Определение устойчивости системы. Теоремы Лапласа, критерии устойчивости

 

Исследование устойчивости САУ имеет огромное значение, так как САУ в замкнутом виде обычно склонны к неустойчивой работе.

Устойчивость линейной системы определяется ее параметрами и не зависит от внешних воздейст­вий.

Процессы в САУ описываются неоднородным дифференци­альным уравнением, общее решение которого состоит из двух составля­ющих:

x_вых(t) = x_{вых(вын)}(t) + x_вых(св)(t).

Общее решение однородного дифференциального уравнения определяется корнями соответствующего характеристического уравнения, т.е. полюсами передаточной функции замкнутой системы.

Общее решение однородного дифференциального уравнения равно:

,

где pi – корень характеристического уравнения (полюс системы), ; Ci – постоянная интегрирования.

Если полюс pi вещественный и отрицательный, т.е. pi < 0, то соответствующее ему слагаемое в выражении (3.5) с ростом времени стремится к нулю.

Если же pi – вещественный положительный полюс, т.е. pi > 0, то это слагаемое, а значит и вся свободная составяляющая, неограниченно возрастает.

Паре комплексно-сопряженных полюсов

p_i,i+1 = α_i + jβ_i,

в свободной составляющей соответствует слагаемое:

,

где определяются через и

.

Такое слагаемое стремится к ну­лю, если вещественные части комплексно-сопряженных полюсов отрицательны, в противном случае амплитуда колебаний соответствующего слагаемого в свободной составляющей непрерывно возрастает.

Паре мнимых полюсов pi,i+1 = + jβi в выражении соответствует слагаемое:

Ai sin(βit + ),

определяющее незатухающие колебания с постоянной амплитудой Ai.

 

Таким образом, для устойчивости системы САР необ­ходимо и достаточно, чтобы все корни характеристичес­кого уравнения на плоскости комплексного переменного были распо­ложены слева от мнимой оси. Только при этом все слагаемые в выражении будут стремиться к нулю.

Если корни характеристического уравнения находятся в левой полуплоскости за исключение нескольких, располо­женных на мнимой оси, то система находится на грани­це устойчивости. При этом возможны два случая: корень в начале координат и пара мнимых корней. Нулевой ко­рень появляется, когда свободный член характеристиче­ского уравнения равен нулю. Если остальные корни этого уравнения отрицательные, то система нейтрально устойчива. В том случае, когда характеристическое уравнение имеет пару мнимых кор­ней, границу устойчивости называют колебательной.

Определение устойчивости САУ по полюсам ее передаточной функции называют прямым методом оценки устойчивости. Однако для оценки устойчивости линейной системы не обязательно вычислять значения ее полюсов, т.е. решать алгебраическое уравнение n-го порядка. Достаточно знать, все ли полюса находятся в левой полуплоскости комплексной плоскости р (являются «левыми»). Такой подход к определению устойчивости системы характерен для косвенных методов оценки устойчивости (критериев устойчивости), позволяющих судить о расположении полюсов на плоскости комплексного переменного без их расчета.

Различают алгебраические и частотные критерии устойчивости. Отличие критериев друг от друга связано с использованием различных характеристик САУ, но при этом все они предполагают необходимость проверки необходимого и достаточного условия устойчивости.

 

Независимо от выбранного критерия устойчивости первоначально проверяется выполнение необходимого условия устойчивости, согласно которому все коэффициен­ты характеристического уравнения должны быть положительными, т.е.

ai > 0 при i = 1,…,n.

Если необходимое условие не выполняется, делается заключение о том, что система неустойчива. В противном случае необходимо переходить к проверке достаточного условия устойчивости, формулировка которого зависит от выбранного критерия устойчивости. В даль­нейшем будем полагать, что необходимое условие устой­чивости выполняется.

Для систем первого и второго порядка необходимое условие устойчивости является достаточным.

6.1 Алгебраический критерий устойчивости Гурвица.

Для оценки устойчивости линейной системы по критерию Гурвица необходимо из коэффициентов характеристиче­ского уравнения составить определитель Гурвица, размерность которого равна порядку системы.

Определитель Гурвица имеет вид:

.

Порядок составления определителя Гурвица следующий. В качестве элемента первого столбца первой строки определителя записывается коэффици­ент an-1, а затем на главной диагонали располагаются коэффициенты характеристического уравнения с последовательно убывающими индексами. При этом в послед выражении нем столбце последней строки определителя записывается коэффициент .

Затем, начиная от коэффициентов, стоящих на главной диагонали, заполняются столбцы определителя так, чтобы ин­дексы коэффициентов, расположенных над коэффициентами главной диагонали, последовательно убывали, а коэффициентов, расположенных под диагональными коэффициентами, – последовательно возрастали. Если в процессе заполнения столбца определителя индекс коэффициента достигает значения n или 0, то дальнейшее заполнение столбца осуществляется нулями.

Далее необходимо вычислить значение определителя Гурвица и всех его диагональных миноров, которые получают из определителя путем отчеркивания равного числа строк и столбцов в левом верхнем углу определителя. Например, диагональный минор первого порядка равен Δ1 = an-1; диагональный минор второго порядка:

Δ2 = ,

а диагональный минор третьего порядка:

Δ3 = .

Очевидно, что диагональный минор n-го порядка совпадает с определителем Гурвица.

Линейная система устойчива, если при выполнении необходимого условия, определитель Гурвица и все его диагональные миноры будут положительны:

Δ1 > 0, Δ2 > 0, …………,Δn > 0.

Раскрыв определитель Гурвица по последнему столбцу, получим

Так как, в соответствие с необходимым критерием устойчивости > 0 и > 0, то для проверки устойчивости систе­мы достаточно уточнить знаки диагональных миноров с номерами от второго до .

 

Если определитель Δn = 0, то САУ находится на границе устойчивости. При этом возможны два случая:

1) сво­бодный член характеристического уравнения равен нулю, т.е. a0 = 0, что соответствует нейтрально устойчивой системе;

2) диагональный минор Δ(n-1) = 0, что соответствует колебательной границе устойчивости.

Из условия Δ(n-1) = 0 можно опреде­лить параметры, при которых САУ находится на границе устойчивости.

 

 

6.2 Критерий устойчивости Михайлова

Годограф характеристического вектора, т.е. кривую, которую описывает характеристический вектор при изменении частоты от 0 до ∞, называют кривой

Михайлова. При а_n > 0 кривая Михайлова начинается в положительной вещественной полуоси.

Из формулировки критерия следует, что система устойчива, если годограф Михайлова, начавшись на действительной оси при ω = 0, несколько раз последовательно пересекает действительную и мнимую ось. Значения ω, при которых происходят эти пересечения, являются корнями уравнения Y(ω) = 0 (при пересечении с действительной осью) и уравнения Х(ω) = 0 (при пересечении с мнимой осью). Следовательно, оценить устойчивость системы можно и без построения годографа: достаточно, чтобы корни указанных уравнений чередовались друг с другом.

 

6.3 Критерий Найквиста

На практике более широ­кое применение, по сравнению с критерием Михайлова, нашел частотный критерий Найквиста, который позво­ляет судить об устойчивости замкнутой системы по частотным характеристикам этой системы в разомкнутом состоянии.

1 формулировка критерия Найквиста: система, устойчивая в разомкнутом состояние, будет устойчива и в замкнутом состоянии, если годограф амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы не охва­тывает точку с координатами (-1, j0). В том случае, когда годограф частотной характеристики охватывает эту точку, система неустойчива.

2 формулировка критерия Найквиста: система, неустойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива в замкнутом состоянии, если годограф амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы пересекает реальную ось на отрезке от -∞ до (-1, j0), причем число положительных переходов должно отличаться от числа отрицательных переходов на раз, где - число правых корней в характеристическом уравнении разомкнутой системы.

Для оценки устойчивости астатических систем годограф W(jω) дополняют дугой бесконечного радиуса, начинающейся на положительной действительной полуоси и проводимой до пересечения с годографом W(jω). Формулировка критерия устойчивости при этом не изменяется.

Если годограф W(jω) разомкнутой системы проходят через точку (1, j0), то система в замкну­том состоянии находится на границе устойчивости.

 

6.4 Оценка устойчивости по логарифмическим характеристикам

Оценку устойчивости замкнутой САУ можно осуществлять по логарифмическим амлитудно- и фазо-частотным характеристикам системы в разомкнутом состоянии: L(ω) и φ(ω). В том случае, когда годограф W(jω) не имеет точек пересечения с вещественной осью слева от точки с коор­динатами (-1, j0), для устойчивости замкнутой сис­темы необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

ω_с < ω_кр.

По L(ω) и φ(ω) разомкнутой системы можно определить за­пасы устойчивости: запас по фазе Δφ отсчитывают по фазо-частотной характеристике на частоте среза ω_с, а запас устойчивости по усилению ΔL равен зна­чению ЛАХ на критической частоте ω_кр, взятому с обратным знаком, т.е. ΔL = | L(ω_кр)|.

Если ω_с = ω_кр, то система находится на границе устойчивости.

6.5 Устойчивость систем с запаздыванием

Рассмотрим устойчивость САУ, в состав кото­рых входят звенья чистого запаздывания. Передаточную функцию разомкнутой системы с запаздыванием запишем в виде

W(p) = Wбз(p)∙e-τp,

где Wбз(p) – передаточная функция разомкнутой систе­мы без запаздывания; τ – время запаздывания.

Передаточной функции звена с запаздыванием соответствуют следую­щие амплитудно- и фазо-частотные характеристики ра­зомкнутой системы:

│W(p)│ = │Wбз(p)│;

L(ω)= Lбз(ω);

φ(ω) = φбз(ω) – ωτ,

где Lбз(ω), φбз(ω) – соответственно логарифмические амплитудно- и фазо-частотная характеристики разомкнутой системы без запаздывания.

Из этих характеристик следует, что запаздывание влияет только на фазо-частотную характеристику, созда­вая дополнительный отрицательный фазовый сдвиг. Поэтому устойчивые САУ, не содержащие звеньев чистого запаздывания, мо­гут становиться неустойчивыми при включении в их состав таких звеньев.

 

Показатели качества системы

 

Для сравнительного анализа различных систем управления необходимо иметь некоторые числовые характеристики этих систем, позволяющие оценивать какая из них будет более эффективной. Эти числовые характеристики и называются критериями качества.

Система управления характеризуется различными показателями, к которым в первую очередь можно отнести: точность, устойчивость, быстродействие надежность, стоимость, оптимальность и др. Учитывая большое разнообразие систем и объектов управления, в настоящее время разработано большое число различных критериев так или иначе включающих в себя вышеприведенные показатели. Между этими показателями (критериями качества) существует тесная взаимосвязь, поэтому стремление улучшить какой-либо показатель системы управления приводит к ухудшению другого. Так, например, стремление уменьшить ошибку регулирования приводит к уменьшению запаса устойчивости и быстродействия и наоборот, или повышение надежности системы неизбежно приводит к увеличению ее стоимости.

Учитывая взаимосвязь между различными показателями систем управления задачу выбора или проектирования оптимальной системы можно рассматривать как задачу на условный экстремум. Найти экстремум (минимум и максимум) какого-либо показателя, например стоимости, при условии, что остальные показатели не превышают заранее заданной величины.

Такой постановке отвечают интегральные критерии качества, представляющие собой определенные интегралы от некоторых функций переменных системы.

Классификация показателей качества.

Наиболее полной характеристикой качества системы управления является ошибка e(t) =g(t)-y(t). Ошибка e(t), являясь функцией от времени, не очень удобна для оценки качества систем управления. Поэтому на практике при оценке качества чаще используют числовые показатели, которые прямо или косвенно характеризуют точность воспроизведения заданного движения.

Ошибка e(t) зависит как от свойства системы управления (т. е. от уравнения), так и от внешнего воздействия. По этой причине показатели качества как характеристики свойства системы определяют при определенных внешних воздействиях, называемых типовыми.

При оценке качества в переходном режиме в качестве типового воздействия используют ступенчатую функцию, а при оценке качества в установившемся режиме — полиномы времени t: At, At²,...

 

Прямыми показателями качества называются показатели, которые получаются непосредственно по переходной характеристике. Из прямых показателей качества наиболее часто используют время регулирования и перерегулирование.

 

 

Основные прямые показатели качества системы:

- hуст - установившееся значение – конечное значение переходной характеристики;

- tн - время нарастания – время до момента, когда переходная характеристика впервые достигает значения hуст;

- перерегулирование - ;

- время регулирования tр – время, за которое переходный процесс заканчивается (с заданной точностью ). ;

- число колебаний n – число колебаний переходной характеристики за время tр. Первый выброс не учитывается;

- частота колебаний - .

 

Корневые показатели качества. В качестве корневых показателей используют степень устойчивости и колебательность (степень колебательности). Степенью устойчивости системы управления (или характеристического полинома) называют расстояние от мнимой оси до ближайшего корня ее характеристического уравнения.

Степень колебательности, называемая также колебательностью, косвенно характеризует колебательность системы. Если степень колебательности равна нулю, то переходный процесс будет апериодическим. В общем случае можно ожидать, что при одинаковой степени устойчивости число колебаний за время регулирования будет больше у той системы, у которой больше степень колебательности.

.

По корневым показателям качества системы можно оценить значения основных прямых показателей качества:

.

Таким образом, степень устойчивости системы является косвенной мерой быстродействия системы.

Степень колебательности, в свою очередь, является косвенной мерой устойчивости системы, причем чем величина степень колебательности меньше, тем больше запас устойчивости системы.

 

 

Частотные показатели качества. В качестве частотных показателей качества используют резонансный пик, полосу пропускания, запас устойчивости по фазе и запас устойчивости по амплитуде.

- M – частотный показатель колебательности, определяется по формуле:

;

- - резонансная частота, частота, при которой АЧХ достигает максимальное значение;

- - граничная частота полосы пропускания системы;

- - частота среза, частота при которой и затем АЧХ только убывает.

Показатель колебательности М характеризует запас устойчивости системы, чем выше показатель колебательности, тем меньше запас устойчивости. Допустимое значение М выбирается из условия М < 1,1-1,5.

Величина частоты среза косвенной характеризует быстродействие системы:

,

при

Помимо перечисленных частотных показателей качества, особое место занимают запасы устойчивости системы, которые определяются по АФХ разомкнутой системы или по ЛЧХ разомкнутой системы.

Запас устойчивости по амплитуде:

, где а – расстояние от начала координат до точки пересечения АФХ отрицательной вещественной полуоси, т.е. .

Запас устойчивости по фазе:

.

По логарифмическим характеристикам запас по фазе определяется по такому же соотношению, что и для определения запаса по АФХ, а для определения запаса по амплитуде используется следующая зависимость:

.