Устойчивость системы лду. Необходимое и достаточное условие устойчивости линейной системы.

(3)

A(t)=|| (t)| C[

В этом случае задача Коши имеет единственное решение, определенный на [

Теорема 1. Решение задачи Коши (3), устойчиво (ассимтотически устойчиво), если нулевое решение приведенной однородной системы ЛДУ:

Док-во: обозначим: где решение (3),

[А(t) + -[A(t) =

=A(t)[ =

33.Следствие 1. Все решения системы ЛДУ устойчивы (ассимтотически устойчивы), если у этой системы хотя бы одно (асимтотически) устойчивое решение.

Следствие 3. Система ЛДУ называется (асимтотически) устойчивой, если у нее хотя бы одно (асимтотически) устойчивое решение. В противном случае система ЛДУ является неустойчивой.

= - устойчиво, если

Замечание. 1) вектор-функция назывется ограниченной на множестве , если такое, что

2) =

является ограниченной на в том и только в том случае, когда ограниченна на функция

3)Если || , то i=1,…,n : |x(t)| || M

Теорема 2. Система ЛДУ устойчива т и тт, когда все решения этой системы ограниченны (без док-ва)

37. Исследование устойчивости положения покоя системы двух ЛДУ с постоянными коэффициентами в случае , - комплексные.

A= ,

;

Точки покоя:

,

, единственная точка покоя (0,0).

det(A-λE) = 0

=0 – характеристическое уравнение.

– корни характеристического уравнения.

1) =0, , ,

, т.е. нулевое реш. не явл. асимптотически уст.

Решение периодично T=

x(t)=x(t+T)

y(t)=y(t+T)

Все фазовые траектории замкнуты

Центр (нет асимптотической устойчивости)

 

 

а) =Re , ,

Система асимптотически устойчива; фазовые траектории: спирали, накрученные на точку покоя

 

 

Устойчивый фокус

 

а) =Re ,

Система неустойчива; фазовые траектории: раскрученные

спирали

 

 

Неустойчивый фокус

 

38. Исследование устойчивости положения покоя системы двух ЛДУ с постоянными коэффициентами в случае ,

A= ,

Точки покоя:

,

, единственная точка покоя (0,0).

det(A-λE) = 0

=0 – характеристическое уравнение.

– корни характеристического уравнения.

кратные корни

= +

-собственный вектор, отвечающий

1) Матрица А имеет 1 линейно независимый собственный вектор (к )

а)

асимптоти-чески устойчивая система

 

Устойчивый вырожденный узел б) неустойчивая система

 

Неустойчивый вырожденный узел

 

2) Матрица А имеет 2 линейно независимых собственных вектора

,

= + =

, y= x

a) ,

асимптотически устойчивая система

устойчивый дикритический узел

 

б) неустойчивая система

Неустойчивый дикритический узел

 

39. Исследование устойчивости положения покоя системы двух ЛДУ с постоянными коэффициентами в случае .

A= ,

Точки покоя:

,

det(A-λE) = 0

=0 – характеристическое уравнение.

– корни характеристического уравнения.

=0, пусть .

=0.

Точек покоя бесконечное множество

Все точки покоя заполняют прямую

. .

,

= + параметрическое задание прямой с направляющим вектором

а) все решения ограничены система устойчива.

Нелинейные системы. Исследование устойчивости по первому приближению. Теорема Ляпунова.

dx/dt=f(t,x);(9)

dxi/dt=fi(t,x1…xn); f(t, )= ;

пусть система (9) предст. в виде dx/dt=A(t)x+R(t,x) (10)

где А(t)=a ij (t), где a ij (t) [t0; ) выполняется неравенство:

Тогда dx/dt=A(t)x называется системой первого приближения для (9),(10).

Теорема Ляпунова: пусть вектор-функция R(t,x) непрерывно диффер. при (IIxII<C0) и для [t0; )

а А(t) , тогда 1)если все корни det(A-λE) = 0

имеют отриц. действит. корни, то нулевое решение системы (9) и (10) асимптот. устойчивое. 2)если сущ. Корень характер. уравнения, имеющий положит.действит. числа, то нулевое решение системы неустойчиво. (БЕЗ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА)

Теорема. Если вектор-функция f(x) дважды непрерывно диффер. В окрестности точки х=0 и f(0)=0, то система dx/dt=f(x) приводится к виду dx/dt=A(t)x+R(t,x) и для нее справедливы условия теоремы Ляпунова.

 

Понятие фазового пространства и фазовой траектории. Автономные системы ОДУ, св-ва их фазовых траекторий.

= (6) = i=1,…,n

Считается, что определена и непрерывно дифференцируема в области G

Пусть = (t), t –решение системы (6)

Кривая Г: –

-интегральная кривая системы (6)

Гс – пространство решений

Определение. Пространство называется фазовым пространством системы (6), а кривая , задаваемая направлением , где = (t)=( - решение системы (5), называется фазовой траекторией системы (5).

Определение. Если функции не зависят явно от , т.е. система имеет вид (7) = ; =

То система ОДУ называется автономной

Определение. Точка =(,…, называется точкой покоя (положением равновесия) автономной системы (7), если , т.е.