Мого тока, активной мощности и коэффициента мощности

 

 

Пусть к источнику переменного тока подключена активно-

реактивная нагрузка (рис. 3.25).

 

i 1(t) L R 1

 

 

 

 

U (t) = Um ⋅sin(ω ⋅ t)

C

 

 

i 3(t)

R 2

 

 

i 2(t)

 

 

 

 

Рис. 3.25

Необходимо с применением программы Excel определить фазу потребляемого тока, активную мощность и коэффициент мощности на- грузки в установившемся режиме.

Ток через конденсатор пропорционален производной напряжения

 

du (t)

C ⋅ C = i

 

(t). (3.24)

dt 3

Применим к выражению (3.24) прямое преобразование Лапласа и получим

 

C ⋅ p ⋅ UC (p) = I 3 (p). (3.25)

Реактивное сопротивление конденсатора в операторной форме

 

C

Z (p) = UC (p) =

I 3 (p)

 

1

C ⋅ p

 

. (3.26)

Реактивное сопротивление конденсатора в комплексной форме

 

C

Z (j ⋅ω) = UC (j ⋅ω) =

I 3 (j ⋅ω)

 

1

C ⋅ j ⋅ω

 

= − j ⋅

 

1

C ⋅ω

 

, (3.27)

где ω = 2⋅π ⋅ f

– круговая частота гармонического входного напряжения,

f – частота гармонического входного напряжения.

В данной задаче примем частоту

f = 50 Гц, что соответствует час-

тоте промышленной электрической сети.

Проводимость конденсатора в комплексной форме

 

 

YC (j ⋅ω) = C ⋅ j ⋅ω. (3.28)

Проводимость конденсатора C и резистора R 2

 

 

CR 2 R.

Y (j ⋅ω) = C ⋅ j ⋅ ω + 1 (3.29)

Сопротивление конденсатора C и резистора R 2

 

 

 

ZCR 2 (j ⋅ω) =

C ⋅ j ⋅ω+ 1

R 2

 

. (3.30)

Полное сопротивление нагрузки

Z Σ(j ⋅ ω) = R 1 +

j ⋅ ω ⋅ L +

 

C ⋅ j ⋅ω+ 1.

R 2

 

 

(3.31)

Преобразуем (3.31), выделив явно действительную и мнимую час-

ти

 

Z Σ(j ⋅ω) = R 1 +

j ⋅ ω ⋅ L +

 

(3.32)

+ R 2

 

− C ⋅ j ⋅ω

 

=

⎛ 1 + C ⋅ j ⋅ω⎞⋅⎛ 1

− C ⋅ j ⋅ω⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ R 2

⎠ ⎝ R 2 ⎠

 

= R 1 +

 

j ⋅ω ⋅ L +

1 − C ⋅ j ⋅ω

R 2 =

R

1 + C 2 ⋅ω2

1 ⎛ ⎞

= R + R 2

⎜

+ j ⋅⎜ω⋅ L −

C ⋅ω ⎟

⎟.

1 1 1

+ C 2 ⋅ω2

⎜ + C 2 ⋅ω2 ⎟

R

R

2 ⎜ 2 ⎟

2 ⎝ 2 ⎠

Так как фаза напряжения источника принимается равной нулю, то фаза тока нагрузки определяется по комплексному сопротивлению на- грузки (3.32)

 

 

 

ϕ (ω) = arctg

 

ω ⋅ L −

C ⋅ ω

R

1 + C 2 ⋅ω 2

2

1.

 

(3.33)

 

R 1 +

R 2

R

1 + C

 

2 ⋅ω2

 

 

(3.32)

Модуль комплексного

сопротивления нагрузки определим из

 

⎛ 1 ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⋅ ⎟

 

M

Z (ω) =

 

⎜ R +

R 2 ⎟

+ ⎜ω⋅ L − C ω ⎟

 

(3.34)

⎜ 1 + C 2 ⋅ω2 ⎟ ⎜

1 + C 2 ⋅ω2 ⎟.

⎜ R 2

⎟ ⎜ R 2 ⎟

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

Коэффициент мощности активно-реактивной нагрузки

ξ (ω) = cosϕ (ω). (3.35)

Активная мощность нагрузки

 

P (ω) =

U 2

⋅cosϕ(ω) =

()

U ⋅ξ(ω), (3.36)

()

Д Д

ZM ω

ZM ω

где UД

– действующее значение напряжения источника.

Для численного решения задачи в Excel зададимся следующими параметрами:

UД = 220 В – введём в ячейку A1 (рис. 3.26, а);

ω = 2 ⋅π ⋅ 50

рад/с – введём в ячейку B1 (рис. 3.26, б);

L 1 = 0.05 Гн – введём в ячейку C1 (рис. 3.26, в);

R 1 = 1 Ом

C = 100 ⋅10−6

– введём в ячейку D1 (рис. 3.26, г);

Ф – введём в ячейку E1 (рис. 3.26, в);

R 2 = 100 Ом

– введём в ячейку F1 (рис. 3.26, е).

 

 

а) б)

 

 

в) г)

д) е)

 

 

Рис. 3.26

Согласно (3.29) в ячейке A3 рассчитаем проводимость конденса-

тора C и резистора

R 2. Для этого воспользуемся функцией КОМ-

ПЛЕКСН из категории «Инженерные» (рис. 3.27).

 

 

Рис. 3.27

 

Содержимое ячейки A3 представлено (рис. 3.28).

 

 

Рис. 3.28

 

В ячейке A4 согласно (3.30) рассчитаем сопротивление конденса-

тора C и резистора

R 2. Воспользуемся функцией МНИМ.ДЕЛ для де-

ления на комплексное число (рис. 3.29).

 

 

Рис. 3.29

Содержимое ячейки A4 представлено (рис. 3.30).

 

 

 

 

Рис. 3.30

 

 

Согласно

(3.31)

рассчитаем полное сопротивление

нагрузки.

Для

этого в ячейку A5 введём комплексное число

R 1 + j ⋅ ω ⋅ L

(рис. 3.31).

 

 

 

Рис. 3.31

 

 

Затем в ячейке A6 необходимо произвести

сложение двух ком-

плексных чисел, находящихся в ячейках A4 и A5. Для этого воспользу-

емся функцией МНИМ.СУММ из категории «Инженерные» (рис. 3.32).

 

 

 

 

Рис. 3.32

Величина полного комплексного сопротивления нагрузки нахо-

дится в ячейке A6 (рис. 3.33).

 

 

 

 

Рис. 3.33

 

 

Определим в ячейке A7 угол сдвига фазы тока относительно гар-

монического входного напряжения, выраженный в радианах. Восполь-

зуемся

функцией МНИМ.АРГУМЕНТ из

категории «Инженерные»

(рис. 3.34).

 

 

Рис. 3.34

 

 

Содержимое ячейки A7 показано на рис. 3.35.

 

 

 

 

Рис. 3.35

 

 

Представим в ячейке A8 предыдущий полученный результат в градусах (рис. 3.36).

 

 

Рис. 3.36

 

В ячейке A9 определим коэффициент мощности (рис. 3.37).

 

 

Рис. 3.37

 

В ячейке A10 определим модуль комплексного сопротивления на-

грузки.

Для

этого

воспользуемся

функцией МНИМ.ABSиз категории

«Инженерные» (рис. 3.38).

 

 

Рис. 3.38

 

 

На рис. 3.39 показано содержимое ячейки A10.

 

 

 

 

Рис. 3.39

Определим активную мощность нагрузки (рис. 3.40).

 

 

Рис. 3.40

 

Полученные в данной главе результаты сведём в табл. 3.1.

 

 

Таблица 3.1

Величина	Значение	Размерность
φ	-52,2945	град
ξ	0,611603	-
P	1774,951	Вт

 

Процедура расчёта, приведённая в данной главе, применима ко всем линейным цепям переменного тока.

 

 

ГЛАВА 4.

ПОСТРОЕНИЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕКТРО-