Определение оптимальных настроек регуляторов

Регулятор, включенный в АСР, может иметь несколько настроек, каждая из которых может изменяться в достаточно широких пределах. При этом при определенных значениях настроек система будет управлять объектом в соответствии с технологическими требованиями, при других может привести к неустойчивому состоянию.

Поэтому стоит задача, во-первых, определить настройки, соответствующие устойчивой системе, и, во-вторых, выбрать из них оптимальные.

Оптимальными настройками регулятора называются настройки, которые соответствуют минимуму (или максимуму) какого-либо показателя качества. Требования к показателям качества устанавливаются непосредственно, исходя из технологических. Чаще всего накладываются требования на время регулирования (минимум) и степень затухания (Y ³ Y_зад).

Однако, изменяя настройки таким образом, чтобы увеличить степень затухания, мы можем прийти к слишком большому времени регулирования, что нецелесообразно. И наоборот, стремясь уменьшить время регулирования, мы получаем более колебательные процессы с большим значением Y.

Зависимость Y от t_p в общем случае имеет вид, изображенный на графике (см. рисунок 1.61).

Поэтому для определения оптимальных настроек разработан ряд математических методов, среди которых можно выделить:

- метод сканирования плоскости настроек,

- формульный метод,

- метод D-разбиения.

Метод сканирования заключается в разбиении области допустимых настроек выбранного регулятора с равным шагом и определении показателей качества для каждого набора настроек в узлах получившейся сетки. После просмотра всех узлов выбираются наборы настроек, соответствующие наилучшим показателям качества. Настройки могут быть уточнены далее также путем сканирования окрестности выбранного узла с более мелким шагом.

Формульный метод определения настроек регуляторов используется для быстрой и приближенной оценки значений настроек регуляторов.

Если объект управления представляет собой инерционное звено с запаздыванием, т.е. описывается передаточной функцией

,

где K – коэффициент усиления, Т - постоянная времени, t - запаздывание (см. п. 2.6.5), то настройки П-, И-, ПИ- и ПИД-регуляторов могут быть определены по приведенным в таблице 1.5 формулам в зависимости от того, какой вид переходного процесса требуется получить. Во второй колонке таблицы приведены формулы для апериодического процесса без перерегулирования, в третьей – с перерегулированием 20 %, в четвертой – для процесса с максимальным быстродействием (процесс может быть сильно колебательным).

Метод D-разбиения заключается в определении области настроек в пространстве допустимых значений настроек выбранного регулятора, соответствующих области устойчивости или заданному показателю качества. Кривая D-разбиения представляет собой границу устойчивости в пространстве настроек и поэтому строится с использованием какого-либо критерия устойчивости.

Построение кривой D-разбиения по методу Гурвица сводится к решению системы неравенств вида D_i ³ 0, определяющих условие устойчивости.

Пример. Определение области устойчивости АСР по методу Гурвица.

Структура АСР представлена на рисунке 1.30 (см. п. 2.6.4). Параметры K₂ = 1, K₄ = 2, K₅ = 0,5. Параметры K₀ и K₁ являются переменными. Требуется записать условие устойчивости относительно K₀ и K₁.

Для записи условия устойчивости в данном примере наиболее удобно воспользоваться критерием Гурвица.

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид (пример определения характеристического уравнения см. в п. 2.6.4):

D(s) = 2^.s³ + 4^.s² + (K₁ + 1)^.s + K₀.

 

Таблица 1.5

Регулятор	Апериодический процесс	Процесс с перерегулированием 20 %	Процесс с минимальным временем регулирования
П
И
ПИ	,	,	,
ПИД	, ,	, ,	, ,

 

Матрица имеет размер 3х3, так как степень D(s) равна 3:

.

Диагональные миноры матрицы:

D₁ = 4 > 0,

,

.

Согласно критерию Гурвица система устойчива, если все D_i > 0. Тогда получаем систему неравенств (D₁ = 4 уже удовлетворяет этому условию, поэтому далее не учитывается):

D₂ = 4^.K₁ + 4 – 2^.K₀ > 0 K₀ < 2^.K₁ + 2

D₃ = K₀^. D₂ > 0 K₀ > 0

То есть условие устойчивости можно записать как 0 < K₀ < 2^.K₁ + 2. Графически она изображена на рисунке 1.62.

Кривая D-разбиения в данном примере представляет собой прямую

K₀ = 2K₁ + 2,

выше которой настройки соответствуют неустойчивой системе. Система с настройками, взятыми из области устойчивости, будет устойчива.¨

Для систем с запаздыванием при определении границы устойчивости можно воспользоваться критериями Михайлова или Найквиста.

Методика определения границы устойчивости по критерию Михайлова сводится к решению системы уравнений

Re_D(w) = 0,

Im_D (w) = 0.

Это условие границы устойчивости вытекает из требования прохождения годографа Михайлова (для системы, находящейся на границе устойчивости) через начало координат, т.е. точку с координатами (Re = 0, Im = 0).

Пример. Определение области устойчивости АСР по критерию Михайлова.

Рассмотрим одноконтурную АСР (см. рисунок 1.27), состоящую из ПИ-регулятора с передаточной функцией W_p(s), объекта с передаточной функцией W_оу(s) и отрицательной обратной связи. Передаточные функции имеют вид

, .

Последовательность расчета соответствует порядку применения критерия (см. п. 3.1.5).

Характеристическое выражение замкнутой системы:

D(s) = (K₁^.s + K₀)^.2^.e^-s + s^.(3^.s + 1) = 3^.s² + s + 2^.(K₁^.s + K₀)^.e^-s.

Подстановка s = j^.w дает:

D(j^.w) = -3^.w² + j^.w + 2^.(j^.K₁^.w + K₀)^.(cos w - j^.sin w) = -3^.w² + j^.w +

+ j^.2^.K₁^.w^.cos w + 2^.K₁^.w^.sin w + 2^.K₀^.cos w - j^.2^.K₀^.sin w = Re_D + j^.Im_D,

где Re_D = -3^.w² + 2^.K₁^.w^.sin w + 2^.K₀^.cos w,

Im_D = w + 2^.K₁^.w^.cos w - 2^.K₀^.sin w.

Приравнивание полученных выражений к нулю дает систему из двух уравнений с тремя неизвестными: K₀, K₁ и w:

Re_D = -3^.w² + 2^.K₁^.w^.sin w + 2^.K₀^.cos w = 0,

Im_D = w + 2^.K₁^.w^.cos w - 2^.K₀^.sin w = 0.

Решение системы относительно K₀ и K₁:

K₀ = 0,5^.w^.sin w + 1,5^.w^2.cos w,

K₁ = 1,5^.w^.sin w - 0,5^.cos w.

Далее, варьируя w от 0 до бесконечности, по последним выражениям в пространстве K₀ и K₁ строится кривая D-разбиения (см. рисунок 1.63), которая ограничивает область устойчивости.¨

Знание области устойчивости для рассматриваемой АСР позволяет ограничить область поиска оптимальных настроек. Поиск может производится путем сканирования (в т.ч. с переменным шагом) только области устойчивости.

Часто ставится задача поиска настроек, соответствующих оптимальным (максимальным или минимальным) значениям показателей качества C_i:

,

которые могут образовывать векторный критерий С = {C_i}.

Поиск оптимальных параметров в смысле векторного критерия достаточно сложен. Для упрощения он может быть сведен к достаточно хорошо изученной задаче минимизации некоторой скалярной функции, которая является интегральным критерием I. Функция I определяется путем сворачивания векторного критерия в скалярный одним из методов:

1) аддитивный критерий

,

где α_i – веса (весовые коэффициенты) показателей.

Если показатели имеют разные шкалы или размерности, то для облегчения выбора весов иногда эти показатели нормируют:

,

где - минимально (максимально) возможное значение показателя или диапазон его шкалы. Веса также нормированы, т.е. .

2) линейно-квадратичный критерий

.

Минимизация по такому критерию эквивалентна нахождению точки, ближайшей к началу координат (с учетом весов).

3) Минимаксный (Чебышёвский) критерий

.

Смысл – минимизация самой большой потери.

4) Модель справедливого компромисса.

.

Для случая n = 2 имеем α = α₁ = α₂ = 0,5 и решение

.

То есть относительные потери по одному критерию приводят к относительному преобразованию другого.

К критериям C_i предъявляются требования:

1) C_i > 0,

2) для оптимальных настроек C_i ® min (если изначально C_i ® max, то вместо него вводится в рассмотрение критерий , который стремится к минимуму при C_i ® max).

После определения интегрального критерия производится его минимизация в области устойчивости (методом сканирования, градиентным методом и т.д.).

Поиск оптимальных настроек может вестись при заранее введенных ограничениях на какие-либо показатели качества:

или ,

где C_i.зад. – заданное значение показателя. Достигнутое при поиске значение должно быть не хуже заданного. Для решения такой задачи поиска строятся т.н. кривые D-разбиения равного значения показателя качества одним из перечисленных ниже методов в зависимости от вида показателя.

При ограничении на степень устойчивости h ³ h_зад.

Кривая D-разбиения изначально являлась границей устойчивости, поэтому, чтобы можно было применить те же методы построения кривой (т.е. применять критерии устойчивости), производят смещение осей координат Этим смещением вынуждают систему оказаться на границе устойчивости.

В отношении степени устойчивости достаточно сместить мнимую ось Im влево на величину h_зад (ось Im z на рисунке 1.64) путем подстановки

s = z + h_зад

в характеристическое выражение D(s). Выражение D(z + h_зад) называется смещенным характеристическим выражением.

Далее производится построение кривой D- разбиения известными методами. Каждая точка кривой будет соответствовать заданной степени устойчивости.

 

 

 

При ограничении g ³ g_зад.

В этом случае для вывода системы на границу устойчивости необходимо повернуть оси Re и Im на угол g_зад ( см. рисунок 1.65 ) путем подстановки

s = z^.e ^{j g}.

 

 

 

При ограничении на степень колебательности m ³ m_зад.

Поскольку показатели m и g связаны однозначно отношением m = tg g, то для вывода системы на границу устойчивости также используется поворот осей на угол g. Подстановка имеет вид

s = j^.w - m^.w.

Далее строится кривая D-разбиения по критерию Михайлова.

При ограничении на степень затухания Y ³ Y_зад.

Имеется формула, связывающая Y со степенью колебательности m:

,

откуда

.

Далее строится кривая D-разбиения равной степени колебательности m.

При ограничении на показатель колебательности М £ М_зад.

Применяется методика Ротача, согласно которой необходимо определить выражение для АЧХ замкнутой системы по заданию

А_з(w) = |Ф_з(j^. w)|.

Показатель колебательности М определяется как максимум функции А_з(w) (см. рисунок 1.66). Условие максимума записывается в виде системы:

А_з(w) = М

при .

Поскольку в общем случае выражение для А_з(w) является функцией не только частоты w, но и настроек регулятора, то система уравнений (при М = М_зад) решается относительно них. Далее, варьируя w, в пространстве настроек строится кривая D‑разбиения, каждая точка которой соответствует М_зад.

При ограничении на показатель колебательности М_Е £ М_{Е зад}.

Построение кривой D-разбиения строится аналогично как решение системы:

А_Е(w) = М_{Е зад}

при ,

где А_Е(w) = |Ф_Е(j^. w)| - АЧХ замкнутой системы по ошибке.

Количество настроек, в пространстве которых строятся кривые D-разбиения, как показано в п. 4.1, для разных регуляторов различно. Так, ПИ-регулятор имеет две настройки K₀ и K₁, поэтому кривая D-разбиения для него имеет вид кривой на плоскости. Для ПИД-регулятора с настройками K₀, K₁ и K₂ кривая D-разбиения представляет собой поверхность в трехмерном пространстве. Для ограничения области поиска настройку K₂ рассматривают как зависимую от K₀ и K₁:

,

где a - коэффициент, оптимальные значения которого соответствуют диапазону

0,15 £ a £ 0,6.

Тогда поверхность вырождается в кривую на плоскости K₀ и K₁.

Доказано, что оптимальные настройки ПИ- и ПИД-регуляторов в смысле минимума интегрального квадратичного критерия

,

где e_п(t) = e(t) – e_уст – переходная составляющая ошибки, соответствуют максимуму K₀ на кривой равного значения.

Задача поиска оптимальных настроек регуляторов относится к задачам параметрической оптимизации. В целом при синтезе АСР различают три уровня оптимизации (начиная с нижнего):

1) параметрический – заключается в настройке параметров – для данного уровня существуют наиболее разработанные и формализованные методики;

2) структурный – подбираются оптимальные структуры регуляторов, различных корректирующих звеньев – достаточно хорошо разработаны методики для одноконтурных систем;

3) топологический – оптимизация некоторого критерия путем подбора структуры всей АСР (выбор количества и мест включения обратных связей, регуляторов, дополнительных звеньев) – существуют лишь частные методики, которые могут давать физически нереализуемые решения.

 

 

Часть 2. Средства автоматизации и управления