Понятие передаточной функции

 

Целью рассмотрения САУ может быть решение одной из двух задач: задачи анализа или задачи синтеза. Но в любом случае порядок исследования систем включает в себя следующие этапы: математическое описание, исследование установившихся режимов, исследование переходных режимов.

Рассмотрим случай, когда в замкнутой системе можно выделить объект управления ОУ и управляющее устройство УУ, как это показано на рис. 2.2.

 

Рис. 2.2 — Замкнутая САУ с единичной обратной связью

 

Общее уравнение САУ получается из системы уравнений объекта и управляющего устройства.

Состояние объекта характеризуется выходной величиной , регулирующим воздействием и возмущением . Тогда выходная величина может быть представлена функцией:

Состояние управляющего устройства характеризуется регулирующим воздействием и входным воздействием . Процессы в УУ будут описываться двумя уравнениями:

Приведенные уравнения полностью описывают процессы в САУ. Если в них исключить переменные , то получим дифференциальное уравнение САУ:

(2.4)

Уравнение (2.4) описывает поведение системы во времени, определяет переходные процессы и обычно называется уравнением динамики.

Однако в форме дифференциальных уравнений математическое описание в теории автоматического управления обычно не применяется вследствие сложности решения таких уравнений.

Исследование САУ существенно упрощается при использовании прикладных математических методов операционного исчисления.

Возьмем некоторый элемент САУ, имеющий один вход и один выход. Если на его вход подать сигнал , то изменение выходного сигнала во времени будет описываться дифференциальным уравнением -й степени:

(2.5)

Пусть — изображения по Лапласу величин и . Тогда при нулевых начальных условиях, т.е. при и , в соответствии с теоремой о дифференцировании оригиналов [1, 2], получим

. (2.6)

С учетом (2.6) дифференциальное уравнение (2.5), содержащее функции и , при нулевых начальных условиях равносильно линейному алгебраическому уравнению, содержащему изображения этих функций и :

(2.7)

Таким образом, формально переход от дифференциального уравнения к алгебраическому относительно изображения при нулевых начальных условиях получается путем замены символов дифференцирования оригиналов функций соответственно на и функций — их изображениями . С комплексной переменной , как и с другими членами алгебраического уравнения, можно производить различные действия: умножение, деление, вынесение за скобки и т.д.

Каждый элемент САУ в общем случае описывается дифференциальным уравнением вида (2.5). Следовательно, при выводе дифференциального уравнения системы в целом необходимо совместно решить систему дифференциальных уравнений.

Преобразование Лапласа позволяет свести задачу решения системы дифференциальных уравнений высших порядков к решению системы алгебраических уравнений. Определив из алгебраических уравнений изображение искомой функции , находят эту функцию, пользуясь таблицами оригиналов и изображений или по известным формулам обратного преобразования Лапласа.

Преобразование дифференциального уравнения по Лапласу дает возможность ввести одно из фундаментальных понятий — понятие передаточной функции.

Из уравнения (2.7) определим отношение изображения выходной величины к изображению входной:

. (2.8)

Отношение изображения выходной величины элемента (или системы) к изображению его входной величины при нулевых начальных условиях называется передаточной функцией элемента (или системы).

Согласно (2.8) передаточная функция является дробно-рациональной функцией комплексной переменной :

где — полином степени , — полином степени , причем .

Из определения передаточной функции следует, что:

.

Передаточная функция является основной формой математического описания объектов в теории автоматического управления и так как она полностью определяет динамические свойства объекта, то первоначальная задача расчета САУ сводится к определению передаточной функции.

Рассмотрим примеры по определению передаточных функций некоторых простейших схем, характерных для электроники.

Пример 2.2

Вывести передаточную функцию для схемы на рис. 2.3, считая входным воздействием приложенное напряжение , а выходным — ток в цепи .

Процессы в схеме описываются уравнением

 

Перейдем к изображению по Лапласу:

Составим передаточную функцию как отношение изображения выходной величины к изображению входной величины:

где — коэффициент передачи, — постоянная времени.

Передаточные функции принято записывать в такой форме, чтобы свободные члены полиномов от равнялись бы единице, что и сделано как в рассмотренном примере, так и в последующих.

 

Пример 2.3

Вывести передаточную функцию схемы на рис. 2.4, считая входной величиной напряжение , а выходной — .

При выводе передаточной функции будем считать, что цепочка не нагружена (никаких элементов к выходным зажимам не подключено, либо эти элементы имеют сопротивление, стремящееся к бесконечности) и сопротивление источника входного напряжения настолько мало, что им можно пренебречь.

Система уравнений, описывающих процессы в устройстве, схема которого изображена на рис 2.4, имеет вид:

Подставив третье уравнение в первое, получим:

Перейдем к изображениям:

Передаточная функция

,

где — постоянная времени.

 

Пример 2.4

Вывести передаточную функцию схемы на рис. 2.5, считая входной величиной , выходной , при допущениях, сформулированных в примере 2.3.

Составляем два уравнения по второму закону Кирхгофа, одно уравнение по первому закону Кирхгофа и расписываем выходную величину:

Из второго и третьего уравнений соответственно получим:

Подставим полученные выражения и в первое и четвертое уравнения и запишем получившуюся систему в операторной форме:

Передаточная функция:

где — коэффициент передачи, , — постоянные времени.

Пример 2.5

Вывести передаточную функцию схемы на рис. 2.6, считая входной величиной , выходной , при допущениях, сформулированных в примере 2.3.

Рис. 2.6 — Схема к примеру 2.5

Система уравнений электрического равновесия схемы для мгновенных значений величин:

Последнее соотношение здесь, конечно, не уравнение, а обозначение выходной величины.

Уравнения в операторной форме:

Из второго уравнения

Подставим полученное значение в третье уравнение:

Последнее соотношение подставим в первое уравнение и определим передаточную функцию:

;

где — коэффициент передачи, , — постоянные времени.

 

Пример 2.6

Вывести передаточную функцию схемы на рис. 2.7, а, содержащей операционный усилитель.

Операционными усилителями называются усилители постоянного тока малой мощности, имеющие два входа — инвертирующий (–) и неинвертирующий (+). В настоящее время они выполняются по интегральной технологии, т.е. в виде микросхем, и характеризуются большими значениями коэффициента усиления () и входного сопротивления ().

Выведем вначале передаточную функцию для типового включения операционного усилителя, показанного на рис. 2.7, б, в общем виде.

Рис. 2.7 — К выводу передаточной функции устройства

на операционном усилителе

С учетом принятых допущений ( ) напряжение между неинвертирующим и инвертирующим входами операционного усилителя описывается выражением

.

Следовательно, напряжение на инвертирующем входе приближенно равно нулю, отсюда . Кроме того, учитывая, что , можно считать , следовательно, . Тогда выходное напряжение схемы может быть рассчитано по формуле

.

С учетом последней формулы можно легко получить выражение для передаточной функции устройства, схема которого приведена на рис. 2.7, б:

. (2.9)

Знак минус в выражении (2.9) указывает на то, что полярность выходного напряжения схемы противоположна полярности входного напряжения.

Из курса электротехники известно, что операторные сопротивления конденсатора и индуктивности рассчитываются по формулам

, .

Используя выражение для , для схемы, изображенной на рис. 2.7, а, получим:

, .

Подставляя полученные соотношения в формулу (2.9), получим выражение передаточной функции схемы, взятое со знаком минус:

где — коэффициент передачи, — постоянная времени.