Построение и анализ частотных характеристик в

MATHCAD

 

 

Рассмотрим задачу получения и анализа частотных характеристик однозвенного нагруженного Г-образного LC -фильтра низких частот (рис. 2.52) с применением MathCAD.

В главе 8 выведено выражение (2.15) для операторной передаточ- ной функции ФНЧ. Пусть ω – частота входного сигнала (напряжения) ФНЧ, а j – мнимая единица. Заменим в (2.15) оператор Лапласа s на

комплексную переменную j·ω

 

W (j ⋅ω) =

 

(L ⋅ j ⋅ω+ R)⋅⎛ C ⋅ j ⋅ω+

 

.

1 ⎞ +1

(2.19)

⎜ ⎟

⎝ RНАГР ⎠

Преобразуем знаменатель выражения (2.19), выделив действи-

тельную и мнимую части

 

W (j ⋅ω) =

 

1 − L ⋅ C ⋅ω2 +

1.

R + j ⋅ω⋅⎛ R ⋅ C + L ⎞

(2.20)

⎜ ⎟

RНАГР

⎝ RНАГР ⎠

Напомним, что в математике известна процедура избавления от мнимой единицы в знаменателе выражения

1 ⋅ a −

j ⋅ b = a −

j ⋅ b =

a − j ⋅ b

. (2.21)

a +

Приняв

j ⋅ b a −

j ⋅ b a 2 + b 2

a 2 + b 2

a 2 + b 2

 

a = 1 − L ⋅ C ⋅ ω 2 +

R RНАГР

(2.22)

и

b = ω ⋅⎛ R ⋅ C +

 

 

L ⎞ (2.23)

,

⎜ ⎟

⎝ RНАГР ⎠

и, учитывая (2.20) можно записать выражение для комплексной частот-

ной характеристики ФНЧ

 

1 − L ⋅ C ⋅ ω 2 +

R

RНАГР

(2.24)

W (j ⋅ω) =

2 2 −

⎛

1 − L ⋅ C ⋅ω2 +

R ⎞ + ω2 ⋅⎛ R ⋅ C + L ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ RНАГР ⎠ ⎝

RНАГР ⎠

 

ω⋅⎛ R ⋅ C + L ⎞

⎜ ⎟

2 2

− j ⋅ ⎝ R НАГР ⎠ =,

⎛

1 − L ⋅ C ⋅ω2 +

R ⎞ + ω2 ⋅⎛ R ⋅ C + L ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

 

 

где

⎝

 

= P (ω)+

RНАГР ⎠ ⎝

j ⋅ Q (ω) = A (ω)⋅ e j ⋅ϕ(ω),

RНАГР ⎠

 

P (ω) =

 

1 − L ⋅ C ⋅ ω 2 +

R

RНАГР

(2.25)

 

–

2 2

⎛

1− L ⋅ C ⋅ω2 +

R ⎞ + ω2 ⋅⎛ R ⋅ C + L ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ RНАГР ⎠ ⎝

RНАГР ⎠

– вещественно-частотная характеристика (ВЧХ) ФНЧ,

ω⋅⎛ R ⋅ C + L ⎞

(2.26)

⎜ ⎟

⎝ RНАГР ⎠

Q (ω)=−

⎛

1 − L ⋅ C ⋅ω2 +

2 2 –

R ⎞ +ω2 ⋅⎛ R ⋅ C + L ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ RНАГР ⎠ ⎝

RНАГР ⎠

– мнимо-частотная характеристика (МЧХ) ФНЧ,

 

A (ω) = W (j ⋅ω) =

P (ω)2 + Q (ω)2 –

(2.27)

– амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) ФНЧ,

ϕ(ω) = arg W (j ⋅ω) = arctgQ (ω) –

P (ω)

– фазо-частотная характеристика (ФЧХ) ФНЧ.

 

 

(2.28)

Вектор (2.24) на комплексной плоскости частотных характеристик

можно описать либо с помощью пары

P (ω)

и Q (ω), либо с помощью

 

A (ω)

 

и ϕ(ω). Наибольший интерес с практической точки зрения пред-

ставляют

A (ω)

и ϕ(ω).

Введём исходные данные в MathCAD(рис. 2.64).

 

 

Рис. 2.64

 

 

Введём функции (2.25-2.28) в MathCAD(рис. 2.65).

 

Рис. 2.65

 

 

Для нахождения резонансной частоты ФНЧ необходимо АЧХ продифференцировать по частоте ω и ввести результат соответствую- щую функцию (рис. 2.66).

 

 

Рис. 2.66

 

 

Приравняем производную к нулю и решим нелинейное уравнение с помощью процедуры solve (рис. 2.67).

 

 

Рис. 2.67

 

 

Отбросим первый и третий полученные корни, а второй корень представим в виде функции, затем определим резонансные частоты при трёх значениях сопротивления нагрузки (рис. 2.68).

 

 

Рис. 2.68

 

 

Амплитудно-частотные характеристики ФНЧ при разных сопро-

тивлениях нагрузки представлены на рис. 2.69.

 

Рис. 2.69

Резонансная частота ФНЧ нелинейно зависит от сопротивления нагрузки (рис. 2.70).

 

Рис. 2.70

 

 

Фазо-частотные характеристики ФНЧ при разных сопротивлениях нагрузки представлены на рис. 2.71.

 

 

Рис. 2.71

 

 

Если

повышать частоту

входного сигнала ФНЧ начиная от резо-

нансной, то амплитуда выходного напряжения при некоторой частоте

снизится в

2 раз по сравнению с амплитудой при частоте, стремящей-

ся к нулю. Такая частота определяет полосу пропускания ФНЧ. Опреде-

лим

полосу пропускания ФНЧ при ненагруженном режиме, решив не-

линейное уравнение с помощью процедур solve. Результат представим в

формате float (с плавающей точкой), взяв первые 6 значащих цифр ре-

зультата (рис. 2.72).

 

 

Рис. 2.72

 

 

Истинным решением будет первый корень, так как он является действительным положительным числом.

Найдём полосы пропускания ФНЧ при втором и третьем сопро-

тивлениях нагрузки (рис. 2.73).

 

 

Рис. 2.73

 

 

Аналогично истинным решением будет в обоих случаях первый корень, так как он является действительным положительным числом.

Численные результаты расчётов в ной главе внесём в табл. 2.2.

MathCAD, полученные в дан-

Таблица 2.2

 

 

Показатель	Сопротивление нагрузки
R НАГР1	R НАГР2	R НАГР3
Резонансная частота, ω0, Гц	997.472	994.987	703.562
Полоса про- пускания, ωПП, Гц	1551.23	1550.57	1304.32

 

Как видно из табл. 2.2 резонансная частота и полоса пропускания ФНЧ при увеличении загруженности фильтра смещаются в сторону низких частот.

 

 

ГЛАВА 11.

РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ФУРЬЕ

И АНАЛИЗ СИГНАЛОВ В MATHCAD

 

 

Как известно из курсов высшей математики и ТОЭ, любую пе- риодическую функцию можно разложить на гармонические составляю- щие – это составляет задачу гармонического или спектрального анализа. Обратная задача – задача гармонического синтеза состоит в генерации сигналов заданной формы методом суперпозиции гармонических сигна- лов разной амплитуды, фазы и частоты. MathCAD позволяет решать за- дачи гармонических анализа и синтеза с использованием встроенных процедур (рис. 2.74), либо непосредственно с помощью классических математических выражений.

 

Рис. 2.74

Гармонический анализ сигналов находит применение в электро- технике, энергетике, электромеханике, электроприводе, системах управления.

Обозначим исследуемый сигнал – периодическую функцию, ко-

торую необходимо проанализировать, как f(t). Заменим функцию f(t) на конечную сумму Sn(t) по следующей формуле

 

a

Sn (t) = 0 + a

 

cosω t + a

 

cos 2ω t +… + a

 

cos n ω t +

 

2 1 2 n

(2.29)

+ b sin ω t + b

sin 2ω t +… + b

sin n ω t,

 

где

1 2 n

a – постоянная составляющая,

a,..., a – коэффициенты синусных составляющих,

1 n

b,..., b – коэффициенты косинусных составляющих,

1 n

ω –частота основной гармоники,

n – количество членов разложения или количество гармоник.

Средняя квадратичная ошибка, возникающая из-за конечного ко-

личества гармоник, определим как

 

 

T

δ2 =

 

⎡ f (t)− S

 

(t)⎤2 dt.

∫ ⎣ n ⎦

(2.30)

где

T – период повторяемости функции f(t).

Коэффициент при косинусных составляющих разложения опреде-

лим как

2 T

ak = T ∫

 

f (t)cos k ω tdt.

 

 

(2.31)

Коэффициент при синусных составляющих разложения опреде-

лим как

2 T

bk = T ∫

 

f (t)sin k ω tdt.

 

 

(2.32)