Оптимизация ПИД-регулятора по заданному целевому функционалу

3.1. Основные требования к системе и математический аппарат

 

Типичная структурная схема замкнутой системы управления показана на рис. 5, где в прямоугольниках записаны частотные характеристики отдельных звеньев, а также применены типовые обозначения сигналов в системе.

Рис. 5. Расчетная структурная схема СУЛИ

 

А именно: y (t) – выходная величина объекта; v (t) – предписанное значение выходной величины; u (t) – управляющий сигнал, подаваемый регулятором на объект; h (t) – возмущение, действующее на объект, приведенное к единицам выходной величины; x (t) – состояние объекта, т.е. такое значение его выходной величины, которое было бы при отсутствии возмущения; e (t) – ошибка управления; n (t) – шум измерения выходной величины; z (t) – результат измерения выходной величины; q (t) – выходной сигнал датчика величины y (t). Кроме того, применяется традиционная замена строчных букв на прописные при замене функций времени на их операторное преобразование, например, – преобразование от сигнала v (t). Отметим, что преобразование Лапласа от константы есть 1/ s. Поскольку, как правило, сами операторные значения входных, выходных и промежуточных сигналов не используются для вычислений, а используются лишь их отношения, т. е. передаточные функции, то сложилась практика использования модифицированного преобразования, а именно Лапласа – Карсона, которое получается умножением на s, вследствие чего образ константы есть также константа. На значения передаточных функций это не влияет, поэтому мы будем использовать терминологию преобразований Лапласа.

Структурная схема рис. 5 – графическое отображение взаимосвязей сигналов, которое может быть заменено следующей системой уравнений:

E(s) = V(s) – Q(s); U(s) = W ₁ (s)E(s); X(s) = W ₂ (s)U(s);

Y(s) = X(s) + H(s); Z(s) = Y(s) + N(s); Q(s) = W ₃ (s)Z(s).

При решении этой системы относительно любой из величин внутри контура (например, зависимость Y от V, N и H)в результате неизбежно появляется рациональная дробь от передаточных функций (читателям предлагается сделать соответствующий вывод самостоятельно).

Если же знаменатель этой дроби 1 + W ₁(s) W ₂(s) W ₃(s)обращается в ноль, то вся дробь обращается в бесконечную величину. Это означает, что любые сколь угодно малые входные сигналы вызывают «сколь угодно большие» выходные сигналы, а с учетом поправки на физическую реализуемость это означает, что система вместо того, чтобы находиться в равновесном состоянии, движется к максимально возможному отклонению от него или совершает колебательные движения с максимально достижимой амплитудой.

Для предотвращения этой ситуации как раз и требуется регулятор, расчету которого посвящено данное пособие.

Для исследования устойчивости системы необходимо исследовать взаимосвязь динамических моделей элементов, входящих в систему. Действительно, если две различные системы описываются идентичными математическими моделями, то и их выходные сигналы должны быть одинаковыми при совпадении входных сигналов. Программное обеспечение VisSim позволяет реализовать математические модели подавляющего большинства известных динамических звеньев, а также осуществить соответствующие связи сигналов с выходов на входы и сформировать необходимые входные сигналы. Поэтому запуск имитационного моделирования обеспечивает получение графиков переходных процессов, идентичных реальным сигналам в реальной системе при условии полного соответствия всех математических моделей своим прототипам – элементам реальной системы.

Наиболее часто встречаются в качестве элементов модели линейные динамические звенья, описываемые рациональными передаточными функциями от s.

Требования к физической реализуемости модели

 

Все элементы системы должны быть физически реализуемы. Это условие формально требует, чтобы степень числителя была меньше степени знаменателя. Действительно, следует учесть, что аргумент s представляет собой некий аналог частоты. С ростом частоты передаточная функция отдельных элементов не обязательно ниспадает, но если продлить этот рост частот достаточно далеко, то передаточная функция любого реального объекта непременно ниспадет до сколь угодно малых величин. Мало того: для любого объекта всегда можно указать такие частоты, на которых передаточная функция не просто мала, а отклик объекта на этих частотах строго отсутствует (либо намного меньше шумов его измерения).

Частотные характеристики, как правило, представляют в логарифмическом масштабе, поэтому на графике достаточно быстро достигается «практическая бесконечность», т. е. очень большие значения частоты и значения передаточной функции, как и «практический нуль», т. е. очень маленькие значения этих величин. На логарифмических графиках наглядно видны значения частот, во много раз превышающих область частот пропускания объекта. Таким образом, правая часть логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) любого реализуемого звена должна на графике ниспадать вниз, чем правее, тем ниже. Это достигается только при условии, что знаменатель указанной дробной передаточной функции больше, чем числитель.

Иногда в отношении отдельных звеньев этим требованием пренебрегают, поскольку полоса пропускания этих звеньев может оказаться существенно шире полосы пропускания объекта. Так, затуханием отдельных элементов можно пренебречь в сравнении с затуханием других звеньев, входящих в тот же контур. Если же какое-либо звено является единственным звеном рассматриваемого контура, то в этом контуре нет других более инерционных звеньев, в сравнении с которыми можно было бы пренебречь затуханием данного элемента. В этом случае указанный элемент недопустимо описывать безынерционным звеном.

Даже ограничиваться рассмотрением лишь отличием степени знаменателя от степени числителя также недостаточно для адекватного анализа устойчивости любого реального контура с отрицательной обратной связи. Однако если в контуре присутствует элемент запаздывания и если достоверно известно, что влияние следующей постоянной времени модели на фазо-частотную характеристику (ФЧХ) существенно меньше, допускается ограничивать рассмотрение динамической части объекта элементами первого порядка.

3.3. Формализация требований к системе: целевая функция

 

Целевая функция может быть сформирована, например, следующим образом:

.

Это – положительно определенная функция, то есть она не может быть отрицательной ни при каких значениях ее аргументов. Требуется найти такие значения коэффициентов регулятора, при которых целевая функция достигает минимального значения. Поскольку ошибка в системе зависит от коэффициентов регулятора, то и вся целевая функция будет зависеть от этих коэффициентов. Решение этой задачи называется оптимумом, в нашем случае – минимум. Следует различать локальные и глобальный минимумы. Локальные минимумы – это такие решения, при которых небольшие изменения любого параметра вызывают рост целевой функции, однако, это не относится к любым изменениям этих параметров. Глобальный минимум может быть лишь один – это такое решение, которое обеспечивает наименьшее значение целевой функции для всех параметров из области их допустимых значений.

Могут быть применены различные алгоритмы поиска минимума. Правильность выбора метода оптимизации зависит от свойств задачи: наилучший метод для одной задачи может оказаться наихудшим или вовсе неприменимым для другой задачи.

Можно разбить методы оптимизации на следующие виды:

1. Итеративный поиск.

2. Случайный перебор.

3. Систематический перебор.

4. Генетические алгоритмы.

Итеративный поиск эффективен в том случае, если целевая функция плавно изменяется при плавном изменении ее аргументов. Гладкость предполагает, что небольшое приращение любого аргумента дает небольшое приращение функции. В этом случае можно предполагать, что в точках максимума или минимума целевой функции приращение любого аргумента в любом направлении дает приращение целевой функции только в одном направлении, а именно: в случае максимума целевая функция уменьшается при любом приращении аргумента, а в случае минимума – увеличивается. Во всех остальных точках малое положительное приращение какого-либо из аргументов дает малое приращение величины целевой функции одного знака, а малое отрицательное приращение этого же аргумента даст малое приращение противоположного знака.

Поэтому итеративные процедуры осуществляют изменения всех аргументов (поочередно или совместно) до тех пор, пока не будет достигнута такая ситуация, при которой любое приращение любого из аргументов вызовет лишь увеличение целевой функции. Это будет означать достижение, по меньшей мене, локального минимума. Проверка на глобальность этого минимума, то есть на наличие других минимумов, необходима, поскольку могут существовать несколько минимумов.

Для того чтобы можно было применять итеративный поиск, требуется обеспечить специальные свойства целевой функции. В частности, она должна быть гладкой. Если это не так, то итеративный метод не даст результата, поскольку в этом случае результат приращения целевой функции при каком-либо малом приращении аргумента никаким образом не связан с результатом приращения этой целевой функции ни при каком ином сколь угодно малом приращении этого же аргумента. Для такой ситуации может быть применен лишь случайный или систематический перебор.

Систематический перебор предполагает решение задачи для всех возможных сочетаний всех параметров объекта. Эта процедура чрезвычайно громоздка для любой практической задачи, поэтому затруднительно указать случаи целесообразности ее применения.

Случайный перебор отличается от систематического лишь тем, что выбор параметров регулятора осуществляется не по какому-либо наперед заданному закону и не с целью перебора всех возможных вариантов, а случайным или псевдослучайным образом. Этот метод позволяет сократить процедуру настройки регулятора в предположении, что в достаточной степени удовлетворительный (хотя и далеко не оптимальный) результат может выпасть значительно раньше, чем будут исследованы все возможные сочетания всех параметров. Это позволит прекратить дальнейший поиск, выбрав это решение. Этот метод напоминает попытку угадать счастливое число в казино, поэтому он получил название метода Монте-Карло (по названию столицы игорного бизнеса). Именно такой метод применяется при «оптимизации» регуляторов в программе Simulink. Хотя результат такого численного поиска зачастую вполне удовлетворительный, строго говоря, этот результат не является результатом оптимизации, поскольку невозможно исключить, что могут быть найдены лучшие решения, дающие меньшее значение целевой функции. Все же следует признать, что этот метод – единственный приемлемый метод для случая отсутствия какой-либо гладкой зависимости между изменениями аргументов и изменениями самой функции.

Применительно к задаче численной оптимизации регулятора ситуация далеко не столь бесперспективна: целевая функция, как правило, всегда является гладкой, и производная этой целевой функции по любому параметру может указать на то направление изменения этого параметра, которое ведет к минимуму целевой функции.

Действительно, если производная положительна, то положительное приращение параметра увеличивает функцию. Следовательно, необходимо уменьшать этот параметр. Если производная отрицательна, следует этот параметр увеличивать, а если она равна нулю, данная точка находится на минимуме при фиксированных значениях остальных параметров, и, следовательно, как минимум, эта точка находится в «ложбине», которая ведет к минимуму. Дальнейшее изменение этого параметра целесообразно делать лишь совместно с изменениями других параметров. Если частные производные целевой функции по всем параметрам равны нулю, данная точка может оказаться минимумом. Специальные случаи, когда это не так, могут быть учтены процедурой поиска, в итоге которого должна быть найдена точка, в которой любые линейные комбинации любых малых приращений любых параметров порождают лишь увеличение целевой функции.