Мого тока, активной мощности и коэффициента мощности

 

 

Пусть к источнику переменного тока подключена активно-

реактивная нагрузка (рис. 3.25).

 

i1(t) L R1

 

 

 

 

U (t) =Um⋅sin(ω ⋅t)

C

 

 

i3(t)

R2

 

 

i2(t)

 

 

 

 

Рис. 3.25

Необходимо с применением программы Excel определить фазу потребляемого тока, активную мощность и коэффициент мощности на- грузки в установившемся режиме.

Ток через конденсатор пропорционален производной напряжения

 

du(t)

C⋅ C = i

 

(t). (3.24)

dt 3

Применим к выражению (3.24) прямое преобразование Лапласа и получим

 

C ⋅ p ⋅UC( p ) = I3 ( p ). (3.25)

Реактивное сопротивление конденсатора в операторной форме

 

C

Z( p) = UC( p) =

I3 ( p)

 

1

C ⋅ p

 

. (3.26)

Реактивное сопротивление конденсатора в комплексной форме

 

C

Z ( j ⋅ω) = UC ( j ⋅ω) =

I3 ( j ⋅ω)

 

1

C ⋅ j ⋅ω

 

= − j ⋅

 

1

C ⋅ω

 

, (3.27)

где ω = 2⋅π ⋅ f

– круговая частота гармонического входного напряжения,

f– частота гармонического входного напряжения.

В данной задаче примем частоту

f= 50 Гц , что соответствует час-

тоте промышленной электрической сети.

Проводимость конденсатора в комплексной форме

 

 

YC( j⋅ω) = C⋅ j⋅ω. (3.28)

Проводимость конденсатора Cи резистора R2

 

 

CR2 R .

Y ( j ⋅ω ) = C ⋅ j ⋅ ω + 1 (3.29)

Сопротивление конденсатора Cи резистора R2

 

 

 

ZCR2 ( j ⋅ω ) =

C⋅ j⋅ω+ 1

R2

 

. (3.30)

Полное сопротивление нагрузки

ZΣ( j ⋅ ω ) = R1 +

j ⋅ ω ⋅ L +

 

C⋅ j⋅ω+ 1 .

R2

 

 

(3.31)

Преобразуем (3.31), выделив явно действительную и мнимую час-

ти

 

ZΣ( j ⋅ω ) = R1 +

j ⋅ ω ⋅ L +

 

(3.32)

+ R2

 

− C ⋅ j ⋅ω

 

=

⎛ 1 + C⋅ j⋅ω⎞⋅⎛ 1

−C⋅ j⋅ω⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ R2

⎠ ⎝ R2 ⎠

 

= R1 +

 

j ⋅ω ⋅ L +

1 −C⋅ j⋅ω

R2 =

R

1 + C2 ⋅ω2

1 ⎛ ⎞

= R+ R2

⎜

+ j⋅⎜ω⋅ L−

C⋅ω ⎟

⎟.

1 1 1

+ C2 ⋅ω2

⎜ + C2 ⋅ω2 ⎟

R

R

2 ⎜ 2 ⎟

2 ⎝ 2 ⎠

Так как фаза напряжения источника принимается равной нулю, то фаза тока нагрузки определяется по комплексному сопротивлению на- грузки (3.32)

 

 

 

ϕ (ω ) = arctg

 

ω ⋅ L −

C ⋅ ω

R

1 + C 2 ⋅ω 2

2

1 .

 

(3.33)

 

R1 +

R2

R

1 + C

 

2 ⋅ω2

 

 

(3.32)

Модуль комплексного

сопротивления нагрузки определим из

 

⎛ 1 ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⋅ ⎟

 

M

Z (ω) =

 

⎜ R+

R2 ⎟

+ ⎜ω⋅ L− Cω ⎟

 

(3.34)

⎜ 1 + C2 ⋅ω2 ⎟ ⎜

1 + C2 ⋅ω2 ⎟ .

⎜ R2

⎟ ⎜ R2 ⎟

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

Коэффициент мощности активно-реактивной нагрузки

ξ (ω ) = cosϕ (ω ). (3.35)

Активная мощность нагрузки

 

P(ω) =

U2

⋅cosϕ(ω) =

( )

U ⋅ξ(ω), (3.36)

( )

Д Д

ZM ω

ZM ω

где UД

– действующее значение напряжения источника.

Для численного решения задачи в Excel зададимся следующими параметрами:

UД = 220 В – введём в ячейку A1 (рис. 3.26, а);

ω = 2 ⋅π ⋅ 50

рад/с – введём в ячейку B1 (рис. 3.26, б);

L1 = 0.05 Гн – введём в ячейку C1 (рис. 3.26, в);

R1 = 1 Ом

C = 100 ⋅10−6

– введём в ячейку D1 (рис. 3.26, г);

Ф – введём в ячейку E1 (рис. 3.26, в);

R2 = 100 Ом

– введём в ячейку F1 (рис. 3.26, е).

 

 

а) б)

 

 

в) г)

д) е)

 

 

Рис. 3.26

Согласно (3.29) в ячейке A3 рассчитаем проводимость конденса-

тора Cи резистора

R2 . Для этого воспользуемся функцией КОМ-

ПЛЕКСН из категории «Инженерные» (рис. 3.27).

 

 

Рис. 3.27

 

Содержимое ячейки A3 представлено (рис. 3.28).

 

 

Рис. 3.28

 

В ячейке A4 согласно (3.30) рассчитаем сопротивление конденса-

тора Cи резистора

R2 . Воспользуемся функцией МНИМ.ДЕЛ для де-

ления на комплексное число (рис. 3.29).

 

 

Рис. 3.29

Содержимое ячейки A4 представлено (рис. 3.30).

 

 

 

 

Рис. 3.30

 

 

Согласно

(3.31)

рассчитаем полное сопротивление

нагрузки.

Для

этого в ячейку A5 введём комплексное число

R1 + j ⋅ ω ⋅ L

(рис. 3.31).

 

 

 

Рис. 3.31

 

 

Затем в ячейке A6 необходимо произвести

сложение двух ком-

плексных чисел, находящихся в ячейках A4 и A5. Для этого воспользу-

емся функцией МНИМ.СУММ из категории «Инженерные» (рис. 3.32).

 

 

 

 

Рис. 3.32

Величина полного комплексного сопротивления нагрузки нахо-

дится в ячейке A6 (рис. 3.33).

 

 

 

 

Рис. 3.33

 

 

Определим в ячейке A7 угол сдвига фазы тока относительно гар-

монического входного напряжения, выраженный в радианах. Восполь-

зуемся

функцией МНИМ.АРГУМЕНТ из

категории «Инженерные»

(рис. 3.34).

 

 

Рис. 3.34

 

 

Содержимое ячейки A7 показано на рис. 3.35.

 

 

 

 

Рис. 3.35

 

 

Представим в ячейке A8 предыдущий полученный результат в градусах (рис. 3.36).

 

 

Рис. 3.36

 

В ячейке A9 определим коэффициент мощности (рис. 3.37).

 

 

Рис. 3.37

 

В ячейке A10 определим модуль комплексного сопротивления на-

грузки.

Для

этого

воспользуемся

функцией МНИМ.ABSиз категории

«Инженерные» (рис. 3.38).

 

 

Рис. 3.38

 

 

На рис. 3.39 показано содержимое ячейки A10.

 

 

 

 

Рис. 3.39

Определим активную мощность нагрузки (рис. 3.40).

 

 

Рис. 3.40

 

Полученные в данной главе результаты сведём в табл. 3.1.

 

 

Таблица 3.1

Величина	Значение	Размерность
φ	-52,2945	град
ξ	0,611603	-
P	1774,951	Вт

 

Процедура расчёта, приведённая в данной главе, применима ко всем линейным цепям переменного тока.

 

 

ГЛАВА 4.

ПОСТРОЕНИЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕКТРО-