Определение параметров рабочей точки по внешней характери- стике асинхронного двигателя и нагрузочной характеристике тур- бомеханизма встроенными средствами MathCAD

 

 

На основе решения задачи, приведённого в предыдущем парагра- фе, покажем определение параметров рабочей точки встроенными сред- ствами MathCAD.

Введём разностную функцию (рис. 2.45),

 

 

Рис. 2.45

 

 

график которой представлен на рис. 2.46.

 

 

Рис. 2.46

 

 

Разностная функция пересекает ось абсцисс при такой величине ω, которая соответствует искомой. Задача сводится к решению нели- нейного уравнения в окрестности точки ω=154 рад/с, определённой в предыдущем параграфе.

Покажем три способа решения.

Первый способ представлен на рис. 2.47. Вводим начальное при-

ближение ω1=154 рад/с по данным графического решения. Вызываем функцию root. В качестве переменных этой функции указываем разно-

стную функцию f1(ω1) и переменную ω1. Функция возвращает ответ ω=154.351 рад/с.

 

 

Рис. 2.47

 

 

Второй способ представлен на

рис. 2.48. Вводим начальное при-

ближение ω2=154 рад/с по данным графического решения. Вводим ключевое слово Given. Вводим нелинейное уравнение. Переменной w1 присваиваем результат вычисления функции find. В качестве перемен- ной этой функции указываем переменную ω2. Полученный ответ w1=154.351 рад/с совпадает с ответом, полученным с помощью первого способа.

 

Рис. 2.48

 

 

Третий способ представлен на рис. 2.49. Для решения задачи вы- бран метод дихотомии – метод половинного деления отрезка, на кото- ром ведётся поиск. На первом этапе задаются концы отрезка: ωmin=154 рад/с – начало, ωmax=155 рад/с – конец, что соответствует данным, полу- ченным при графическом решении (рис. 2.44). Задаём функцию fω(∆),

где ∆ – точность ответа, с применением элементов

программирования,

встроенных в MathCAD, доступных для пользователя (см. панель 4, рис.

2.1). В теле программы используются кнопки Add Line (добавить строку программы), ← (локальное определение), while (цикл с условием про-

должения),

логическое «больше

или равно», if(условный оператор),

otherwise (оператор «иначе»), функция знака sign(x) (равна 1, если число x положительное, -1 – если x отрицательное и 0, если x=0). Нетрудно проследить работу представленной программы. Чем выше требуется точность ответа, тем больше итераций потребуется для решения задачи. При ∆=0.01 в ответе получим ω=154.351 рад/с.

 

 

Рис. 2.49

 

 

Подставив ω=154.351 рад/с, найденное одним из вышеописанных способов, в выражение для механической характеристики АД (рис.

2.41), получим вторую искомую координату Mэ=27.355 Нм (рис. 2.50).

 

Рис. 2.50

 

 

В данной главе на

примере решения типовой задачи показана

возможность автоматизации расчётов с применением MathCAD.

 

 

ГЛАВА 8.

ПРЯМОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И ОПЕРАТОРНЫЕ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ

 

Операционное исчисление широко применяется для решения за-

дач электротехники.

Существует множество преобразований, используемых математи-

ками: преобразования Лапласа, Карсона, Фурье и другие. Все они име-

ют свои достоинства и недостатки, но преобразование Лапласа получи-

ло наибольшее распространение – MathCAD имеет встроенную под-

держку данного преобразования (рис. 2.51).

 

Рис. 2.51

 

 

Более подробно применение операционного исчисления для ре- шения линейных дифференциальных уравнений и систем можно рас- смотреть в [14].

Рассмотрим подробно вывод операторной передаточной функции однозвенного LC-фильтра низких частот (ФНЧ) (рис. 2.52).

 

 

L R

 

 

 

U ВХ (t) =1⋅sin(ω t)

C R НАГР

 

U ВЫХ

 

L = 10 ⋅10−3 Гн C = 100 ⋅10−6 Ф R = 1 Ом

 

 

Рис. 2.52

 

 

На первом этапе необходимо составить систему дифференциаль- ных уравнений, описывающих состояние ФНЧ. На вход ФНЧ подаётся гармонический сигнал. Будем использовать следующие обозначения переменных:

U ВХ (t)

- входное напряжение,

UВЫХ (t)

- выходное напряжение,

iL (t)

iC (t)

iН (t)

- ток катушки индуктивности,

- ток конденсатора,

- ток нагрузки.

По второму закону Кирхгофа входное напряжение уравновешива-

ется как

 

U (t) = L diL (t) + i

 

 

(t)⋅ R + U

 

(t). (2.7)

ВХ dt

L ВЫХ

Согласно первому закону Кирхгофа ток катушки индуктивности

iL расщепляется на ток конденсатора iC

и ток нагрузки iН

iL (t) = iC (t)+ iН (t). (2.8)

Известно, что ток конденсатора определяется как

i (t) = C dU ВЫХ (t), (2.9)

C dt

а ток нагрузки по закону Ома выразим как

Н

i (t) = U ВЫХ (t).

RНАГР

(2.10)

Система дифференциальных уравнений, описывающих состояние

ФНЧ с учётом 2.7-2.10, выглядит следующим образом

 

⎧

⎪ U ВХ

⎪

⎨

 

(t) = L diL (t) + i dt L

 

(t) ⋅ R + U

 

 

ВЫХ

 

(t)

(2.11)

 

⎪ i

⎪⎩ L

(t) = C dU ВЫХ (t) + U ВЫХ (t).

dt RНАГР

Применим к выражению 2.11 прямое преобразование Лапласа и получим систему алгебраических уравнений в изображениях и прове- дём алгебраические преобразования

⎧ U ВХ (s) = (L ⋅ s + R)⋅ iL (s)+ U ВЫХ (s)

⎪

⎨

⎪ iL

 

⎜

(s) = ⎛ C ⋅ s + 1

R

 

⎞

⎟⋅ U

 

ВЫХ

 

 

(s),

(2.12)

⎩ ⎝ НАГР ⎠

где s – оператор Лапласа.

Подставим второе уравнение системы (2.12) в первое и проведём алгебраические преобразования

U (s) = (L ⋅ s + R)⋅⎛ C ⋅ s + 1 ⎞⋅ U

 

(s)+ U

 

(s),

ВХ ⎜ ⎟

ВЫХ ВЫХ

⎝ RНАГР ⎠

 

(2.13)

⎛ ⎛

U (s) = (L ⋅ s + R)⋅ C ⋅ s +

1 ⎞ ⎞

+ 1 ⋅ U

 

(s).

ВХ ⎜

⎜ R ⎟

⎟ ВЫХ

⎝ ⎝ НАГР ⎠ ⎠

Операторной передаточной функцией ФНЧ

W (s)

называется от-

ношение изображение выходного сигнала U ВЫХ (s)

ко входному U ВХ (s)

W (s) = U ВЫХ (s). (2.14)

U ВХ (s)

С учётом 2.14 и 2.13 запишем выражение для операторной пере-

даточной функции ФНЧ

 

W (s) =

 

(L ⋅ s + R)⋅⎛ C ⋅ s +

 

.

1 ⎞ +1

(2.15)

⎜ ⎟

⎝ RНАГР ⎠

 

 

ГЛАВА 9.

ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И ПЕРЕХОДНЫЕ ФУНКЦИИ

 

Рассмотрим задачу получения и анализа импульсных переходных характеристик однозвенного нагруженного Г-образного LC -фильтра низких частот (ФНЧ).

Пусть ФНЧ коммутируют на источник постоянного тока Uвх при трёх значениях сопротивления нагрузки: 10·R (нагруженный режим),

100·R (нормальный режим), 1000·R (ненагруженный режим) (рис 2.53). Необходимо с применением обратного преобразования Лапласа полу- чить импульсные переходные характеристики для всех значений сопро- тивления нагрузки, определить время переходного процесса и перерегу- лирование. Результаты внести в таблицу.

 

L R

 

 

 

 

U ВХ

C R НАГР

 

U ВЫХ

 

 

Рис. 2.53

 

 

Вводим в MathCADисходные данные (рис. 2.54).

 

Рис. 2.54

С учётом (2.15) запишем выражение для выходного напряжения

ФНЧ в операторной форме

 

UВЫХ

 

(s) = U ВХ

s

 

⋅ 1

(L ⋅ s + R)⋅⎛ C ⋅ s +

 

,

1 ⎞ +1

 

(2.16)

⎜ ⎟

⎝ RНАГР ⎠

 

где

UВХ

s

 

– операторная форма входного напряжения, прикладываемого

ступенчато при коммутации ключа (рис. 2.53).

Упростим в MathCADвыражение (2.16) с применением оператора

упрощения выражений simplify для

RНАГР 1 =1000 ⋅ R

(рис. 2.55).

 

 

Рис. 2.55

 

 

К выражению, полученному в результате упрощения, применим обратное преобразование Лапласа с учётом нулевых начальных условий (до коммутации токи и напряжения ФНЧ равны нулю) (рис. 2.56).

 

 

Рис. 2.56

 

 

Получаем переходную функцию ФНЧ в ненагруженном режиме

(

h 1(t) = 1000 − 1000 ⋅ exp(−55⋅ t)⋅ cos5⋅

1001 1001

 

39919 ⋅ t)−

 

(2.17)

− 1000

 

⋅ exp (−55 ⋅ t)⋅

39919 ⋅ sin (5 ⋅

39919 ⋅ t)

и вводим её в MathCAD. Напомним, что операция присвоения в Math-

CAD производится как:=.

Аналогично получим в MathCADпереходные функции ФНЧ:

h 2 (t)

h 3(t)

– в нормальном (RНАГР 2 = 100 ⋅ R) и

– в нагруженном режимах (рис. 2.57).

 

 

Рис. 2.57

 

Как видно из рис. 2.57 переходные процессы имеют колебатель-

ный характер с перерегулированием и стремятся при t→∞ к установив-

шимся значениям

h 1(∞) ≈ h 1(100),

h 2 (∞) ≈ h 2 (100),

h 3(∞) ≈ h 3(100).

Переходный процесс

h 1(t)

заканчивается, если

h 1(t) ≤1.05 ⋅ h 1(∞) и

h 1(t) ≥ 0.95 ⋅ h 1(∞), или, по-другому,

h 1(t) последний раз входит в зону

допустимых отклонений

h 1(∞) ± 0.05 ⋅ h 1(∞). Время переходного про-

цесса в MathCADможно определить графически и численно. Переход-

ный процесс

h 1(t)

последний раз пересекает нижнюю границу зоны до-

пустимых отклонений при 0.051 с (рис. 2.58), верхнюю – при 0.054 с

(рис. 2.59), следовательно, t ПП1 = 0.054 с.

 

Рис. 2.58

 

 

Рис. 2.59

 

 

Аналогично в MathCADопределяем:

– для

h 2 (t) время переходного процесса t ПП2 = 0.029 с и

– для

h 3(t)

время переходного процесса t ПП3 = 0.005 с.

Перерегулирование для переходной характеристики

делим как

h 1(t)

опре-

h 1(tm 1)− h 1(∞)

h 1(tm 1)− h 1(100)

(2.18)

∆ h 1 = ⋅100% ≈ ⋅100%,

h 1(∞)

h 1(100)

где tm 1 – время достижения функцией

h 1(t)

первого максимума.

Для определения tm 1найдём в MathCAD производную

(рис. 2.60).

h 1(t)

по t

 

 

Объявим функцию

 

dh 1(t)

Рис. 2.60

 

 

(рис. 2.61).

 

Рис. 2.61

 

 

Графически определим время

tm 1в первом приближении (рис. 2.62).

tt 1 = 0.00314 c, что соответствует

 

Рис. 2.62

 

 

Используя процедуру findи учитывая (2.18) определяем, что пе-

ререгулирование переходной функции

(рис. 2.63).

h 1(t)

составит

∆ h 1 = 84.117%

 

Рис. 2.63

 

 

Аналогично в MathCADопределяем:

– для

h 2 (t) перерегулирование

∆ h 2 = 73.04% и

– для

h 3(t)

перерегулирование

∆ h 3 = 13.04%.

Полученные в данной главе результаты внесём в табл. 2.1.

Таблица 2.1

 

 

Показатель	Сопротивление нагрузки
RНАГР 1 = 1000 ⋅ R	RНАГР 2 = 100 ⋅ R	RНАГР 3 = 10 ⋅ R
Время переход- ного процесса	t ПП1 = 0.054 с	t ПП2 = 0.029 с	t ПП3 = 0.005 с
Перерегулирова- ние	∆ h 1 = 84.117%	∆ h 2 = 73.04%	∆ h 3 = 13.04%

 

Как видно из табл. 2.1, с увеличением загруженности ФНЧ

уменьшается время переходного процесса и перерегулирование.

 

 

ГЛАВА 10.