Определение устойчивости системы управления критерием Гурвица

Задача

Определить устойчивость замкнутой системы управления, передаточная функция которой , используя алгебраический критерий устойчивости Гурвица.

 

Решение

Характеристический полином системы

.

Матрица Гурвица будет иметь вид

Найдем определители матрицы

;

;

.

Если при заданной постоянной времени Т все определители матрицы Гурвица положительны, то делаем вывод об устойчивости замкнутой системы управления. В случае отрицательного значения хотя бы одного определителя делаем вывод о неустойчивости системы.

 

Определение устойчивости системы управления критерием Рауса

Задача

Определить устойчивость замкнутой системы управления, передаточная функция которой , используя алгебраический критерий устойчивости Рауса.

 

Решение

Характеристический полином системы

.

Таблица Рауса будет иметь вид

 

r	Номер строки	Номер столбца
	0,5 T	0,2+ T
	0,5+0,2 T	3,5

 

Если при заданной постоянной времени Т все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса положительны, то делаем вывод об устойчивости замкнутой системы управления. В случае отрицательного значения хотя бы одного коэффициенты делаем вывод о неустойчивости системы.

Определение устойчивости системы управления частотным критерием

Определение устойчивости системы управления критерием Михайлова

Задача

Определить устойчивость замкнутой системы управления, передаточная функция которой , при Т = 1, используя частотный критерий устойчивости Михайлова.

 

Решение

Характеристический полином системы

.

Заменим оператор дифференцирования p на (jω) и выделим вещественную и мнимую части

.

,

Решив системы уравнений, будут получены координаты для построения годографа.

ω				2,5
Re(ω)	3,5	2,8	0,7	-0,8	-2,8
Im(ω)		0,7	-1,6	-4,8	-9,9

Строим годограф.

Делаем вывод о неустойчивости системы управления, т.к. годограф не окружает начало координат.

Определение устойчивости системы управления критерием Найквиста

Задача

Определить устойчивость замкнутой системы управления, разомкнутая передаточная функция которой , при Т = 1, используя частотный критерий устойчивости Найквиста.

Решение

Характеристический полином разомкнутой системы

.

Найдем корни кубического уравнения.

Т.к. все корни имеют отрицательные вещественные части, делаем вывод об устойчивости системы в разомкнутом состоянии.

Введем вспомогательную передаточную функцию W₁ (p).

.

Построим годограф Михайлова для вспомогательной функции.

ω
Re(ω)		0,3	-1,8	-5,3
Im(ω)		0,7	-1,6	-9,9

Делаем вывод о неустойчивости системы в замкнутом состоянии, т.к. годограф вспомогательной передаточной функции охватывает начало координат.