Определение устойчивости системы управления алгебраическим критерием

Содержание

1 Определение весовой функции ω (t)……………………………………………3

2 Определение переходной функции h (t)……………………………………….4

3 Структурные преобразования…………………………………………………5

4 Определение устойчивости системы управления алгебраическим критерием………………………………………………………………………….8

4.1 Определение устойчивости системы управления критерием Гурвица….8

4.2 Определение устойчивости системы управления критерием Рауса……..9

5 Определение устойчивости системы управления частотным критерием….9

5.1 Определение устойчивости системы управления критерием Михайлова..9

5.2 Определение устойчивости системы управления критерием Найквиста..10

6 Определение качества процесса регулирования……………………………12

Индивидуальные условия к задачам…………………………………………..13

Приложение………………………………………………………………………19

1 Определение весовой функции ω (t)

 

Задача

Модель элемента задана в виде передаточной функции . Требуется построить график весовой функции данного элемента.

Решение

Весовая функция звена есть его реакция на дельта-функцию.

.

Чтобы выполнить обратное преобразование Лапласа, воспользуемся таблицей преобразований (см. Приложение 1). В таблице имеется выражение, которое совпадает по структуре с выражением в фигурных скобках

.

Приведем выражение в фигурных скобках к табличному виду, для этого необходимо применить основные теоремы Лапласа (Приложение 1), в данном случае теорему линейности, согласно которой все константы могут быть вынесены за знак обратного преобразования Лапласа.

Получили выражение в фигурных скобках, в точности соответствующее табличному, где .

Тогда .

Задаваясь значениями t от 0 до ∞, можно получить график весовой функции. Однако даже при использовании вычислительной техники такой процесс является утомительным и зачастую так и не приводит к нужному результату. Поэтому следует вначале рассчитать начальное и конечное значения функции по предельным теоремам Лапласа (Приложение 1).

Найдем начальное значение весовой функции согласно

.

Разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на максимальную степень переменной р и воспользуемся свойствами пределов: предел частного равен частному пределов, предел суммы равен сумме пределов и .

Исходя из этого имеем, что .

Аналогично получим конечное значение функции, согласно

.

Получены значения и .

Составим таблицу и построим график функции. Данный расчет удобно выполнить в Приложении Microsoft Office в табличном редакторе Excel.

2 Определение переходной функции h (t)

Задача

Модель элемента задана в виде передаточной функции . Требуется построить график переходной функции данного элемента.

Решение

Переходная функция звена есть его реакция на единичную ступенчатую функцию.

.

Выполним обратное преобразование Лапласа в соответствии с рекомендациями, изложенными в примере 1.

.

Рассчитаем начальное и конечное значения функции по предельным теоремам Лапласа:

;

.

Теперь можно определить момент окончания расчета. Это может быть любой момент времени, когда становится понятен характер изменения сигнала.

Составим таблицу и построим график функции. Данный расчет удобно выполнить в Приложении Microsoft Office в табличном редакторе Excel.

3 Структурные преобразования

Задача

Преобразовать схему и найти передаточные функции системы в разомкнутом и замкнутом состоянии по управляющему и возмущающему воздействиям, передаточные функции ошибок по управляющему и возмущающему воздействиям, характеристическое уравнение САУ в замкнутом состоянии.

 

 

Решение

Для получения передаточной функции разомкнутой системы уберем главную обратную связь (ГОС). Далее проведем преобразования для упрощения схемы.

Первый шаг преобразования

,

и, кроме того, сделан перенос назад внешнего воздействия .

Второй шаг преобразования

 

 

Третий шаг упрощения

,

 

.

 

Здесь динамическое звено W₁₄ (p) является передаточной функцией разомкнутой системы по управляющему воздействию W_р (p).

Передаточная функция по возмущающему воздействию определяется по формуле

.

Для определения передаточной функции замкнутой системы восстанавливаем ГОС.

Главная передаточная функция САУ имеет вид

.

Передаточная функция замкнутой системы для ошибки по задающему воздействию

.

Передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию определяется при условии равенства нулю задающего воздействия и равна

.

Передаточная функция для ошибки по возмущающему воздействию будет той же, что передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию , но с обратным знаком

.

 

Задача

Определить устойчивость замкнутой системы управления, передаточная функция которой , используя алгебраический критерий устойчивости Гурвица.

 

Решение

Характеристический полином системы

.

Матрица Гурвица будет иметь вид

Найдем определители матрицы

;

;

.

Если при заданной постоянной времени Т все определители матрицы Гурвица положительны, то делаем вывод об устойчивости замкнутой системы управления. В случае отрицательного значения хотя бы одного определителя делаем вывод о неустойчивости системы.

 

Задача

Определить устойчивость замкнутой системы управления, передаточная функция которой , используя алгебраический критерий устойчивости Рауса.

 

Решение

Характеристический полином системы

.

Таблица Рауса будет иметь вид

 

r	Номер строки	Номер столбца
	0,5 T	0,2+ T
	0,5+0,2 T	3,5

 

Если при заданной постоянной времени Т все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса положительны, то делаем вывод об устойчивости замкнутой системы управления. В случае отрицательного значения хотя бы одного коэффициенты делаем вывод о неустойчивости системы.

Задача

Определить устойчивость замкнутой системы управления, передаточная функция которой , при Т = 1, используя частотный критерий устойчивости Михайлова.

 

Решение

Характеристический полином системы

.

Заменим оператор дифференцирования p на (jω) и выделим вещественную и мнимую части

.

,

Решив системы уравнений, будут получены координаты для построения годографа.

ω				2,5
Re(ω)	3,5	2,8	0,7	-0,8	-2,8
Im(ω)		0,7	-1,6	-4,8	-9,9

Строим годограф.

Делаем вывод о неустойчивости системы управления, т.к. годограф не окружает начало координат.

Задача

Определить устойчивость замкнутой системы управления, разомкнутая передаточная функция которой , при Т = 1, используя частотный критерий устойчивости Найквиста.

Решение

Характеристический полином разомкнутой системы

.

Найдем корни кубического уравнения.

Т.к. все корни имеют отрицательные вещественные части, делаем вывод об устойчивости системы в разомкнутом состоянии.

Введем вспомогательную передаточную функцию W₁ (p).

.

Построим годограф Михайлова для вспомогательной функции.

ω
Re(ω)		0,3	-1,8	-5,3
Im(ω)		0,7	-1,6	-9,9

Делаем вывод о неустойчивости системы в замкнутом состоянии, т.к. годограф вспомогательной передаточной функции охватывает начало координат.

Задача

Определить качество процесса регулирования для автоматической системы, описываемой передаточной функцией .

 

Решение

Передаточная функция замкнутой системы будет равна

.

Корни характеристического полинома

равны

, .

следовательно, степень устойчивости

.

Можно оценить время регулирования

.

Зная корни характеристического полинома, можно определить колебательность переходного процесса

.

количество колебаний за время переходного процесса не превышает

.

период колебаний переходного процесса равен

.

Время максимального перерегулирования определяется по формуле

.

Величина максимального перерегулирования оценивается по формуле

.

Приложение

Таблица 3 – Фрагмент таблицы преобразования Лапласа

№ п\п	Оригинал функции	Изображение функции по Лапсаллсу

Основные свойства преобразования Лапласа

1. Теорема сложения

Изображение суммы нескольких функций равно сумме изображений этих функций

и наоборот

2. Изображение функции, умноженной на константу

Константа выносится за знак изображения

,

и наоборот

.

3. Изображение производной функции

При нулевых начальных условиях изображение от производной функции n -го порядка равно произведению переменной на изображение исходной функции

,

и наоборот

.

При ненулевых начальных условиях преобразование имеет следующий вид

,

где - значение функции при .

4. Изображение от функции с запаздыванием

Изображение от функции с запаздыванием τ равно произведению множителя на изображение исходной функции

,

и наоборот

.

5. Теорема Лапласа о начальном значении

.

6. Теорема Лапласа о конечном значении

.

 

Содержание

1 Определение весовой функции ω (t)……………………………………………3

2 Определение переходной функции h (t)……………………………………….4

3 Структурные преобразования…………………………………………………5

4 Определение устойчивости системы управления алгебраическим критерием………………………………………………………………………….8

4.1 Определение устойчивости системы управления критерием Гурвица….8

4.2 Определение устойчивости системы управления критерием Рауса……..9

5 Определение устойчивости системы управления частотным критерием….9

5.1 Определение устойчивости системы управления критерием Михайлова..9

5.2 Определение устойчивости системы управления критерием Найквиста..10

6 Определение качества процесса регулирования……………………………12

Индивидуальные условия к задачам…………………………………………..13

Приложение………………………………………………………………………19

1 Определение весовой функции ω (t)

 

Задача

Модель элемента задана в виде передаточной функции . Требуется построить график весовой функции данного элемента.

Решение

Весовая функция звена есть его реакция на дельта-функцию.

.

Чтобы выполнить обратное преобразование Лапласа, воспользуемся таблицей преобразований (см. Приложение 1). В таблице имеется выражение, которое совпадает по структуре с выражением в фигурных скобках

.

Приведем выражение в фигурных скобках к табличному виду, для этого необходимо применить основные теоремы Лапласа (Приложение 1), в данном случае теорему линейности, согласно которой все константы могут быть вынесены за знак обратного преобразования Лапласа.

Получили выражение в фигурных скобках, в точности соответствующее табличному, где .

Тогда .

Задаваясь значениями t от 0 до ∞, можно получить график весовой функции. Однако даже при использовании вычислительной техники такой процесс является утомительным и зачастую так и не приводит к нужному результату. Поэтому следует вначале рассчитать начальное и конечное значения функции по предельным теоремам Лапласа (Приложение 1).

Найдем начальное значение весовой функции согласно

.

Разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на максимальную степень переменной р и воспользуемся свойствами пределов: предел частного равен частному пределов, предел суммы равен сумме пределов и .

Исходя из этого имеем, что .

Аналогично получим конечное значение функции, согласно

.

Получены значения и .

Составим таблицу и построим график функции. Данный расчет удобно выполнить в Приложении Microsoft Office в табличном редакторе Excel.

2 Определение переходной функции h (t)

Задача

Модель элемента задана в виде передаточной функции . Требуется построить график переходной функции данного элемента.

Решение

Переходная функция звена есть его реакция на единичную ступенчатую функцию.

.

Выполним обратное преобразование Лапласа в соответствии с рекомендациями, изложенными в примере 1.

.

Рассчитаем начальное и конечное значения функции по предельным теоремам Лапласа:

;

.

Теперь можно определить момент окончания расчета. Это может быть любой момент времени, когда становится понятен характер изменения сигнала.

Составим таблицу и построим график функции. Данный расчет удобно выполнить в Приложении Microsoft Office в табличном редакторе Excel.

3 Структурные преобразования

Задача

Преобразовать схему и найти передаточные функции системы в разомкнутом и замкнутом состоянии по управляющему и возмущающему воздействиям, передаточные функции ошибок по управляющему и возмущающему воздействиям, характеристическое уравнение САУ в замкнутом состоянии.

 

 

Решение

Для получения передаточной функции разомкнутой системы уберем главную обратную связь (ГОС). Далее проведем преобразования для упрощения схемы.

Первый шаг преобразования

,

и, кроме того, сделан перенос назад внешнего воздействия .

Второй шаг преобразования

 

 

Третий шаг упрощения

,

 

.

 

Здесь динамическое звено W₁₄ (p) является передаточной функцией разомкнутой системы по управляющему воздействию W_р (p).

Передаточная функция по возмущающему воздействию определяется по формуле

.

Для определения передаточной функции замкнутой системы восстанавливаем ГОС.

Главная передаточная функция САУ имеет вид

.

Передаточная функция замкнутой системы для ошибки по задающему воздействию

.

Передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию определяется при условии равенства нулю задающего воздействия и равна

.

Передаточная функция для ошибки по возмущающему воздействию будет той же, что передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию , но с обратным знаком

.

 

Определение устойчивости системы управления алгебраическим критерием

Алгебраический критерий позволяет определять устойчивость системы управления по коэффициентам характеристического полинома без вычисления его корней.