Системы линейных алгебраических уравнений

 

Многие задачи на расчёт линейных электрических цепей постоян-

ного и переменного тока легко и

быстро решаются с применением

MathCAD, однако пользователь должен уметь грамотно и безошибочно составлять системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Па- кет MathCAD позволяет решать системы линейных алгебраических уравнений практически неограниченной размерности всеми известными в настоящее время способами.

Запишем систему n линейных алгебраических уравнений с n неиз-

вестными

a 11 ⋅ x 1 + a 12 ⋅ x 2 +...+ a 1 n ⋅ xn = b 1,

a 21 ⋅ x 1 + a 22 ⋅ x 2 +...+ a 2 n ⋅ xn = b 2,

.................................................

an 1 ⋅ x 1 + an 2 ⋅ x 2 +...+ ann ⋅ xn = bn.

Совокупность коэффициентов этой системы запишем в виде матри-

цы коэффициентов:

⎡ a 11

a 12

...

a 1 n ⎤

⎢ ⎥

A = ⎢ a 21

a 22

...

a 2 n ⎥

⎢..........................⎥

⎢ ⎥

⎢⎣ an 1

an 2

...

ann ⎥⎦

Система уравнений с учётом матрицы Aзапишется в виде

A ⋅ X

= B,

где X и B – вектор-столбец неизвестных и вектор-столбец правых частей соответственно:

⎡ x 1 ⎤

⎢ ⎥

⎡ b ⎤

⎢ ⎥

X = ⎢ x 2 ⎥, B = ⎢ b 2⎥.

⎢... ⎥

⎢ ⎥

⎢⎣ xn ⎥⎦

⎢... ⎥

⎢ ⎥

⎢⎣ bn ⎥⎦

Методы решения СЛАУ делятся на прямые и итерационные. Прямые методы используют конечные соотношения (формулы) для вычисления неизвестных. К прямым методам решения СЛАУ относятся метод Гаус- са, метод обратной матрицы, метод Крамера. Прямые методы исполь- зуют обычно для сравнительно небольших систем (n < 200) с плотно за- полненной матрицей и не близким к нулю определителем. Итерацион- ные методы — это методы последовательных приближений. В них не- обходимо задать некоторое приближенное решение — начальное при- ближение. После этого с помощью некоторого алгоритма проводится один цикл вычислений, называемый итерацией. В результате итерации находят новое приближение. Итерации проводятся до получения реше- ния с требуемой точностью. К итерационным методам относятся метод простых итераций, метод Якоби, метод Зейделя. Подробно с методами решения СЛАУ можно ознакомиться в литературе [1, с. 114-154], [2, с.

216-226], [3, с. 126-155], [4, с. 24-93], [5, с. 41-65], [6, с. 133-145], [7, с.

21-36, 184-220], а также в [8, с. 7-21].

 

 

Расчёт цепи постоянного тока методами обратной матрицы и Кра-

Мера

 

 

Пусть дана электрическая цепь (рис. 2.30), состоящая из трёх вет- вей. Известны величины ЭДС источников и сопротивлений в каждой ветви. Необходимо определить токи, протекающие в каждой ветви.

I

R1 R3

3

I1 I2

R2

 

E1 E2 E3

 

Рис. 2.30. Линейная электрическая цепь

 

Для трёх неизвестных токов I1, I2, I3 составим систему из трёх уравнений согласно первому и второму законам Кирхгофа

⎪

⎧ E 1 = I 1 ⋅ R 1 + I 2 ⋅ R 2 + E 2

⎨ E 1 = I 1 ⋅ R 1 + I 3 ⋅ R 3 + E 3

⎩

⎪ I 1 = I 2 + I 3

и преобразуем её следующим образом

⎪

⎧ I 1 ⋅ R 1 + I 2 ⋅ R 2 + I 3 ⋅0 = E 1 − E 2

⎨ I 1 ⋅ R 1 + I 2 ⋅0 + I 3 ⋅ R 3 = E 1 − E 3.

⎪ I ⋅1− I

⋅1− I

⋅1 = 0

⎩ 1 2 3

Решение задачи по этапам в MathCADприведено на рис. 2.31.

 

 

Рис. 2.31

На первом этапе задаём в единицах СИ величину параметров электрической цепи - сопротивление R (Ом), ЭДС источников E (В).

На втором и третьем этапах формируем матрицы коэффициентов и свободных членов. Искомое решение на четвёртом этапе легко полу- чить методом обратной матрицы. Здесь Mr-1 – обратная матрица от мат- рицы коэффициентов, Mi– матрица токов (матрица решений СЛАУ). Следовательно величины искомых токов составят соответственно I1=1.6⋅10-3 А, I2=1⋅10-3 А, I3=6⋅10-3 А.

Проведём проверку найденных решений, используя первое урав-

нение СЛАУ

Mi ⋅ R 1+ Mi

⋅ R 2+ E 2 = 20.

0 1

Проверка показывает правильность найденных решений.

Данная СЛАУ несложно решается в пакете MathCAD и методом

Крамера.

Для решения СЛАУ методом Крамера введём три дополнитель-

ных матрицы, получаемых заменой соответствующего столбца в матри-

це коэффициентов на вектор-столбец правых частей (рис. 2.32).

 

 

Рис. 2.32

 

 

Решение системы методом Крамера J1, J2, J3 определяется как от-

ношение соответствующих частных

определителей

(от матриц M1, M2,

M3) к полному определителю (от матрицы MR) (рис. 2.33).

 

Рис. 2.33

 

 

Как видим решения J1, J2, J3, полученные методом Крамера совпа-

дают с решениями, полученными методом обратной матрицы.

Для студентов, желающих самостоятельно решить вышеприве-

дённую систему в пакете MathCAD методами Гаусса, Якоби и Зейделя,

рекомендуем обратиться к [8, с. 16-18].

СЛАУ, описывающая цепь переменного тока, решается аналогич-

но, ответ получается в комплексном виде.

 

 

ГЛАВА 7.

ГРАФИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

 

Системы нелинейных уравнений важны при решении многих за- дач электротехники. Существует графический и численные способы решения систем нелинейных уравнений. Рассмотрим пример решения типовой задачи.