Критерий устойчивости Михайлова.

 

Предложен Михайловым (сов. ученый) в 1936 году. Позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду кривой Михайлова, представляющей собой годограф вектора

при изменении от 0 до ¥.

Годограф представляет собой характеристический полином замкнутой системы D(s) при s=j .

Выделив в правой части (1) вещественную и мнимую составляющие можно записать D(j )=U()+jV() где

(2)

Кривая Михайлова строится в плоскости (U;jV) по точкам в соответствии с (2). Критерий Михайлова формулируется таким образом:

Для устойчивости линейной САР необходимо и достаточно, чтобы вектор D(j ) при изменении от 0 до ¥ повернулся на угол Y_d=n·p/2 против часовой стрелки (в положительном направлении), где n-степень характеристического уравнения исследуемой системы.

D(s)=a₀(s-s₁)(s-s₂)..(s-s_n)

Где s₁ s₂... s_n – корни характеристического уравнения

Кривая Михайлова может быть описана уравнением

D()=a₀(j -s₁)(j -s₂)..(j -s_n).

Результирующий угол поворота вектора D(j ) при изменении от 0 до ¥ обозначим через ,

Где (i=1..n) – составляющие угла поворота вектора D(j ), определяемые сомножителями (j -s_i). Нетрудно видеть, что каждый сомножитель дает поворот радиуса вектора при изменении от 0 до ¥ на угол ±p/2 в случае вещественных корней и на угол ±(p/2±¡) для комплексного корня, где

¡ =arctg(b ¤ a) (s_i=±a ±jb). Паре комплексных корней соответствуют два сомножителя, поворачивающие радиус вектор на угол ±p. Положительные повороты (против часовой стрелки) имеют место при отрицательной вещественной части корня.

Действительно, каждому множителю (j -s_i) можно поставить в соответствие вектор на плоскости корней, начало которого находится на точке s_i, а конец расположен на мнимой оси в точке j .

 

 

При изменении j от 0 до ¥ получаем указанные приращения аргумента.

Таким образом, если характеристическое уравнение замкнутой системы будет иметь l₃ корней с положительными вещественными частями, то каковы бы ни были эти корни (вещественные или мнимые), им будет соответствовать сумма углов поворота, равная

-l₃ ·p/2

Остальным (n-l₃) корням, имеющим отрицательные вещественные части, будет соответствовать сумма углов поворота, равная

(n- l₃) ·p/2. Следовательно, результирующий угол поворота вектора D(j ) при изменении от 0 до ¥ Y_d=(n- l₃) ·p/2 - l₃·p/2 = p/2·n-pl₃

Для устойчивой САР кривая Михайлова должна проходить последовательно n квадрантов. Кривая начинается на вещественной полуоси (при =0; D(j0)=a_n) при ®¥ D(j )®¥. Если система находится на апериодической границе устойчивости, то a_n=0 и кривая идет из начала координат. При колебательной границе устойчивости кривая проходит через начало координат. Кривая соответствующая неустойчивой системе показана на последнем рисунке.

 

 

Критерий Найквиста

 

Этот критерий позволяет судить об устойчивости САР по виду ее АФХ в разомкнутом состоянии.

 

 

 

Передаточная функция замкнутой САР может быть выражена через передаточную функцию разомкнутой системы W(s).

Ф(s)=W(s)/(1+W(s))

Пусть W(s)=M(s)/Q(s), где M(s) и D(s) – многочлены от s, причем степень многочлена M(s) меньше степени многочлена Q(s). Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

 

где

Многочлен D(s) является характеристическим многочленом замкнутой, а многочлен Q(s) – разомкнутой автоматической системы. Очевидно, что степени этих многочленов равны.

Образуем сумму

W₁(j )=1+W(j )=1+M(j )/Q(j )=D(j )/Q(j )

Из критерия Михайлова следует, что замкнутая система будет устойчивой, если приращение аргумента Y_d=n·p/2, где n -степень характеристического многочлена D(s); при этом условии D(s) не имеет корней в правой полуплоскости плоскости S.

В разомкнутом состоянии САР в общем случае может быть неустойчивой, то есть Q(s) может иметь корни в правой полуплоскости (полагаем, что на мнимой оси Q(s) корней не имеет). Если число таких корней равно L, то приращение аргумента (угол поворота вектора Q(j ) при изменении

от 0 до ¥)

Y_q=n·p/2-p·L

Следовательно, угол поворота вектора суммы W₁(j ) при изменении от 0 до ¥

Y=Y_d - Y_q= n·p/2 - n·p/2-n·L=p L

Для устойчивой системы вектор W₁(j ) при изменении от 0 до ¥ повернется на угол pL в положительном направлении (против часовой стрелки) так как функция W(j ) отличается от W₁(j ) на (-1), то для устойчивой замкнутой системы вектор W(j ) при изменении oт 0 до ¥ повернется на угол pL относительно точки (-1, j0), иными словами АФХ разомкнутой системы должна охватывать L/2 раз точку (-1, j0).

На основании выше изложенного, критерий Найквиста может быть сформулирован следующим образом:

 

-1;j0

 

 

Автоматическая система, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива в замкнутом состоянии, если АФХ разомкнутой системы W(j ) не охватывает точку (-1,j0). Если система в разомкнутом состоянии неустойчива и ее характеристический многочлен имеет L корней в правой полуплоскости, то для устойчивости автоматической системы в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы АФХ W(j ) охватывала точку (-1,j0) в положительном направлении L/2 раз.

Примеры. Разомкнутая система неустойчива

 

L=1 y=p, охватывает ½ раз - система устойчива

П₊+П_-= ½

 

 

y=-p¹p, - система не устойчива

П₊+П_-=½-1¹½ - не устойчива

 

 

L=2

y=2p, охватывает 1 раз L/2 – замкнутая система устойчива

 

П₊-П _-= 1 – устойчива.

Если АФХ имеет сложную форму, то определение результирующего поворота (охвата) сложно. В этом случае удобно использовать правило переходов.

Переход АФХ W(jw) через участок вещественной оси (-¥,-1) с возрастанием частоты называется положительным если он проходит “сверху”-”вниз” и отрицательным, если “снизу”-”вверх”. Обозначают + и – в кружочках. Если АФХ начинается на вещественной оси в интервале (-¥;-1), то эта точка считается за + ½ перехода, если вниз, и за - ½, если вверх.

Если разомкнутая система является неустойчивой, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы разность между общим числом П₊ - положительных и П _-- отрицательных переходов АФХ W(j ) через участок вещественной оси (-¥;-1) при изменении частоты от 0 до ¥ было равно L/2, где L –число правых корней характеристического уравнения системы.

П₊ -П _- =L/2

Разомкнутая система – устойчива

L=0

y=0

П₊-П _-=0

устойчива замкнутая система

 

 

y=0

П₊-П_-=0 замкнутая система устойчива

не охватывает

 

 

y=2p;¹0

 

П₊-П_-= -1¹0 замкнутая система не устойчива

охватывает

 

Если АФХ проходит через (-1;j0) то замкнутая система находится на колебательной границе устойчивости.

Некоторые особенности применения критерия Найквиста появляются при исследовании устойчивости систем, нейтральных в разомкнутом состоянии. Это системы имеющие нулевые корни (апериодическая граница устойчивости), а также системы, находящиеся в разомкнутом состоянии, на колебательной границе устойчивости, то есть имеющих чисто мнимые корни.

Например, если Q(s) имеет один нулевой корень, то годограф W(j ) при ®0 обращается в бесконечность.

 

В этом случае для сохранения формулировки критерия, справедливой для устойчивых в разомкнутом состоянии систем, включают нулевой корень в левую полуплоскость, огибая его справа окружностью бесконечно малого радиуса r®0. При этом годограф W(j ) дополняется частью окружности бесконечно большого радиуса, проводимой по часовой стрелке от положительной полуоси, то есть на угол p/2.

При нескольких нулевых корнях, угол дополнения АФХ окружностью бесконечно малого радиуса y_доп=¡p/2 где ¡- число нулевых корней (порядок астатизма)

 

 

Аналогичные дополнения приходится проводить при наличии чисто мнимых корней в характеристическом уравнении разомкнутой системы, так как в этом случае АФХ имеют разрывы