Построение и анализ частотных характеристик в 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Построение и анализ частотных характеристик в



MATHCAD

 

 

Рассмотрим задачу получения и анализа частотных характеристик однозвенного нагруженного Г-образного LC -фильтра низких частот (рис. 2.52) с применением MathCAD.

В главе 8 выведено выражение (2.15) для операторной передаточ- ной функции ФНЧ. Пусть ω – частота входного сигнала (напряжения) ФНЧ, а j – мнимая единица. Заменим в (2.15) оператор Лапласа s на

комплексную переменную j·ω


 

W (j ⋅ω) =


 

(Lj ⋅ω+ R)⋅⎛ Cj ⋅ω+


 

.

1 ⎞ +1


(2.19)


⎜ ⎟

RНАГР

Преобразуем знаменатель выражения (2.19), выделив действи-

тельную и мнимую части


 

W (j ⋅ω) =


 

1 − LC ⋅ω2 +


1.

R + j ⋅ω⋅⎛ RC + L


(2.20)


⎜ ⎟


RНАГР


RНАГР


Напомним, что в математике известна процедура избавления от мнимой единицы в знаменателе выражения


1 ⋅ a


jb = a


jb =


ajb


. (2.21)


a +

Приняв


jb a


jb a 2 + b 2


a 2 + b 2


a 2 + b 2


 

a = 1 − LC ⋅ ω 2 +


R RНАГР


(2.22)


и

b = ω ⋅⎛ RC +


 

 

L ⎞ (2.23)

,


⎜ ⎟

RНАГР

и, учитывая (2.20) можно записать выражение для комплексной частот-

ной характеристики ФНЧ


 

1 − LC ⋅ ω 2 +


R

RНАГР


(2.24)


W (j ⋅ω) =


2 2 −


1 − LC ⋅ω2 +


R ⎞ + ω2 ⋅⎛ RC + L


⎜ ⎟ ⎜ ⎟


RНАГР ⎠ ⎝


RНАГР


 

ω⋅⎛ RC + L

⎜ ⎟

2 2
j R НАГР =,


1 − LC ⋅ω2 +


R ⎞ + ω2 ⋅⎛ RC + L


⎜ ⎟ ⎜ ⎟


 

 

где


 

= P (ω)+


RНАГР ⎠ ⎝

jQ (ω) = A (ω)⋅ e j ⋅ϕ(ω),


RНАГР


 

P (ω) =


 

1 − LC ⋅ ω 2 +


R

RНАГР


(2.25)

 


2 2


1− LC ⋅ω2 +


R ⎞ + ω2 ⋅⎛ RC + L


⎜ ⎟ ⎜ ⎟


RНАГР ⎠ ⎝


RНАГР


– вещественно-частотная характеристика (ВЧХ) ФНЧ,


ω⋅⎛ RC + L


(2.26)


⎜ ⎟

RНАГР


Q (ω)=−

1 − LC ⋅ω2 +


2 2 –

R ⎞ +ω2 ⋅⎛ RC + L


⎜ ⎟ ⎜ ⎟


RНАГР ⎠ ⎝


RНАГР


– мнимо-частотная характеристика (МЧХ) ФНЧ,


 

A (ω) = W (j ⋅ω) =


P (ω)2 + Q (ω)2 –


(2.27)


– амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) ФНЧ,

ϕ(ω) = arg W (j ⋅ω) = arctgQ (ω) –

P (ω)

– фазо-частотная характеристика (ФЧХ) ФНЧ.


 

 

(2.28)


Вектор (2.24) на комплексной плоскости частотных характеристик


можно описать либо с помощью пары


P (ω)


и Q (ω), либо с помощью


 

A (ω)


 

и ϕ(ω). Наибольший интерес с практической точки зрения пред-


ставляют


A (ω)


и ϕ(ω).


Введём исходные данные в MathCAD(рис. 2.64).

 

 

Рис. 2.64

 

 

Введём функции (2.25-2.28) в MathCAD(рис. 2.65).

 

Рис. 2.65

 

 

Для нахождения резонансной частоты ФНЧ необходимо АЧХ продифференцировать по частоте ω и ввести результат соответствую- щую функцию (рис. 2.66).


 

 

Рис. 2.66

 

 

Приравняем производную к нулю и решим нелинейное уравнение с помощью процедуры solve (рис. 2.67).

 

 

Рис. 2.67

 

 

Отбросим первый и третий полученные корни, а второй корень представим в виде функции, затем определим резонансные частоты при трёх значениях сопротивления нагрузки (рис. 2.68).

 

 

Рис. 2.68

 

 

Амплитудно-частотные характеристики ФНЧ при разных сопро-

тивлениях нагрузки представлены на рис. 2.69.


 

Рис. 2.69


Резонансная частота ФНЧ нелинейно зависит от сопротивления нагрузки (рис. 2.70).

 

Рис. 2.70

 

 

Фазо-частотные характеристики ФНЧ при разных сопротивлениях нагрузки представлены на рис. 2.71.

 

 

Рис. 2.71

 

 


Если


повышать частоту


входного сигнала ФНЧ начиная от резо-


нансной, то амплитуда выходного напряжения при некоторой частоте


снизится в


2 раз по сравнению с амплитудой при частоте, стремящей-


ся к нулю. Такая частота определяет полосу пропускания ФНЧ. Опреде-


лим


полосу пропускания ФНЧ при ненагруженном режиме, решив не-


линейное уравнение с помощью процедур solve. Результат представим в


формате float (с плавающей точкой), взяв первые 6 значащих цифр ре-

зультата (рис. 2.72).

 

 

Рис. 2.72

 

 

Истинным решением будет первый корень, так как он является действительным положительным числом.

Найдём полосы пропускания ФНЧ при втором и третьем сопро-

тивлениях нагрузки (рис. 2.73).

 

 

Рис. 2.73

 

 

Аналогично истинным решением будет в обоих случаях первый корень, так как он является действительным положительным числом.


Численные результаты расчётов в ной главе внесём в табл. 2.2.


MathCAD, полученные в дан-


Таблица 2.2

 

 

Показатель Сопротивление нагрузки
R НАГР1 R НАГР2 R НАГР3
Резонансная частота, ω0, Гц 997.472 994.987 703.562
Полоса про- пускания, ωПП, Гц 1551.23 1550.57 1304.32

 

Как видно из табл. 2.2 резонансная частота и полоса пропускания ФНЧ при увеличении загруженности фильтра смещаются в сторону низких частот.

 

 

ГЛАВА 11.

РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ФУРЬЕ

И АНАЛИЗ СИГНАЛОВ В MATHCAD

 

 

Как известно из курсов высшей математики и ТОЭ, любую пе- риодическую функцию можно разложить на гармонические составляю- щие – это составляет задачу гармонического или спектрального анализа. Обратная задача – задача гармонического синтеза состоит в генерации сигналов заданной формы методом суперпозиции гармонических сигна- лов разной амплитуды, фазы и частоты. MathCAD позволяет решать за- дачи гармонических анализа и синтеза с использованием встроенных процедур (рис. 2.74), либо непосредственно с помощью классических математических выражений.

 

Рис. 2.74


Гармонический анализ сигналов находит применение в электро- технике, энергетике, электромеханике, электроприводе, системах управления.

Обозначим исследуемый сигнал – периодическую функцию, ко-

торую необходимо проанализировать, как f(t). Заменим функцию f(t) на конечную сумму Sn(t) по следующей формуле

 


a

Sn (t) = 0 + a


 

cosω t + a


 

cos 2ω t +… + a


 

cos n ω t +


 

2 1 2 n


(2.29)


+ b sin ω t + b


sin 2ω t +… + b


sin n ω t,


 

где


1 2 n

a – постоянная составляющая,


a,..., a – коэффициенты синусных составляющих,

1 n

b,..., b – коэффициенты косинусных составляющих,

1 n

ω –частота основной гармоники,

n – количество членов разложения или количество гармоник.

Средняя квадратичная ошибка, возникающая из-за конечного ко-

личества гармоник, определим как

 

 


T

δ2 =


 

f (t)− S


 

(t)⎤2 dt.


∫ ⎣ n


(2.30)


где


T – период повторяемости функции f(t).


Коэффициент при косинусных составляющих разложения опреде-

лим как


2 T

ak = T


 

f (t)cos k ω tdt.


 

 

(2.31)


Коэффициент при синусных составляющих разложения опреде-

лим как


2 T

bk = T


 

f (t)sin k ω tdt.


 

 

(2.32)


 

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-04-07; просмотров: 406; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.233.232.160 (0.061 с.)