Понятие устойчивости линейных систем

Устойчивость – это свойство САУ возвращаться в состояния покоя или установившегося движения, из которого система была первоначально выведена каким-либо воздействием и последующим прекращением этого воздействия.

Обычно понятие устойчивости иллюстрируется следующими примерами. Будем считать системой некоторый шар, который может находиться в одном из трех состояний:

1)
если шар находится на вогнутой поверхности (рис. 3.1, а), то при наличии силы F, соответствующей внешнему воздействию на систему, шар можно вывести из состояния покоя. Если теперь устранить воздействие F, то шар после совершения нескольких колебаний около точки равновесия А придет в установившееся состояние (или состояние покоя), соответствующее точке А. Это пример устойчивого равновесия – система является устойчивой;

2) если к шару, находящемуся на выпуклой поверхности (рис. 3.1, б), приложена сила F, то, отклонившись под воздействием этой силы в точку B, шар после прекращения воздействия силы не придет в установившееся положение (в точку А). Такое состояние является неустойчивым;

3)
если шар находится на шероховатой ровной поверхности (рис. 3.1, в) и к нему приложена сила F, то шар выйдет из состояния равновесия и после снятия воздействия придет в новое состояние равновесия. В зависимости от величины и знака силы F шар может иметь бесчисленное множество точек равновесия. Такое состояние носит название нейтрально-устойчивого, т.е. система является нейтрально-устойчивой.

На рис. 3.2 приведены типичные кривые монотонных (1) и колебательных (2) переходных процессов в неустойчивых (рис. 3.2, а) и устойчивых (рис. 3.2, б) системах.

Исследование устойчивости САУ имеет огромное значение, так как САУ в замкнутом виде обычно склонны к неустойчивой работе.

Устойчивость линейной системы определяется ее параметрами и не зависит от внешних воздейст­вий. Процессы в САУ описываются неоднородным дифференци­альным уравнением (2.5), общее решение которого состоит из двух составля­ющих:

x_вых(t) = x_{вых(вын)}(t) + x_вых(св)(t). (3.1)

Здесь x_{вых(вын)}(t) – частное решение уравнения (2.5), определяемое приложенным к системе внешним воздействием, вследствие чего x_{вых(вын)}(t) называется вынужденной составляющей; x_вых(св)(t) – общее решение соответствующего уравнению (2.5) однородного дифференци­ального уравнения

, (3.2)

т.е. дифференциального уравнения, правая часть которого равна нулю, следовательно, равны нулю внешнее воздействие x_вх(t) и все ее производные.

Поскольку только x_вых(св)(t) описывает поведение САУ после устранения внешнего воздействия, эту составляющую в выражении (3.1) называют свободной (переходной) составляющей.

Очевидно, что линейная система устойчива, если свободная составляющая с течением времени затухает, т.е.

Х_вых(св)(t) = 0. (3.3)

Общее решение однородного дифференциального уравнения (3.3) определяется корнями соответствующего характеристического уравнения:

a_npⁿx_вых(p) + a_(n-1)p^(n-1)x_вых(p) + …+ a ₁ px_вых(p) + a ₀ x_вых(p) = 0, (3.4)

т.е. полюсами передаточной функции замкнутой системы.

Общее решение однородного дифференциального уравнения равно:

, (3.5)

где p_i – корень характеристического уравнения (полюс системы), ; C_i – постоянная интегрирования.

Корни характеристического уравнения с постоянными коэффициентами могут быть вещественными (в том числе нулевыми), а также попарно сопряженными комплексными или чисто мнимыми.

Если полюс p_i вещественный и отрицательный, т.е. p_i < 0 (рис. 3.3, полюс ), то соответствующее ему слагаемое в выражении (3.5) с ростом времени стремится к нулю.

Если же p_i – вещественный положительный полюс, т.е. p_i > 0,(рис. 3.3, полюс ), то это слагаемое, а значит и вся свободная составляющая, неограниченно возрастает.

Паре комплексно-сопряженных полюсов

p_i,i+1 = α_i + jβ_i,

в свободной составляющей соответствует слагаемое:

,

где определяются через и

.

Такое слагаемое в выражении (3.5) стремится к ну­лю, если вещественные части комплексно-сопряженных полюсов отрицательны (рис. 3.3, полюса ), в противном случае (рис. 3.3, полюса ) амплитуда колебаний соответствующего слагаемого в свободной составляющей непрерывно возрастает.

Паре мнимых полюсов p_i,i+1 = + jβ_i (рис. 3.3, полюса ) в выражении (3.4) соответствует слагаемое:

A_i sin(β_it + ),

определяющее незатухающие колебания с постоянной амплитудой A_i.

Таким образом, для устойчивости системы САР необ­ходимо и достаточно, чтобы все корни характеристичес­кого уравнения на плоскости комплексного переменного были распо­ложены слева от мнимой оси (рис. 3.3, область устойчивости). Только при этом все слагаемые в выражении (3.5) будут стремиться к нулю.

Если корни характеристического уравнения находятся в левой полуплоскости за исключение нескольких, располо­женных на мнимой оси, то система находится на грани­це устойчивости. При этом возможны два случая: корень в начале координат и пара мнимых корней. Нулевой ко­рень появляется, когда свободный член характеристиче­ского уравнения равен нулю. Если остальные корни этого уравнения отрицательные, то система нейтрально устойчива. В том случае, когда характеристическое уравнение имеет пару мнимых кор­ней, границу устойчивости называют колебательной.

Определение устойчивости САУ по полюсам ее передаточной функции называют прямым методом оценки устойчивости. Однако для оценки устойчивости линейной системы не обязательно вычислять значения ее полюсов, т.е. решать алгебраическое уравнение (3.4) n -го порядка. Достаточно знать, все ли полюса находятся в левой полуплоскости комплексной плоскости р (являются «левыми»). Такой подход к определению устойчивости системы характерен для косвенных методов оценки устойчивости (критериев устойчивости), позволяющих судить о расположении полюсов на плоскости комплексного переменного без их расчета.

Различают алгебраические и частотные критерии устойчивости. Отличие критериев друг от друга связано с использованием различных характеристик САУ, но при этом все они предполагают необходимость проверки необходимого и достаточного условия устойчивости.

Независимо от выбранного критерия устойчивости первоначально проверяется выполнение необходимого условия устойчивости, согласно которому все коэффициен­ты характеристического уравнения (3.4) должны быть строго положительными, т.е.

a_i > 0 при i = 1,…, n. (3.6)

Будем полагать, что все полюса действительные. Тогда для доказательства необходимого условия устойчивости достаточно пред­ставить уравнение (3.4) в виде:

a_n(p – p₁ ) (p – p ₂ ) ………….. (p – p_n) = 0, (3.7)

где p_i – полюс передаточной функции, (i = ).

Если система устойчива, т. е. все ее действительные полюса р_i отрицатель­ные, то, раскрыв скобки в выражении (3.7), получим уравнение с положительными коэффициентами. Если система неус­тойчива, т.е. хотя бы один из корней положительный, и, перемножив сомножители в выражении (3.7), получим уравнение с несколькими отрицательными коэффициентами.

Если необходимое условие не выполняется, делается заключение о том, что система неустойчива. В противном случае необходимо переходить к проверке достаточного условия устойчивости, формулировка которого зависит от выбранного критерия устойчивости. В даль­нейшем будем полагать, что необходимое условие устой­чивости выполняется.

Пример. Необходимо оценить устойчивость замкнутой системы (рис. 3._), передаточной функция прямого канала которой равна

 

Типичной ошибкой при решении такой задачи является попытка оценить устойчивость замкнутой системы по полюсам передаточной функции . Предварительно необходимо вычислить передаточную функцию замкнутой системы:

.

В данном случае нет необходимости вычислять полюса передаточной функции или прибегать к использованию какого-либо критерия. Действительно, для полученной передаточной функции не выполняется необходимое условие устойчивости - ее характеристический полином не содержит слагаемого , т.е. коэффициент . Следовательно, данная замкнутая система неустойчива.