Тема №4: устойчивость работы линейных сау

Введение

Понятие устойчивости является важнейшей качественной оценкой динамических свойств САР. Устойчивость САР связана с характером её поведения после прекращения внешнего воздействия, которое может быть оценено решением дифференциального уравнения, описывающего работу системы. Общая теория устойчивости разработана А.М. Ляпуновым. Линейная система называется устойчивой, если ее выходная координата остается ограниченной при любых ограниченных по абсолютной величине входных воздействиях. Устойчивость линейной системы определяется ее характеристиками и не зависит от действующих воздействий.
В общем случае решение уравнения имеет вид: y(t)= y_B(t) + y_n(t)
где y_B(t) - решение однородного уравнения (переходная или свободная составляющая); y_n(t) - установившееся значение регулируемой величины (вынужденная составляющая) - решение уравнения с правой частью. Устойчивость работы системы определяется переходной составляющей. Если переходная составляющая процесса управления после прекращения внешнего воздействия стремится к нулю, то такая система является устойчивой. Другими словами устойчивость системы - это есть затухание ее переходных процессов.
Если свободная составляющая стремится к конечному значению или имеет вид гармонических колебаний с постоянной амплитудой, то система считается нейтральной. В том случае, если свободная составляющая неограниченно возрастает или имеет вид гармонических колебаний с возрастающей амплитудой, то система считается неустойчивой.
Оценка устойчивости производится на основе результатов исследования свободной составляющей, которая представляет собой решение однородного дифференциального уравнения (характеристического уравнения): D(p) = a₀pⁿ + a₁p^n-1 +... + a_n = 0 (4.1)
Переходная составляющая решения уравнения в общем виде y_ni(t) = A_ie^α_i^t * sin(β_it + φ_i), где α_i ± jβ_i- корни характеристического уравнения; A_i,Φ_i - постоянные.
При этом переходная составляющая с ростом времени стремится к нулю, если вещественные части корней α_i отрицательны, в противном случае амплитуда колебаний переходной составляющей возрастает (рис.4.1).

Рис.4.1. Графики переходных составляющих

Пара мнимых корней (α_i=0) характеристического уравнения позволяет получить переходную составляющую в виде автоколебаний с постоянной амплитудой:

Полученные корни характеристического уравнения могут быть представлены в виде точек на комплексной плоскости (рис.4.2.).

Рис.4.2. Расположение корней САУ на комплексной плоскости корней

Для устойчивых систем необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали слева от мнимой оси комплексной плоскости корней. Если хотя бы один вещественный корень или пара комплексных сопряженных корней находится справа от мнимый оси, то система является неустойчивой. Если имеется нулевой корень или пара чисто мнимых корней, то система считается нейтральной (находящейся на границе устойчивости и неустойчивости). Таким образом, мнимая ось комплексной плоскости является границей устойчивости.

С целью упрощения анализа устойчивости систем разработаны ряд специальных методов, которые получили название критерии устойчивости. Критерии устойчивости делятся на две разновидности: алгебраические (критерий Гурвица) и частотные (критерии Михайлова и Найквиста). Алгебраические критерии являются аналитическими, а частотные - графоаналитическими. Критерии устойчивости позволяют также оценить влияние параметров системы на устойчивость.

© В.Н. Бакаев, Вологда 2004. Разработка электронной версии: М.А.Гладышев, И.А. Чуранов.
Вологодский Государственный Технический Университет.
Кафедра Дистанционного и Заочного обуче

Алгебраический критерий устойчивости Гурвица

Алгебраический критерий Гурвица находит широкое применение при анализе САР. Первоначально, из коэффициентов уравнения (4.1) составляется матрица главного определителя:

По диагонали матрицы от верхнего левого угла записываются по порядку все коэффициенты уравнения (4.1.), начиная с а1. Затем каждый столбец матрицы дополняется таким образом, чтобы вверх от диагонали индексы коэффициентов увеличивались, а вниз - уменьшались.
Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы при а0>0 все угловые определители (миноры) были также положительными, т.е.

и т.д.

Последний определитель Гурвица, как видно из приведенной выше матрицы, равен Δ_n=a_n*Δ_n-1. Поэтому его положительность сводится при Δ_n-1>0 к условию a_n>0. Для систем первого и второго порядка критерий Гурвица сводится просто к положительности коэффициентов ai. Если определитель Δ_n=0, то система находится на границе устойчивости. Из условия Δ_n-1=0 можно определить параметры, при которых система находится на границе устойчивости, например, критический коэффициент усиления разомкнутой САУ К_кр.

Пример задачи

© В.Н. Бакаев, Вологда 2004. Разработка электронной версии: М.А.Гладышев, И.А. Чуранов.
Вологодский Государственный Технический Университет.
Кафедра Дистанционного и Заочного обучения.

Частотный критерий устойчивости Михайлова

Критерий Михайлова предполагает построение годографа на комплексной плоскости. Для построения годографа из характеристического уравнения замкнутой системы (4.1) путем подстановки p=jω получают аналитическое выражение вектора M(jω):
M(jω)=a₀(jω)ⁿ+a₁(jω)^n-1+...+a_n (4.2)
Уравнение (4.2) является комплексным и может быть представлено в виде:

Построение годографа производится по уравнению вектора M(jω) при изменении часты от 0 до + . Оценка устойчивости системы осуществляется по углу поворота годографа при изменении частоты 0<ω< , т.е. по приращению Δ аргумента M(jω)

, (4.3)

где m - число правых корней характеристического полинома; n - порядок характеристического уравнения системы.
Тогда для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы изменение аргумента годографа M(jω) при изменении от 0 до + равнялось n , так как m=0 для обеспечения устойчивости системы.
Критерий Михайлова формулируется так: система устойчива, если годограф Михайлова M(jω) при изменении от 0 до + , начинаясь на положительной части действительной оси, обходил последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) n квадрантов и в n-м квадранте уходил в .
Если годограф начинается в нулевой точке комплексной плоскости или проходит через эту точку при определенной частоте, то система считается нейтральной. В этом случае P(ω) = 0 и Q(ω) = 0.
Из этих уравнений можно определить значения параметров, при которых система находится на границе устойчивости (критические значения). На рис.4.3 приведены годографы Михайлова для устойчивых и неустойчивых САУ.

Рис.4.3. Годографы Михайлова

Имеется вторая формулировка критерия Михайлова: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы корни уравнений P(ω) = 0 и Q(ω) = 0 перемежались (чередовались), т.е. годограф последовательно пересекал оси комплексной плоскости. Этой формулировкой удобно пользоваться для исследования устойчивости систем до пятого порядка включительно. По уравнению (4.3) можно определить количество правых корней в неустойчивых системах.

Пример задачи

© В.Н. Бакаев, Вологда 2004. Разработка электронной версии: М.А.Гладышев, И.А. Чуранов.
Вологодский Государственный Технический Университет.
Кафедра Дистанционного и Заочного

Частотный критерий устойчивости Найквиста

Критерий Найквиста - частотный критерий, позволяющий по виду амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы оценить устойчивость работы замкнутой системы. АФЧХ может быть получена экспериментально или аналитически. Аналитическое построение АФЧХ производится обычными методами. Критерий Найквиста формулируется по разному в зависимости от того, устойчива разомкнутая система или нет.
Если разомкнутая система устойчивая, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до не охватывала точку с координатами -I, j0. Если АФЧХ разомкнутой системы проходит через точку с координатами -I, j0, то система будет нейтральной. На рис.4.4 представлены АФЧХ разомкнутых статических систем. Критерий Найквиста позволяет наглядно проследить влияние изменения параметров передаточной функции на устойчивость системы.

Рис.4.4. АФЧХ разомкнутых САУ

АФЧХ астатической системы, начинаясь на вещественной положительной полуоси, при ω->0 дугой бесконечно большого радиуса перемещается на угол, равный -ν , где ν - порядок астатизма. На рис.4.5 изображена АФЧХ устойчивой в замкнутом состоянии астатической системы первого порядка.

Рис.4.5. АФЧХ астатической САУ первого порядка

Если разомкнутая система неустойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку с координатами (-1, j0) и при изменении частоты от 0 до оборачивалась вокруг нее против часовой стрелки m раз, где m - число правых полюсов разомкнутой системы.
Существуют два класса САУ: абсолютно устойчивые и условно устойчивые. В первом классе систем только увеличение коэффициента усиления разомкнутой системы может привести к потере устойчивости, а условно устойчивая система может стать неустойчивой как при увеличении, так и при уменьшении коэффициента усиления.
Для абсолютно устойчивых систем вводится понятие запаса устойчивости по амплитуде (модулю) и запаса устойчивости по фазе. Запасы устойчивости определяют на частоте среза ω_ср, на которой A(ω_ср)=1.
Запас устойчивости по амплитуде задается некоторой величиной 1/а (рис.4.6), которая показывает, во сколько раз можно увеличить коэффициент усиления разомкнутой системы, чтобы САУ оказалась на границе устойчивости.

Рис.4.6. АФЧХ абсолютно устойчивой системы

Запас устойчивости по фазе задается некоторым углом φ (рис.4.6). В хорошо демпфированных системах запас устойчивости по амплитуде составляет примерно 6-20 дБ, что составляет 2÷10 в линейном масштабе, а запас по фазе от 30 до 60°.
Наиболее удобно для исследования устойчивости использовать построенные л.а.х. и л.ф.х., располагая их друг под другом так, чтобы оси ординат совмещались и выбирая одинаковые масштабы оси абсцисс (рис.4.7).

Рис.4.7. ЛЧХ абсолютно устойчивой системы

По ЛЧХ разомкнутой системы можно определить запасы устойчивости: запас по фазе φ_зап отсчитывается по л.ф.х. на частоте среза ω_ср и равен φ_зап=π - φ(ω_ср), а запас по амплитуде L_зап соответствует значению л.а.х. на частоте, при которой л.ф.х. равна -π (рис.4.7). Если φ(ω_ср)=-&pi, то система находится на границе устойчивости. Критический коэффициент усиления разомкнутой системы K_кр определяется из выражения 20*lg(K_кр)=20*lg(K_раз) + L_зап.
Критерием Найквиста удобно пользоваться для исследования устойчивости систем с запаздыванием. В этом случае строятся ЛЧХ разомкнутой САУ с запаздыванием W^τ(jω) = W(jω) * e^-jωτ. Логарифмическая частотная характеристика не изменяется, а л.ф.х. сдвигается вниз на величину -ω_iτ, где ω_i - значение частоты в конкретной точке. Критическое значение времени чистого запаздывания τ_кр, при котором САУ будет на границе устойчивости, находится по формуле: .
Чтобы спроектировать систему с заданными показателями качества, строят запретную область вокруг точки с координатами (-1, j0), в которую не должна заходить АФЧХ разомкнутой системы, как показано на рис.4.8.

Рис.4.8. Запретная область

© В.Н. Бакаев, Вологда 2004. Разработка электронной версии: М.А.Гладышев, И.А. Чуранов.
Вологодский Государственный Технический Университет.
Кафедра Дистанционного и Заочного обучения.

D-разбиение

При исследовании устойчивости большое прикладное значение имеет построение областей устойчивости в плоскости одного или каких-либо двух параметров, влияние которых на устойчивость исследуется. Уравнение границы устойчивости (D-разбиение) может быть получено из любого критерия устойчивости: D(jω,K,T_i)=0 - Михайлова или Δ_n-1= 0 - Гурвица. Однако на практике чаще применяют наиболее общий метод, предложенный Ю.И.Неймарком, и названный им методом D-разбиения. Кривая D-разбиения представляет собой отображение мнимой оси плоскости корней на плоскость интересующих нас параметров. Для этого характеристическое уравнение замкнутой системы представляется в виде:
D(jω) = S(jω) + λN(jω) = 0 - по 1 параметру;
D(jω) = αQ(jω) + βR(jω) + S(jω) = 0 - по 2м параметрам,
где полиномы S не зависят от параметров разбиения, а полиномы N, R, Q зависят соответственно от параметров разбиения λ, β, α.
При построении кривой D-разбиения по 2м параметрам используется матричный метод, когда:
, тогда

Строить D-разбиение следует соблюдая следующее правило: первым записывают уравнение U(ω)=0, а вторым - V(ω)=0; если α в них первый параметр, а β - второй, то система координат должна быть правой (рис.4.9).

Рис.4.9. Система координат

Кривая D-разбиения по 1 параметру штрихуется одинарной штриховкой слева, если двигаться по границе устойчивости в направлении возрастания ω от - до . А кривая D-разбиения по 2м параметрам, если двигаться по ней в направлении возрастания ω, штрихуется слева, если определитель Δ>0, и справа, если определитель Δ<0 двойной штриховкой. Кроме того, на плоскость D-разбиения по 2м параметрам необходимо нанести особые прямые и заштриховать их по правилам штриховки особых прямых. Уравнения особых прямых получаются приравниванием нулю коэффициентов при старшей степени p и свободного члена характеристического уравнения, т.е. a_n=0 и a₀=0. При этом a_n и a₀ должны быть функциями от α или β.
Правила штриховки особых прямых:
1. если кривая D-разбиения и особая прямая пересекаются при ω=0 или и определитель Δ меняет знак, то особая прямая штрихуется одинарной штриховкой так, чтобы вблизи точки пересечения заштрихованные и не заштрихованные стороны особой прямой и D-разбиения были направлены навстречу друг к другу;
2. если кривая D-разбиения и особая прямая пересекаются при ω не равной 0 или и определитель Δ меняет знак, то особая прямая штрихуется по приведенному выше правилу, но двойной штриховкой;
3. если ни в одной точке пересечения особой прямой и кривой D-разбиения определитель Δ не меняет знака, особая прямая не штрихуется и выбрасывается из рассмотрения.
После нанесения штриховки определяется претендент на область устойчивости и воспользовавшись любым критерием устойчивости для точки, находящейся в этой области, дается заключение об устойчивости.

 

© В.Н. Бакаев, Вологда 2004. Разработка электронной версии: М.А.Гладышев, И.А. Чуранов.
Вологодский Государственный Технический Университет.
Кафедра Дистанционного и Заочного обучения.

Примеры задач

П р и м е р: Определить критический коэффициент усиления Ккр системы, разомкнутая передаточная функция которой .
Р е ш е н и е. Найдем характеристическое уравнение замкнутой системы D(p) = p*(p² + p + 2) + k = p³ + p² + 2p + k = 0. Для системы третьего порядка граница устойчивости из определителя (минора) определятся правилом: произведение средних членов характеристического уравнения равно произведению крайних при положительном первом члене, т.е. 2*1=1*К_кр. Откуда К_кр=2.

П р и м е р: Определить количество правых корней m системы третьего порядка, годограф Михайлова которой имеет вид

Р е ш е н и е. Из рисунка видно, что при изменении частоты от 0 до +ω суммарный угол поворота годографа Михайлова равен - . Тогда в соответствии с формулой (4.3)
. Откуда число положительных корней m = 2.

© В.Н. Бакаев, Вологда 2004. Разработка электронной версии: М.А.Гладышев, И.А. Чуранов.
Вологодский Государственный Технический Университет.
Кафедра Дистанционного и Заочного обучения.

Вопросы по теме №4

1. Дайте определение устойчивости системы с физической и математической точек зрения.
2. Какой характер имеет переходный процесс в устойчивой и неустойчивой системах?
3. Сформулируйте необходимое условие устойчивости.
4. Что такое критерии устойчивости?
5. Что такое граница устойчивости? Каким образом при этом расположены корни характеристического уравнения системы на плоскости комплексного переменного?
6. Сформулируйте критерий устойчивости Рауса-Гурвица.
7. Каким образом по критерию Рауса-Гурвица определяются границы устойчивости?
8. Сформулируйте критерий устойчивости Найквиста.
9. Что такое запасы устойчивости? Каким образом они определяются по АФХ разомкнутой системы?
10.Как определяются запасы устойчивости по ЛЧХ?
11. Зависит ли устойчивость линейной системы от места приложения и величины внешнего воздействия?
12. Какая линейная система называется абсолютно устойчивой?
13. Какая существует связь между мнимой осью комплексной плоскости корней и кривой D - разбиения?
14. Сформулируйте правило штриховки особых прямых D - разбиения плоскости двух параметров.

© В.Н. Бакаев, Вологда 2004. Разработка электронной версии: М.А.Гладышев, И.А. Чуранов.
Вологодский Государственный Технический Университет.
Кафедра Дистанционного и Заочного обуче