Подстановка тождества f1(x) в выражение y(x)

 

Пусть необходимо с использованием встроенных операторов пакета

Mathcad произвести подстановку тождества

 

(cos(x)2 + sin(x)2)2

f (x) ⇒ cos (x)2 + sin (x)2 =1 в

выражение

y (x) =, применив оператор Substitute.

cos(x)⋅2!+ sin(x)⋅2!

Соответствующий фрагмент документа MathCAD представлен на рис. 2.14.

 

 

Рис. 2.14. Подстановка тождества f1(x) в выражение y(x) с использова-

нием пакета MathCAD

 

§12. Разложение функции f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x=0

 

Пусть необходимо с использованием встроенных операторов пакета Mathcad разложить функцию f(x)=e3xв ряд Тейлора в окрестности точки x=0, взять первых 9 членов ряда, определить погрешность представле- ния данной функции с помощью ряда для x0=1.5.

Соответствующий фрагмент документа MathCAD представлен на рис. 2.15.

 

Рис. 2.15. Разложение функции f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки

x=0 с использованием пакета MathCAD

Разложение выражения относительно переменной x на эле-

Ментарные дроби

 

Пусть необходимо с использованием встроенных операторов пакета

Mathcad разложить относительно переменной x на элементарные дроби

3 4

выражение

1 − x − x − x.

x 4 −1

Соответствующий фрагмент документа MathCAD представлен на рис. 2.16.

 

 

Рис. 2.16. Разложение выражения относительно переменной x на элементарные дроби с использованием пакета MathCAD

 

 

Предел функции

 

Пусть необходимо с использованием встроенных операторов пакета

Mathcadнайти предел функции

lim4 ⋅ x

− 2.

x →1

2 ⋅ x − 2

Соответствующий фрагмент документа MathCAD представлен на рис. 2.17.

 

 

Рис. 2.17. Предел функции с использованием пакета MathCAD

ГЛАВА 4.

ОПЕРАЦИИ С МАТРИЦАМИ

 

Вычисление определителя матрицы

 

Пусть необходимо с использованием встроенных операторов пакета

⎛11⋅ a

5 1 ⎞

MathCADвычислить определитель матрицы ⎜

7 11⋅ b

4 ⎟и полу-

⎜ ⎟

⎜ 2 6 11⋅ c ⎟

⎝ ⎠

чить численный ответ с применением оператора подстановки Substitute

при a=2, b=2, c=2.

Соответствующий фрагмент документа MathCAD представлен на рис. 2.18.

 

 

Рис. 2.18. Вычисление определителя матрицы с использованием па-

кета MathCAD

 

Транспонирование матрицы

 

Пусть необходимо с использованием встроенных операторов пакета

MathCADтранспонировать матрицу (1 b c

2).

Соответствующий фрагмент документа MathCAD представлен на рис. 2.19.

 

Рис. 2.19. Транспонирование матрицы с использованием пакета Math- CAD

Нахождение обратной матрицы

 

 

Пусть необходимо с использованием встроенных операторов пакета

⎜

MathCADнайти обратную матрицу от матрицы ⎛ a −1

c −1

b −1 ⎞

.

d −1⎟

⎝ ⎠

Соответствующий фрагмент документа MathCAD представлен на рис. 2.20.

 

 

Рис. 2.20. Нахождение обратной матрицы с использованием пакета

MathCAD

 

 

ГЛАВА 5.

ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ

 

 

Рассмотрим решение задач оптимизации в MathCADна

примере

задачи поиска оптимальной нагрузки генератора постоянного тока с не- зависимым возбуждением. Первый этап задачи сводится к определению мощности нагрузки как функции сопротивления нагрузки. Как известно из курса ТОЭ, данная функция имеет максимум при сопротивлении на- грузки, равном внутреннему сопротивлению генератора. Производная вышеупомянутой функции в точке максимума рана нулю, следователь- но, приравняв производную нулю, получим нелинейное уравнение с од- ним корнем, решив которое определим искомое сопротивление нагруз-

ки. Данное уравнение можно легко решить аналитически и численно с использованием программы MathCAD.

Пусть дана цепь постоянного тока, состоящая из источника (гене-

ратор постоянного тока независимого возбуждения) и приёмника (рис.

2.21). Источник ЭДС

E ист

имеет внутреннее сопротивление

R ист

и ра-

ботает на омическую нагрузку

R нагр. В цепи протекает ток

I нагр.

 

R ист

 

 

E ист

R нагр

 

I нагр

Рис. 2.21

 

 

Необходимо определить такую величину сопротивления нагрузки

R нагр, когда мощность нагрузки

 

будет максимальной

P нагр = I нагр2 ⋅ R нагр

P нагр = max.

(2.1)

Выведем зависимость мощности нагрузки как функцию от сопро-

тивления нагрузки.

Согласно закону Ома ток нагрузки определяется как

 

I нагр =

E ⋅

R ист + R нагр

(2.2)

Напряжение на нагрузке определяется как

 

U = I

 

⋅ R =

E ⋅ R

(2.3)

нагр нагр нагр R ист + R нагр нагр

Мощность нагрузки есть функция сопротивления нагрузки

⎛ ⎞2

 

 

(2.4)

P нагр (R нагр)= I нагр ⋅ U нагр = ⎜

E

⎟ ⋅ R нагр.

⎝ ⎠

⎜ R ист + R нагр ⎟

 

Найдём производную функции

P нагр (R нагр) по

 

R нагр

 

dP (R) 2

⎛ ⎞2

(2.5)

нагр нагр

dR нагр

 

= −2 ⋅

E

 

(R R

⋅ R нагр + ⎜ E ⎟.

)3 ⎜ R ист + R нагр ⎟

ист +

нагр ⎝ ⎠

 

 

ние

Приравняв выражение (2.5) к нулю получим нелинейное уравне-

 

E 2 ⎛

 

E ⎞2

 

(2.6)

−2 ⋅

3 ⋅ R нагр + ⎜ R R

⎟ = 0,

⎜ + ⎟

(R ист + R нагр)

⎝ ист нагр ⎠

где

R нагр

- переменная, а

R ист и

E - константы.

После несложных математических выкладок, которые здесь не

приводятся, можно доказать, что

R нагр = R ист

является корнем уравне-

ния, а, следовательно, и искомым решением задачи.

Данную задачу можно решить как численно, так и аналитически в MathCAD. Аналитическое решение в MathCAD по этапам показано да- лее.

Объявление функции мощности

нагрузки Pот переменных E–

ЭДС генератора, r – сопротивление генератора, R – сопротивление на-

грузки согласно (2.4) показано на рис. 2.22.

 

Рис. 2.22

 

 

Вызов процедуры вычисления производной возможно с помощью вкладки «Исчисление» математической панели или сочетания клавиш

<Shift> + </> (рис. 2.23).

 

Рис. 2.23

 

Определение производной функции P(E,r,R) по R производится после нажатия значка → на символьной панели (рис. 2.24).

 

Рис. 2.24

Для решения нелинейного уравнения воспользуемся процедурой

solve, доступной на символьной панели (рис. 2.25). Слева от ключевого слова solve записывается выражение, а справа – переменная.

 

 

Рис. 2.25

 

 

В выражении для нелинейного уравнения необходимо применить

знак «логическое равно», взятое с логической панели помощью сочетание клавиш <Ctrl> + <=>.

(рис. 2.26) или с

 

Рис. 2.26

Окончательно аналитическое решение выглядит так, как показано на рис. 2.27, то есть при равенстве сопротивления нагрузки и сопротив- ления генератора на нагрузке выделяется наибольшая мощность.

 

Рис. 2.27

 

 

Рассмотрим численное решение данной задачи. Пусть ЭДС гене-

ратора

составляет 10 В, а сопротивление генератора – 400 Ом. После

объявления функции P(E,r,R) (рис. 2.22) можно построить её график (рис. 2.28), из которого можно определить, что при R=r=400 Ом функ- ция имеет максимум, а это есть графическое решение задачи.

 

Рис. 2.28

 

Для численного решения задачи встроенной процедурой Minerr новой переменной R2 присвоим начальное приближение 300 Ом (рис. 2.29). Начальное приближение взято из графика (рис. 2.28) и мо- жет быть как больше, так и меньше 400 – приближённого графического решения. Затем пишется ключевое слово Given, после которого следует

нелинейное уравнение с правой частью, отличной от нуля и выражение для искомой величины Ropt.

 

Рис. 2.29

В данной главе на простом примере показано, что MathCAD мо-

жет решать задачи оптимизации, как в аналитическом, так и в числен-

ном виде.

 

 

ГЛАВА 6.