Дифференцирующее (идеальное) звено

 

Уравнение и передаточная функция звена:

Выходная величина пропорциональна скорости изменения входной величины.

Если входная и выходная величины имеют одинаковую размерность, то коэффициент измеряется в секундах. В этом случае его принято обозначать через и называть постоянной времени дифференцирующего звена.

Выражения для основных функций:

Как передаточная функция, так соответственно и частотные характеристики дифференцирующего звена являются обратными передаточной функции и соответствующим характеристикам интегрирующего звена.

Логарифмические частотные характеристики рассматриваемого звена приведены на рис. 3.2, а.

 

Рис. 3.2 — Частотные характеристики дифференцирующего

звена (а) и его реализация на операционном усилителе (б)

 

При построении ЛАЧХ удобно отложить точку с координатами , провести через нее прямую с наклоном плюс 20 дБ/дек, затем отложить на оси отрезок (поскольку, как правило, точка будет находиться ниже оси ) и провести параллельную прямую.

О том, что звено с представленным математическим описанием является идеальным, говорит, к примеру, переходная функция. Ни в каком реальном устройстве невозможно получить мгновенный скачек выходной величины бесконечной амплитуды.

Реальные дифференцирующие звенья обладают конечной инерционностью, вследствие чего осуществляемое ими дифференцирование не является точным. На рис. 3.2, б изображен вариант реализации дифференцирующего звена на операционном усилителе с конденсатором во входной цепи и резистором в цепи обратной связи. Тогда

, ,

.

Неидеальность реализации звена определена напряжением питания усилителя, его выходное напряжение будет конечной величиной.

 

3.2.1.4 Инерционное звено (апериодическое звено первого порядка)

 

Описывается дифференциальным уравнением

Перейдя к изображениям, получим:

.

Передаточные и частотные функции:

На рис. 3.3 приведены основные частотные характеристики инерционного звена. Годограф АФЧХ (рис. 3.3, а) имеет вид полуокружности радиуса с центром в точке , расположенной в четвертом квадранте комплексной плоскости. АЧХ (рис. 3.3, б) монотонно уменьшается с ростом частоты, начиная со значения , по обратно квадратичной зависимости.

 

Рис. 3.3 — Частотные характеристики инерционного звена

 

ЛАЧХ звена показана на рис. 3.3, в. Но эта же характеристика может быть представлена приближенно ломаной линией, которая показана на том же рисунке. Эта приближенная характеристика называется асимптотической ЛАЧХ. Такое название связано с тем, что эта характеристика составлена из двух асимптот, к которым стремится ЛАЧХ при w ® 0 и w ® ¥.

При малых значениях w можно считать , то есть , следовательно, Соответственно характеристика представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс и проходящую на уровне . Это первая асимптота, к которой стремится ЛАЧХ при w ® 0.

С другой стороны, на больших частотах

В этом случае характеристика представляет собой прямую, имеющую наклон минус 20 дБ/дек. Действительно, при увеличении w на декаду, т.е. в 10 раз,

Таким образом, величина уменьшилась на 20 lg10, т.е. на 20 дБ. Эта линия является асимптотой, к которой стремится ЛАЧХ при w ® ¥. Обе асимптоты пересекаются в точке, соответствующей частоте Поэтому эта частота называется частотой сопряжения (сопрягающей частотой).

Максимальное расхождение между точной () и асимптотической () ЛАЧХ наблюдается при частоте сопряжения. Вычислим это расхождение, подставив в соотношения для и значения частоты сопряжения :

дБ.

От параметров звена рассматриваемая величина не зависит.

На этом же рисунке показана ЛФЧХ: при w ® ¥ значение j изменяется от 0 до минус . При этом в точке имеем .

Переходная функция инерционного звена может быть выведена по формуле (2.14). Если , то , , . Передаточная функция имеет один полюс . Тогда по формуле (2.14) получим

,

а импульсная переходная функция

Переходная и импульсная переходная характеристики представлены на рис. 3.4, а, б.

 

Рис. 3.4 — Временные характеристики инерционного звена (а, б)

и его реализация на операционном усилителе (в)

 

Динамические свойства звена характеризуются постоянной времени . Постоянная времени может быть определена как время, в течение которого выходная величина достигла бы своего нового установившегося значения, если бы она изменялась с постоянной скоростью, равной скорости изменения ее в начальный момент времени (см. рис. 3.4, а). Коэффициент передачи определяет свойства звена в установившемся режиме.

В рассмотренных выше примерах по определению передаточных функций схемы на рис. 2.3, 2.4, 2.7, а являются инерционными (апериодическими) звеньями. Реализация этого звена на операционном усилителе приведена на рис. 3.4, в. Действительно, если

,

то ,

где .

 

Пример 3.1

Асимптотическая ЛАЧХ апериодического звена имеет частоту среза . Частотой среза называется частота, при которой ЛАЧХ пересекает ось частот, т.е. . Это означает, что частотный коэффициент передачи устройства или системы равен единице и при происходит усиление выходного сигнала, а при – его ослабление. Коэффициент передачи звена . Требуется определить постоянную времени .

Нужно на графике или мысленно провести из точки на оси частот прямую с наклоном минус 20 дБ/дек до пересечения с горизонталью, проведенной на уровне . Координата точки пересечения по оси частот даст логарифм сопрягающей частоты , отсюда и с.

 

Форсирующее звено

Часто в литературе это звено именуется как пропорционально-дифференцирующее. Выходная величина этого звена пропорциональна входной и производной от входной величины. Передаточная функция и основные частотные функции:

Звено характеризуется двумя параметрами — коэффициентом передачи и постоянной дифференцирования .

На рис. 3.5, а — в приведены частотные характеристики форсирующего звена, они являются обратными характеристикам инерционного звена. АФЧХ (рис. 3.5, а) имеет вид вертикальной прямой, расположенной в первом квадранте комплексной плоскости на расстоянии от начала координат. АЧХ (рис. 3.5, б) монотонно возрастает с ростом частоты, начиная со значения . Низкочастотные асимптоты ЛАЧХ форсирующего (рис. 3.5, в) и инерционного звеньев совпадают, но высокочастотная асимптота ЛАЧХ форсирующего звена имеет наклон плюс 20 дБ/дек. Частота сопряжения равна . ЛФЧХ форсирующего звена точно такая же, как и у инерционного, только фаза имеет положительные значения.

На рис. 3.5, г приведена схемная реализация форсирующего звена на операционном усилителе (на пассивных четырехполюсниках это звено не реализуется). Поскольку в схеме

,

то ,

где .

 

 

Рис. 3.5 — Частотные характеристики форсирующего звена (а — в)

и его реализация на операционном усилителе (г)

Переходная характеристика форсирующего звена , т.е. равна сумме переходных характеристик дифференцирующего и пропорционального звеньев. В начальный момент времени она имеет скачок бесконечной амплитуды, как и у идеального дифференцирующего звена, а далее проходит горизонтально, как и у пропорционального звена.

Остальные звенья первого порядка образованы путем последовательного соединения рассмотренных звеньев, и их относят к типовым ввиду широкого применения в САУ.