Ных операторов пакета MathCAD

 

2.1. Упростить выражение с применением встроенного оператора

Simplify. Выражение взять из табл. 2.4

 

 

Таблица 2.4

 

 

Вариант	Задание
	a 2 − b 2 a + b
	a 2 − b 2 a – b
	a 3 + 3 ⋅ b 2 ⋅ a + 3 ⋅ b ⋅ a 2 + b 3 a + b
	a 3 + 3 ⋅ b 2 ⋅ a − 3 ⋅ b ⋅ a 2 − b 3 a – b
	a 4 − 4 ⋅ b 3 ⋅ a + 6 ⋅ b 2 ⋅ a 2 − 4 ⋅ b ⋅ a 3 + b 4 a 3 + 3 ⋅ b 2 ⋅ a − 3 ⋅ b ⋅ a 2 − b 3
	a 4 + 4 ⋅ b 3 ⋅ a + 6 ⋅ b 2 ⋅ a 2 + 4 ⋅ b ⋅ a 3 + b 4 a 3 + 3 ⋅ b 2 ⋅ a + 3 ⋅ b ⋅ a 2 + b 3
	cos (x)2 + sin (x)2
	x 2 −3 ⋅ x − 4 + 2 ⋅ x −5 x – 4
	e 2⋅ln(a)
	(a + b) ⋅(a + b) ⋅(a + b)

 

2.2. Разложить по степеням выражение с применением встроен-

ного оператора Expand. Выражение взять из табл. 2.5.

 

 

Таблица 2.5. Начало

 

 

Вариант	Задание
	(x +1) ⋅(x −1) ⋅(x + 2) ⋅(x − 2)
	(x +3) ⋅(x −3) ⋅(x + 2) ⋅(x − 2)
	(x +1) ⋅(x −1) ⋅(x + 4) ⋅(x − 4)
	(x +1) ⋅(x −1) ⋅(x + 3) ⋅(x −3)

5 (x + 4) ⋅(x − 4) ⋅(x + 2) ⋅(x − 2)

Таблица 2.5. Продолжение

 

 

	(x +1) ⋅(x −1) ⋅(x + 5) ⋅(x −5)
	(x +5) ⋅(x −5) ⋅(x + 2) ⋅(x − 2)
	(x + 5) ⋅(x −5) ⋅(x + 3) ⋅(x −3)
	(x +5) ⋅(x −5) ⋅(x + 4) ⋅(x − 4)
	(x +1) ⋅(x − 2) ⋅(x + 3) ⋅(x − 4)

 

2.3. Разложить на множители выражение с применением встроен-

ного оператора Factor. Выражение взять из табл. 2.6.

 

 

Таблица 2.6

 

 

Вариант	Задание
	x 4 − 13 ⋅ x 2 + 36
	x 4 + 3 ⋅ x 3 − 15 ⋅ x 2 −19 ⋅ x + 30
	x 4 − x 3 − 7 ⋅ x 2 + x + 6
	x 4 − 10 ⋅ x 2 +9
	x 4 − 17 ⋅ x 2 +16
	x 4 − 26 ⋅ x 2 +25
	x 4 − 29 ⋅ x 2 +100
	x 4 − 40 ⋅ x 2 +144
	x 4 − 45 ⋅ x 2 +324
	x 4 − x 3 − 11⋅ x 2 +9 ⋅ x + 18

 

2.4. Разложить выражение по подвыражению, используя процеду-

ру Collection Subexpression. Выражение взять из табл. 2.7.

 

 

Таблица 2.7. Начало

 

 

11Вариант	Задание
	x 2 − a ⋅ y 2 ⋅ x 2 + 2 ⋅ y 2 ⋅ x − x + x ⋅ y
	x 2 − a ⋅ y 2 −(3+ x) ⋅ x 2 + 2⋅ y 2 ⋅ x − x + x ⋅ y
	x 2 − a ⋅ y 2 −(3+ x) ⋅ x 2 + 2⋅ y 2 ⋅ x
	x 2 − a ⋅ y 2 ⋅ x 2 + 2 ⋅ y 2 ⋅ x − x + x ⋅ (y − x + x 2)
	x 2 − (a + x − x 2)⋅ y 2 − (3 + x)⋅ x 2 + 2 ⋅ y 2 ⋅ x

6 x 2 − a ⋅ y 2 ⋅ x 2 − x + x ⋅ y

Таблица 2.7. Продолжение

 

 

	x 2 − (a − y) − a ⋅ y 2 ⋅ x 2 + 2 ⋅ y 2 ⋅ x − x + x ⋅ y x
	x 2 − a ⋅ y 2 ⋅ x 2 + 2⋅ y 2 ⋅ x − x ⋅(a + y) + x ⋅ y
	x 2 − a ⋅ y 2 ⋅ x 2 + (2 ⋅ y 2 + 1)⋅ x − x + x ⋅ (y + 1)
	x 2 − (a ⋅ y 2 + 2)⋅ x 2 + (2 ⋅ y 2 − 3)⋅ x − x + x ⋅ y

 

2.5. Определить коэффициенты полинома, используя встроенную процедуру Coeffs. Выражение взять из табл. 2.8.

 

 

Таблица 2.8

 

 

Вариант	Задание
	(x + a) ⋅(x + b) ⋅(x + c) ⋅(x + d)
	(x + a) ⋅(x − b) ⋅(x + c) ⋅(x + d)
	(x + a) ⋅(x + b) ⋅(x − c) ⋅(x + d)
	(x + a) ⋅(x + b) ⋅(x + c) ⋅(x − d)
	(x − a) ⋅(x + b) ⋅(x + c) ⋅(x + d)
	(x − a) ⋅(x − b) ⋅(x + c) ⋅(x + d)
	(x + a) ⋅(x − b) ⋅(x − c) ⋅(x + d)
	(x + a) ⋅(x + b) ⋅(x − c) ⋅(x − d)
	(x − a) ⋅(x − b) ⋅(x − c) ⋅(x + d)
	(x − a) ⋅(x − b) ⋅(x − c) ⋅(x − d)

 

2.6. Дифференцировать выражение. Выражение взять из табл. 2.9.

 

 

Таблица 2.9. Начало

 

 

Вариант	Задание
	d (x 2 + y 2) dx
	d 2 () a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c dx 2

3 2 (

 

() ())

d

dx 2

ln x

⋅ x 2 + sin 2 ⋅ x

⋅ x + 1

 

Таблица 2.9. Продолжение

 

 

	d 2 ⎛ x 2 ⎞ dx 2 ⎜ln (x)⋅ sin(x) + 2⋅ x + e ⎟ x   ⎝ ⎠
	d 3 ⎛ x 3 ⎞ ⎜ x 2 ⋅+2⋅ + x ⎟ dx 3 ⎜ tg (x) ⎟ ⎝ ⎠
	d 2 () a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c dx 2
	d 4 ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⋅ x 2 + b ⋅ x + c ⎟ dx 4 ⎜ ln (x) ⎟ ⎝ ⎠
	d (e 2⋅ x + e −2⋅ x) dx
	d 2 () e 2⋅ x + e −2⋅ x dx 2
	d 3 (()) e sin x + e −2⋅ x dx 3

 

2.7. Интегрировать выражение. Выражение взять из табл. 2.10.

 

 

Таблица 2.10. Начало

 

 

Вариант	Задание
	∫∫∫(x 2 + y 2 + z 2)⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz
	∫(2 + 1)⋅ dx b x a
	b ∫π ⋅ x ⋅ dx A
	sin (x)3 ∫ cos(x)5 ⋅ dx
	sin (x) ∫cos (x)4 ⋅ dx
	y 2 ∫ 4 ⋅ dy 1 – y

 

	ex − e − x ∫ ex + e − x ⋅ dx
	∫ ex ⋅ x ⋅ dx

Таблица 2.10. Продолжение

 

 

	∫ ln(x)⋅ x ⋅ dx
	h r 2 ⋅ x ∫π ⋅ h ⋅ dx

 

2.8. Решить уравнение относительно переменной x и провести при необходимости отделение корней. Уравнение взять из табл. 2.11.

 

 

Таблица 2.11

 

 

Вариант	Задание
	X ∫cos (t)⋅ dt = a
	a ⋅ x 2 + b ⋅ x = − c
	∑ 2 385 x i = i =1
	a ⋅ x 3 + b ⋅ x 2 + c ⋅ x = 0
	sin(x) + cos(x) = 0
	k ⋅ x + b − y = 0
	k ⋅ x 2 + b − y = 0
	ex + 1 + x 4 = 0 x 3
	tg (x)+ 1 = 0 x
	1 + 1 = π ln (x) x 2

 

2.9. Произвести подстановку тождества f1(x) в выражение y(x), применив оператор Substitute. Выражение y(x) и тождество f1(x) взять из табл. 2.12.

 

 

Таблица 2.12

 

 

Вариант	Задание
	( cos(x)2 + sin(x)2 ) 2 2 2 y (x) =, f (x)⇒ cos (x) + sin (x) =1 cos(x)⋅2!+ sin(x)⋅3! 1
	(1 + tg (x)2)⋅cos (x)2 y (x) =, f (x)⇒1 + tg (x)2 = 1 sin (x) 1 cos2 (x)
	(1 + ctg (x)2)⋅sin (x)2 y (x) =, f (x)⇒1 + ctg (x)2 = 1 cos (x) 1 sin 2 (x)
	tg (x)2 sin(x) y (x) = ⋅ cos3 (x), f (x)⇒ tg (x) = sin(x)2 1 cos(x)
	ctg (x)2 cos(x) y (x) = ⋅ sin2 (x), f (x)⇒ ctg (x) = cos(x)3 1 sin (x)
	y (x) = sin(x + y), sin(x)⋅cos(y)+ sin(y)⋅cos(x) f 1 (x) ⇒ sin(x) ⋅cos(y) +sin(y) ⋅cos(x) = sin (x + y)
	4⋅cos(x)2 + 4⋅sin(x)2 − cos(x)2 −sin (x)2 y (x) =, cos(x)2 + sin(x)2 f (x)⇒ cos (x)2 + sin (x)2 =1
	cos (x)2 + 2 ⋅sin (x)2 + sin (x)2 ⋅ tg (x)2 y (x) =, cos (x) f (x) ⇒ cos (x)2 + 2 ⋅sin (x)2 + sin (x)2 ⋅ tg (x)2 = 1 1 2 cos (x)
	sin (3 ⋅ x)2 cos (3 ⋅ x)2 2 − 2 y (x) = sin (x) cos (x), 8 ⋅cos (2 ⋅ x) 2 2 f (x)⇒ sin(3⋅ x) − cos(3⋅ x) = 8⋅cos(2⋅ x) 1 2 2 sin(x) cos(x)

y (x) =

 

(cos(x)2 + sin(x)2)2

cos(x),

 

 

f 1 (x) ⇒ cos(x)

 

 

2 2

+ sin(x) =1

 

 

2.10. Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x =0 и взять первых 9 членов ряда. Определить погрешность представле- ния данной функции с помощью ряда для точки x=x 0. Функцию f(x) и величину x 0 взять из табл. 2.13.

 

 

Таблица 2.13

 

 

Вариант	Задание
	f(x)=ex, x0=5
	f(x)=e2x, x0=2
	f(x)=cos(x), x0=π/4
	f(x)=sin(x), x0=π/2
	f(x)=sin2(x), x0=π/2
	f(x)=cos2 (x), x0=π/4
	f(x)=tan2 (x), x0=π/4
	f(x)=sin3(x), x0=π/4
	f(x)=arcsin(x), x0=π/4
	f(x)=arcsin2 (x), x0=π/4

 

2.11. Разложить относительно переменной x на элементарные дроби выражение, взятое из таблицы табл. 2.14, с применением проце- дуры Parfrac.

 

 

Таблица 2.14. Начало

 

 

Вариант	Задание
	1 − x x 4 −1
	2 ⋅ x 2 − 3 ⋅ x + 1 x 3 + 2 ⋅ x 2 − 9 ⋅ x −18
	x 4 −1
	x + 1 x 3 + 2⋅ x 2 −9⋅ x –18

	1 − x 2 x 3 + 2 ⋅ x 2 − 9 ⋅ x −18
	1 − x 4 x 3 + 2 ⋅ x 2 − 9 ⋅ x −18
	1 − x 2 x 4 −1

Таблица 2.14. Продолжение

 

 

	1 − x 3 x 4 −1
	1 − x 2 − x 3 x 4 −1
	1 − x 2 − x 3 x 2 −1

 

2.12. Найти пределы функции, согласно варианта из табл. 2.15.

 

 

Таблица 2.15

 

 

Вариант	Задание
	4 ⋅ x 2 −1 lim x →1 2 ⋅ x −1
	4 ⋅ x 2 −1 lim x →6 2 ⋅ x −1
	lim (1 − cos (x)) x →0
	lim 1 n →∞ n!
	⎛ 1 ⎞ n lim ⎜1 + ⎟ n →∞ ⎝ n ⎠
	lim 1 x →∞ x
	sin (2 ⋅ x) lim x →0 x
	sin (x) lim x →0 x
	sin(2⋅ x) lim x →0 sin(5⋅ x)

lim

x →0

 

1 − cos (x)

x

 

 

Тема 3. Матричная алгебра

 

 

3.1. Транспонировать матрицу, взятую из табл. 2.16.

 

 

Таблица 2.16

 

 

Вариант	Задание
	⎛ a 1 c 1 e 1 ⎞ ⎜ b 1 d 1 f 1⎟ ⎝ ⎠
	(a b)
	(a b c d)
	⎛ a b ⎞ ⎜ c d ⎟ ⎝ ⎠
	⎛ a b c d ⎞ ⎜ ⎟ ⎜1 2 3 4 ⎟ ⎜ e f g h ⎟ ⎜ 5 6 7 8 ⎟ ⎝ ⎠
	⎛ a ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ b ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ c ⎠
	⎛1 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜3 4 ⎟ ⎜5 6 ⎟ ⎝ ⎠
	⎛1 2 3 ⎞ ⎜4 5 6 ⎟ ⎝ ⎠
	⎛ a 1 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ b 2 4 ⎠
	⎛1 ⎞ ⎜2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝3 ⎠

 

3.2. Найти обратную матрицу от матрицы, взятой из табл. 2.17.

 

 

Таблица 2.17. Начало

 

 

Вариант	Задание
	⎛ a −1 b − 2 ⎞ ⎜ c −3 d − 4 ⎟ ⎝ ⎠

 

Таблица 2.17. Продолжение

 

 

	⎛ a −1 a − 2 ⎞ ⎜ a −8 a − 4 ⎟ ⎝ ⎠
	⎛ a − 1 a − 2 ⎞ ⎜ a −16 a − 4 ⎟ ⎝ ⎠
	⎛ a −1 a − 2 ⎞ ⎜ a −32 a − 4 ⎟ ⎝ ⎠
	⎛ a −1 a − 2 ⎞ ⎜ a − 64 a − 4 ⎟ ⎝ ⎠
	⎛ a −1 a − 2 ⎞ ⎜ a − 4 a − 4 ⎟ ⎝ ⎠
	⎛ a −1 a − 2 ⎞ ⎜ a − 2 a − 4 ⎟ ⎝ ⎠
	⎛ a −1 a − 2 ⎞ ⎜ a −8 a −16 ⎟ ⎝ ⎠
	⎛ a −1 a − 2 ⎞ ⎜ a −8 a −1 ⎟ ⎝ ⎠
	⎛ a −10 a −100 ⎞ ⎜ a −1 a −10 ⎟ ⎝ ⎠

 

3.3. Вычислить аналитически определитель матрицы

 

 

10 ⋅ b   4 ⎟. Получить численный ответ с применением оператора ⎟     10 ⋅ c ⎟

⎜

⎜

⎜

⎝ ⎠

Substitute, при этом коэффициенты a, b и c взять из табл. 2.18.

 

 

Таблица 2.18. Начало

 

Вариант	Задание
	a =1, b =1, c =1
	a =1/2, b =1, c =1
	a =1, b =1, c =1/2
	a =2, b =1, c =1
	a =1, b =2, c =1
	a =1, b =1, c =2
	a =2, b =2, c =1

 

Таблица 2.18. Продолжение

 

 

	a =1, b =2, c =2
	a =2, b =1, c =2
	a =1, b =4, c =1

 

Тема 4. Задачи оптимизации

 

 

4.1. Задача заключается в определении оптимального сопротивле- ния нагрузки генератора постоянного тока с независимым возбуждени- ем, когда мощность нагрузки максимальна. Задачу решить аналитиче- ски и численно. ЭДС E и сопротивление r генератора приведены в табл.

2.19.

 

 

Таблица 2.19

 

 

Вариант	Задание
	E =110 В, r =1 Ом
	E =220 В, r =2 Ом
	E =110 В, r =2 Ом
	E =220 В, r =1 Ом
	E =440 В, r =1 Ом
	E =440 В, r =2 Ом
	E =110 В, r =3 Ом
	E =110 В, r =4 Ом
	E =220 В, r =3 Ом
	E =220 В, r =4 Ом