Системы линейных алгебраических уравнений 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Системы линейных алгебраических уравнений



 

Многие задачи на расчёт линейных электрических цепей постоян-


ного и переменного тока легко и


быстро решаются с применением


MathCAD, однако пользователь должен уметь грамотно и безошибочно составлять системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Па- кет MathCAD позволяет решать системы линейных алгебраических уравнений практически неограниченной размерности всеми известными в настоящее время способами.

Запишем систему n линейных алгебраических уравнений с n неиз-

вестными

a 11 ⋅ x 1 + a 12 ⋅ x 2 +...+ a 1 nxn = b 1,

a 21 ⋅ x 1 + a 22 ⋅ x 2 +...+ a 2 nxn = b 2,

.................................................

an 1 ⋅ x 1 + an 2 ⋅ x 2 +...+ annxn = bn.

Совокупность коэффициентов этой системы запишем в виде матри-

цы коэффициентов:


a 11


a 12


...


a 1 n


⎢ ⎥


A = ⎢ a 21


a 22


...


a 2 n


⎢..........................⎥

⎢ ⎥


⎢⎣ an 1


an 2


...


ann ⎥⎦


Система уравнений с учётом матрицы Aзапишется в виде


AX


= B,


где X и B – вектор-столбец неизвестных и вектор-столбец правых частей соответственно:


x 1 ⎤

⎢ ⎥


b

 
⎢ ⎥


X = ⎢ x 2 ⎥, B = ⎢ b 2⎥.


⎢... ⎥

⎢ ⎥

⎢⎣ xn ⎥⎦


⎢... ⎥

⎢ ⎥

⎢⎣ bn ⎥⎦


Методы решения СЛАУ делятся на прямые и итерационные. Прямые методы используют конечные соотношения (формулы) для вычисления неизвестных. К прямым методам решения СЛАУ относятся метод Гаус- са, метод обратной матрицы, метод Крамера. Прямые методы исполь- зуют обычно для сравнительно небольших систем (n < 200) с плотно за- полненной матрицей и не близким к нулю определителем. Итерацион- ные методы — это методы последовательных приближений. В них не- обходимо задать некоторое приближенное решение — начальное при- ближение. После этого с помощью некоторого алгоритма проводится один цикл вычислений, называемый итерацией. В результате итерации находят новое приближение. Итерации проводятся до получения реше- ния с требуемой точностью. К итерационным методам относятся метод простых итераций, метод Якоби, метод Зейделя. Подробно с методами решения СЛАУ можно ознакомиться в литературе [1, с. 114-154], [2, с.

216-226], [3, с. 126-155], [4, с. 24-93], [5, с. 41-65], [6, с. 133-145], [7, с.

21-36, 184-220], а также в [8, с. 7-21].

 

 

Расчёт цепи постоянного тока методами обратной матрицы и Кра-

Мера

 

 

Пусть дана электрическая цепь (рис. 2.30), состоящая из трёх вет- вей. Известны величины ЭДС источников и сопротивлений в каждой ветви. Необходимо определить токи, протекающие в каждой ветви.


I
R1 R3

3

I1 I2

R2

 

E1 E2 E3

 

Рис. 2.30. Линейная электрическая цепь

 

Для трёх неизвестных токов I1, I2, I3 составим систему из трёх уравнений согласно первому и второму законам Кирхгофа

E 1 = I 1 ⋅ R 1 + I 2 ⋅ R 2 + E 2

E 1 = I 1 ⋅ R 1 + I 3 ⋅ R 3 + E 3

I 1 = I 2 + I 3

и преобразуем её следующим образом

I 1 ⋅ R 1 + I 2 ⋅ R 2 + I 3 ⋅0 = E 1 − E 2

I 1 ⋅ R 1 + I 2 ⋅0 + I 3 ⋅ R 3 = E 1 − E 3.


I ⋅1− I


⋅1− I


⋅1 = 0


⎩ 1 2 3

Решение задачи по этапам в MathCADприведено на рис. 2.31.

 

 

Рис. 2.31


На первом этапе задаём в единицах СИ величину параметров электрической цепи - сопротивление R (Ом), ЭДС источников E (В).

На втором и третьем этапах формируем матрицы коэффициентов и свободных членов. Искомое решение на четвёртом этапе легко полу- чить методом обратной матрицы. Здесь Mr-1 – обратная матрица от мат- рицы коэффициентов, Mi– матрица токов (матрица решений СЛАУ). Следовательно величины искомых токов составят соответственно I1=1.6⋅10-3 А, I2=1⋅10-3 А, I3=6⋅10-3 А.

Проведём проверку найденных решений, используя первое урав-

нение СЛАУ


MiR 1+ Mi


R 2+ E 2 = 20.


0 1

Проверка показывает правильность найденных решений.

Данная СЛАУ несложно решается в пакете MathCAD и методом

Крамера.

Для решения СЛАУ методом Крамера введём три дополнитель-

ных матрицы, получаемых заменой соответствующего столбца в матри-

це коэффициентов на вектор-столбец правых частей (рис. 2.32).

 

 

Рис. 2.32

 

 

Решение системы методом Крамера J1, J2, J3 определяется как от-


ношение соответствующих частных


определителей


(от матриц M1, M2,


M3) к полному определителю (от матрицы MR) (рис. 2.33).


 

Рис. 2.33

 

 

Как видим решения J1, J2, J3, полученные методом Крамера совпа-

дают с решениями, полученными методом обратной матрицы.

Для студентов, желающих самостоятельно решить вышеприве-

дённую систему в пакете MathCAD методами Гаусса, Якоби и Зейделя,

рекомендуем обратиться к [8, с. 16-18].

СЛАУ, описывающая цепь переменного тока, решается аналогич-

но, ответ получается в комплексном виде.

 

 

ГЛАВА 7.

ГРАФИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

 

Системы нелинейных уравнений важны при решении многих за- дач электротехники. Существует графический и численные способы решения систем нелинейных уравнений. Рассмотрим пример решения типовой задачи.

 

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-04-07; просмотров: 298; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 44.211.31.134 (0.012 с.)