующих различным начальным условиям для случая < 0, представлена на рис. 8.9, в, а для случая > 0 – на рис. 8.9, г.

Аналитическое выражение для закона изменения сигнала по уравнению фазовой траектории удается определить в очень редких случаях. Но приблизительный график можно построить, воспользовавшись следующей методикой. Необходимо, начиная от начальной точки (), отметить на фазовой траектории (рис. 8.10, а) точки, абсциссы которых отличаются друг от друга на достаточно малое постоянное по величине приращение . При этом время перехода системы от одной такой точки к достаточно близкой соседней может быть приближенно определено по формуле:

, (8.4)

где – среднее значение скорости изменения сигнала , определяемое как ордината середины отрезка фазовой траектории между данными точками. Построение графика начинается с точки , находящейся на оси ординат (рис. 8.10, б).

Каждая последующая точка графика отличается от предыдущей: по оси абсцисс на величину , а по оси времени – на величину , рассчитываемую для каждого перехода по выражению (8.4).

Рассмотрим общие закономерности, которым удовлетворяют фазовые траектории нелинейных систем.

Поскольку в верхней полуплоскости фазовой плоскости , то изображающая точка движется вдоль фазовой тра­ектории в сторону увеличения . В нижней по­ловине , следовательно, изображающая точка дви­жется вдоль фазовой траектории в сторону уменьшения . Так как в точках пересечения фазовых траекторий с осью производная , то фазо­вые траектории пересекают ось х под прямым углом.

Между собой фазовые траектории пересекаются только в особых точках. Особыми точками называют точки, соответствующие состоянию равновесия системы. Особые точки бывают четырех видов: центр, фокус, узел и седло. Центром называется особая точка в начале координат (на рис. 8.6, в). Особая точка в начале координат (см. рис. 8.7, в) является неустойчивым фокусом или устойчивым фокусом (см. рис. 8.8, в).

Начало координат является устойчивым узлом, если фазовые траектории входят в него (см. рис. 8.9, а), и неустойчивым узлом в противоположном случае (рис. 8.9, б). Находящаяся в начале координат особая точка типа «седло» всегда неустойчива, т.е. соответствует неустойчивому состоянию равновесия (рис. 8.11, а). На рис. 8.11, б особые точки образуют особый отрезок, в каждой точке которого возможно равновесие системы.

Незатухающим колебаниям в нелинейной системе на фазовой плоскости соответствуют замкнутые траектории – предельные циклы. Они бывают устойчивыми и неустойчивыми.

Устойчивый предельный цикл описывает на фазовой плоскости режим автоколебаний в системе. Он характерен тем, что фазовые траектории с обеих сторон от устойчивого предельного цикла «наматываются» на него (рис. 8.12, а).

В случае неустойчивого предельного цикла фазовые траектории отдаляются от него с одной или с обеих сторон (рис. 8.12, б). Неустойчивый предельный цикл соответствует неустойчивым колебаниям, которые в реальных системах не существуют. При этом неустойчивый предельный цикл определяет на фазовой плоскости границу, разделяющую различные установившиеся режимы.

Рассмотрим пример построения фазового портрета нелинейной САУ (рис. 8.13). Пусть передаточная функция линейной части системы равна:

,(8.5)

а статическая нелинейная зависимость между входным и выходным сигналом нелинейного элемента:

(8.6)

Такая статическая зависимость соответствует типовому нелинейному элементу «однозначная релейная характеристика с зоной нечувствительности».

Описание системы будем осуществлять в ее свободном движении, т.е. полагать, что , при этом .

Изображение по Лапласу выходного сигнала системы равно:

. (8.7)

Соответствующее выражению (8.7) операторное уравнение имеет вид:

или

(8.8)

Выполнив для (8.8) обратное преобразование Лапласа, получим:

. (8.9)

В дальнейшем для упрощения аргумент t опускается.

С учетом выражений (8.6) и (8.9) можно записать следующие дифферен­циальные уравнения, определяющие переходный процесс в системе в трех зонах величины :

(8.10)

Наиболее просто выводится уравнение фазовой траектории для второй зоны (при ). Так как и , то дифференциальное уравне­ние для этой зоны можно записать следующим образом:

или .

Разделив последнее выражение на равенство , получим:

или .

Интегрируя последнее уравнение, находим:

, (8.11)

где – постоянная интегрирования.

При различных значениях на участке – а < х < а фазовый портрет системы представляет собой семейство параллельных прямых, угол наклона которых к оси абсцисс определяется величиной постоянной времени .

В первой зоне (при ) дифференциальное уравнение, описывающее поведение системы, имеет вид:

.

С учетом порядок этого дифференциального уравнения может быть понижен:

или .

Разделив последнее уравнение на , получим:

или .

Проинтегрировав это уравнение, получим:

. (8.12)

Постоянная интегрирования может быть найдена из начальных условий:

,

где () – координаты точки, с которой начинается построение фазовой траектории:

.

Подставляя в выражение (8.12) различные сочетания значений начальных условий , полу­чим семейство фазовых траекторий для диапазона значений регу­лируемой величины .

Семейство фазовых траекторий для диапазона третьей зоны ()получим из уравнения (8.12), заменив в нем величину M на – M:

. (8.13)

Для рассматриваемой системы все фазовые траектории, описываемые выражениями (8.12) – (8.13), имеют вид логарифмических спиралей, сходящихся к началу координат.

Полная фазовая картина процесса автоматического регулирова­ния нелинейной системы, динамические свойства которой определяются дифференциальными уравнениями (8.10), имеет вид, представленный на рис. 8.14. Для других систем вид фазовых траекторий может быть иным. Например, на рис. 8.15 изображе­на фазовая картина для нелинейной системы с той же передаточной функцией линейной части, что и в предыдущем примере, но для случая, когда включенный в систему релейный элемент не имеет зоны нечувствительности, т.е.

(8.14)

Далеко не всегда при исследовании системы на фазовой плоскости удается получить аналитическое выражение для фазовых траекторий. В то же время для любой системы, линейная часть которой описывается дифференциальным уравнением второго порядка, можно записать следующее уравнение:

которое может быть сведено к системе дифференциальных уравнений первого порядка:

(8.15)

Разделив первое уравнение системы (8.15) на второе, получим уравнение фазовой траектории в виде нелинейного дифференциального уравнения первого порядка:

. (8.16)

Построение фазовых траекторий в общем случае не требует решения этого уравнения и может быть выполнено методом изоклин. С этой целью на фазовой плоскости строят семейство изоклин-линий, соответствующих алгебраическому уравнению

, (8.17)

где – постоянная величина, для которой задается ряд произвольных значений от – до + .

Каждому значению С соответствует своя изоклина. Как следует из выражения (8.17) для каждой изоклины выполняется равенство:

,

т.е. изоклина представляет собой геометрическое место точек, в которых наклон фазовой траектории постоянен.

На рис 8.16 иллюстрируется методика построения фазовой траектории по нанесенному на плоскость семейству изоклин. На каждой изоклине стрелкой указан наклон (направление касательной), соответствующий значению . Из произвольно выбранной начальной точки с координатами (), находящейся на изоклине , проводятся два луча с наклонами, соответствующими значениям и . Затем до пересечения со следующей изоклиной проводится биссектриса угла, образованного указанными лучами. Точка пересечения с координатами () – очередная точка фазовой траектории, из которой осуществляются аналогичные построения.

По фазовой картине САУ можно судить об устойчи­вости системы и характере переходных процессов ней.

8.3. Метод гармонической линеаризации
нелинейных звеньев

При подаче на вход линейной системы гармонического сигнала

(8.18)

на выходе системы также устанавливается гармонический сигнал, но с другой амплитудой и смещенный по фазе по отношению к входному. Если же синусоидальный сигнал подать на вход нелинейного элемента, то на его выходе формируются периодические колебания, но по форме существенно отличающиеся от синусоидальных. В качестве при­мера на рис. 8.17 показан характер изменения выходной переменной нелинейного элемента с релейной ха­рактеристикой (8.14) при поступлении на его вход синусоидальных колебаний (8.18).

Разлагая периодический сигнал на выходе нелинейного элемента в ряд Фурье, представляем в виде суммы постоянной составляющей и бесконечного множества гармонических составляющих:

, (8.19)

где – постоянные коэффи­циенты ряда Фурье; – частота колебаний пер­вой гармоники (основная частота), равная частоте вход­ных синусоидальных колебаний; Т – период колебания первой гармоники, равный периоду входных синусоидальных колебаний.

Выходной сигнал нелинейного элемента поступает на вход линейной части САУ (см. рис. 8.1), которая, как правило, обладает существенной инерционностью. При этом высокочастотные составляющие сигнала (8.19) практически не проходят на выход системы, т.е. линейная часть является фильтром по отношению к высокочастотным гармоническим состав­ляющим. В связи с этим, а также учитывая, что ампли­туды гармонических составляющих в уменьшаются с ростом часто­ты гармоники, для приближенной оценки выходной величины нелинейного элемента, в большом числе случаев достаточно учитывать только первую гармониче­скую составляющую в .

Следовательно, при отсутствии постоянной составляю­щей в выходных колебаниях выражение (8.19) прибли­женно можно записать в виде:

. (8.20)

Выражая из формулы (8.20) функцию , а из производной – функцию , преобразуем выражение (8.20) следующим образом:

. (8.21)

Таким образом, нелинейная зависимость выходной величины от входной в нелинейном элементе приближен­но заменяется линейной зависимостью, описываемой вы­ражением (8.21).

Выполнив в вы­ражении (8.21) преобразование Лапласа, получим:

Как и для непрерывных звеньев введем в рассмотрение переда­точную функцию нелинейного гармонически линеаризо­ванного элемента, как отношение изображения выходной ве­личины к изображению входной величины:

. (8.22)

Таблица 8.1