Критерий устойчивости Найквиста

Критерий устойчивости Найквиста позволяет оценить устойчивость замкнутой САУ по ее разомкнутой цепи. Для этого в передаточной функции производят замену оператора на переменную и на комплексной плоскости при изменении частоты от нуля (если это возможно) до бесконечности строят АФЧХ (годограф Найквиста).

Если разомкнутая цепь устойчива (а это всегда имеет место, если САУ не содержит неустойчивых неминимально-фазовых звеньев), то формулировка критерия Найквиста звучит следующим образом.

Для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста при изменении от 0 до не охватывал точку с координатами .

На рис. 4.10 изображены основные из возможных ситуаций прохождения годографа Найквиста на комплексной плоскости. Сплошная кривая 1 на рис. 4.10, а соответствует абсолютно устойчивой замкнутой САУ (системе, которая остается устойчивой при уменьшении коэффициента передачи разомкнутой цепи), а пунктирная кривая 2 — условно устойчивой САУ (системе, устойчивой только в некотором диапазоне изменения коэффициента передачи разомкнутой цепи, как это было в примере 4.4). Сплошная кривая 3 на рис. 4.3, б проходит через критическую точку с координатами , и это означает, что замкнутая система находится на колебательной границе устойчивости. Пунктирная кривая 4 охватывает критическую точку, поэтому замкнутая САУ неустойчива.

Физический смысл критерия Найквиста заключается в том, что при увеличении частоты входного воздействия сигнал, проходящий по цепи обратной связи, оказывается в противофазе с входным. Это равносильно замене отрицательной обратной связи на положительную. Если же при этой частоте разомкнутый контур обладает усилением (т.е. ), то замкнутая САУ становится неустойчивой (любое увеличение сигнала на выходе приводит к увеличению сигнала на входе по цепи обратной связи, что вызывает дальнейший рост выходного сигнала и т.д.).

Рис. 4.10 — Варианты годографа Найквиста для устойчивой (а),

неустойчивой САУ и САУ на границе устойчивости (б)

 

Для аналитических расчетов с помощью критерия Найквиста условия нахождения системы на границе устойчивости можно записать, используя вещественную и мнимую частотные функции разомкнутой цепи:

(4.8)

где — частота, соответствующая повороту радиус-вектора АФЧХ разомкнутой цепи на угол , т.е. до совпадения с отрицательной вещественной полуосью; ее называют частотой переворота фазы.

При решении практических задач для оценки устойчивости САУ не обязательно строить годограф Найквиста, достаточно в частотной передаточной функции разомкнутой цепи приравнять к нулю мнимую часть и определить из получившегося уравнения частоту переворота фазы (или ее квадрат). Затем подставить получившееся значение в вещественную часть и вычислить ее модуль. Если , то система устойчива, в противном случае — неустойчива.

Несмотря на наглядность критерия Найквиста и его физическую прозрачность, он имеет один существенный технический недостаток — вычислительные трудности, возникающие при разделении вещественной и мнимой частей . Особенно это проявляется, если САУ содержит форсирующие звенья. Если же таких звеньев в структуре нет, то задача анализа устойчивости по критерию Найквиста решается просто. Продемонстрируем это на примере.

 

Пример 4.5

По критерию Найквиста получить выражение для оценки устойчивости и определить граничный коэффициент передачи для САУ, изображенной на рис. 4.3.

В примере 4.1 была получена передаточная функция разомкнутой цепи

Произведем в замену оператора на переменную и выделим в знаменателе получившегося выражения мнимую и вещественную части:

По правилам деления комплексных чисел [1] числитель и знаменатель полученного выражения нужно умножить на комплексную сопряженную функцию . Однако поскольку при определении частоты переворота фазы мнимая часть приравнивается к нулю и знак перед ней не играет роли, то операцию умножения на комплексную сопряженную функцию можно не проводить, приняв

,

.

Выразив из первого уравнения квадрат частоты , получим , тогда

При система будет устойчивой.

На границе устойчивости , т.е.

,

отсюда

.

Зададимся конкретными значениями коэффициентов передачи и постоянных времени. Пусть , с, с, с. Тогда по полученным соотношениям при получим , , следовательно, система с такими параметрами будет неустойчивой. Ее граничный коэффициент передачи

.

Критерий Найквиста позволяет оценить устойчивость САУ, содержащих звенья чистого запаздывания.

Пусть звено чистого запаздывания с передаточной функцией (при единичном коэффициенте передачи) включено последовательно с системой без запаздывания с передаточной функцией .

Результирующие передаточная и частотная передаточная функции разомкнутой цепи будут иметь вид

, .

Поскольку , то

.

Таким образом, звено чистого запаздывания вносит лишь дополнительный фазовый сдвиг. При этом изменяется АФЧХ, т.е. меняются условия устойчивости (характеристика «закручивается» по часовой стрелке). При некотором система станет неустойчивой.

По АФЧХ системы без запаздывания можно определить граничное (предельное) значение запаздывания , что поясняется построением на рис. 4.11.

Пусть АФЧХ устойчивой САУ без запаздывания пересекает окружность единичного радиуса на частоте (как будет показано ниже, это частота среза) при повороте радиус-вектора АФЧХ на угол . При введении в САУ звена чистого запаздывания на границе устойчивости конец этого радиус-вектора совпадет с точкой и будет справедливым соотношение , отсюда

.

 

 

Рис. 4.11 — Определение граничного

запаздывания