Кафедра промышленной электроники (ПРЭ)

 

 

Б.И. Коновалов, Ю.М. Лебедев

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

 

Учебное пособие

 

 

Рецензенты: доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой «Электропривод и автоматизация промышленных установок» политехнического института ФГПУ ВПО «Сибирский федеральный университет» Иванчура В.И.;

доктор технических наук, профессор кафедры

«Электропривод и электрооборудование»

Томского политехнического университета

Аристов А.В.

Корректор: Осипова Е.А.

Коновалов Б.И., Лебедев Ю.М.

Теория автоматического управления: Учебное методическое пособие. — Томск: Факультет дистанционного обучения, ТУСУР, 2010. — 162 с.

 

Учебное пособие соответствует программе семестрового курса лекций по теории линейных систем автоматического управления. Содержит основные понятия, передаточные функции, частотные и временные характеристики различных звеньев и систем автоматического управления.

Исследуется устойчивость непрерывных и импульсных систем, производится оценка качества переходных и установившихся режимов работы этих систем. Рассмотрены методы синтеза последовательных корректирующих устройств.

Предназначено для студентов всех форм обучения.

 

Ó Коновалов Б.И.,

Лебедев Ю.М., 2010

Ó Факультет дистанционного

обучения, ТУСУР, 2010

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение. 5

1 Классификация САУ.. 9

2 Математическое описание линейных непрерывных САУ 17

2.1 Линеаризация статических характеристик и дифференциальных уравнений 17

2.2 Понятие передаточной функции. 20

2.3 Частотные функции и характеристики. 30

2.4 Временные функции и характеристики. 34

2.5 Структурные схемы и их преобразование. 38

3 Типовые звенья САУ.. 44

3.1 Понятие типового звена. Классификация типовых динамических звеньев САУ 44

3.2 Минимально-фазовые звенья. 45

3.2.1 Звенья первого порядка. 45

3.2.1.1 Пропорциональное (безынерционное) звено. 45

3.2.1.2 Интегрирующее (идеальное) звено. 46

3.2.1.3 Дифференцирующее (идеальное) звено. 48

3.2.1.4 Инерционное звено (апериодическое звено первого порядка) 50

3.2.1.5 Форсирующее звено. 55

3.2.1.6 Инерционное форсирующее звено. 57

3.2.1.7 Изодромное звено. 60

3.2.1.8 Реальное дифференцирующее звено. 62

3.2.2 Звенья второго порядка. 63

3.2.2.1 Апериодическое звено второго порядка. 64

3.2.2.2 Колебательное звено. 66

3.2.2.3 Консервативное звено. 72

3.3 Особые звенья линейных САУ.. 74

3.3.1 Неминимально-фазовые звенья. 74

3.3.2 Звено чистого запаздывания. 78

4 Устойчивость САУ.. 80

4.1 Передаточные функции линейных непрерывных САУ.. 80

4.2 Понятие устойчивости линейных непрерывных САУ.. 82

4.3 Критерий устойчивости Гурвица. 84

4.4 Критерий устойчивости Михайлова. 92

4.5 Критерий устойчивости Найквиста. 102

4.6 Оценка устойчивости САУ по логарифмическим частотным характеристикам. Запасы устойчивости. 108

4.7 Частотные характеристики разомкнутых систем.. 112

5 Оценка качества управления. 117

5.1 Показатели качества управления в статическом режиме работы САУ. Статические и астатические системы 117

5.2 Показатели качества в динамических режимах работы САУ 127

5.3 Косвенные методы оценки качества переходного процесса 128

5.3.1 Частотные критерии оценки качества. 129

5.3.2 Корневые критерии оценки качества. 135

5.3.3 Интегральные критерии качества. 137

6 Коррекция САУ.. 138

6.1 Понятие коррекции. Способы коррекции САУ.. 138

6.2 Синтез последовательных корректирующих устройств 146

6.3 Оптимальные характеристики САУ. Настройка систем на технический и симметричный оптимумы.. 152

Литература. 161

Введение

Если речь идет об управлении, то подразумевается, что имеется объект управления, т.е. некий механизм, агрегат или устройство, некий технологический, энергетический или транспортный процесс, желаемое поведение или протекание которого должно быть обеспечено.

Поведение объекта управления, результат его действия определяется некоторыми показателями. Чаще всего ими являются значения каких-то физических величин, которые называют выходными величинами или выходными координатами объекта управления.

В реальных условиях на каждое устройство или процесс многочисленные воздействия оказывает внешняя среда. Все воздействия, с точки зрения их влияния на действие объекта на его выходные величины, разделяются на две принципиально отличительные группы. Некоторые из воздействий обеспечивают желаемое изменение поведения объекта, достижение поставленных целей. Такие воздействия называют управляющими, при их отсутствии задача управления вообще не имеет решения. Другие воздействия, напротив, мешают достижению цели, и изменить их, как правило, невозможно. Такие воздействия называют возмущающими (или, просто, возмущениями).

Задача управления, по существу, заключается в формировании такого закона изменения управляющих воздействий, при котором достигается желаемое поведение объекта независимо от наличия возмущений.

Сложная и разносторонняя задача управления включает более узкую задачу регулирования, которую главным образом и будем рассматривать в дальнейшем. Задача регулирования заключается в поддержании выходных величин объекта равными (или пропорциональными) некоторым эталонным функциям времени — задающим воздействиям. Последние могут быть постоянными или изменяющимися как по заданному, так и по заранее неизвестному закону.

Объект управления может принадлежать как к неживой природе, в частности быть техническим устройством, так и к живой природе (коллектив людей). В свою очередь, само управление также может осуществляться как человеком (пилот управляет самолетом), так и техническим устройством (самолетом управляет автопилот).

Управление, осуществляемое без участия человека, называется автоматическим управлением. Предметом настоящей дисциплины является теория автоматического управления техническими объектами. Общая теория управления, охватывающая как неживую, так и живую природу, является предметом науки кибернетики. Теория автоматического управления — часть кибернетики.

Для осуществления автоматического управления создается система, состоящая из объекта управления и управляющего устройства, или регулятора. Такая система соответственно называется системой автоматического управления.

Впервые, по-видимому, с необходимостью построения регуляторов столкнулись создатели высокоточных механизмов, в первую очередь — часов. Даже небольшие, но все время действующие в них помехи приводили в конечном итоге к отклонениям от нормального хода, недопустимым по условиям точности. Противодействовать этим помехам (возмущениям) чисто конструктивными средствами, например улучшая обработку деталей, повышая их массу или увеличивая развиваемые устройствами полезные усилия, не удавалось, и для решения проблемы точности в состав системы стали вводить регуляторы. На рубеже нашей эры арабы снабдили поплавковым регулятором уровня водяные часы. Гюйгенс в 1657 г. встроил в часы маятниковый регулятор хода.

Хотя отдельные автоматические регуляторы и появились в те далекие времена, они оставались любопытными для истории техники эпизодами и сколько-нибудь серьезного влияния на формирование техники и теории автоматического регулирования не оказали. Развитие промышленных регуляторов началось на рубеже XVIII и XIX столетий, в эпоху промышленного переворота в Европе. Первыми промышленными регуляторами являются автоматический поплавковый регулятор питания котла паровой машины, построенный в 1765 г. И.И. Ползуновым, и центробежный регулятор скорости паровой машины, на который в 1784 г. получил патент Дж. Уатт. Эти регуляторы как бы открыли путь потоку предложений по принципам регулирования и изобретений регуляторов, относящимся к механике.

Первые публикации исследований в этой области начинаются с 30-х годов позапрошлого века (первая известная публикация Д.С. Чижова была в 1823 г.). Наиболее важными, признанными фундаментальными явились три теоретические работы, содержащие основы новой науки. Это работы Д.К. Максвелла «О регуляторах» (1866) и работы И.А. Вышнеградского «Об общей теории регуляторов» (1876) и «О регуляторах прямого действия» (1877). Д.К. Максвелл и И.А. Вышнеградский рассмотрели машину (т.е. объект) и регулятор как единую динамическую систему, обосновали общий методологический подход к исследованию самых разнородных по физике и конструкции систем, заложили основы теории устойчивости, установили ряд важных общих закономерностей регулирования по принципу обратной связи.

Крупный вклад в теорию регулирования внесен Н.Е. Жуковским, автором труда «О прочности движения» и первого учебника «Теория регулирования хода машин» (1909).

В первые десятилетия XX в. теория автоматического управления, вышедшая из рамок прикладной механики, формируется как общетехническая дисциплина. В этот период появляется целый ряд работ, рассматривающих приложение теории и распространяющих ее выводы на самые разнообразные технические процессы: на регулирование электрических машин и систем; двигателей внутреннего сгорания; тепловых и паросиловых устройств; турбин; различных производственных процессов. В 1932 г. появляется работа Х. Найквиста, в которой предлагается критерий устойчивости радиотехнических усилителей с обратной связью.

Исключительно интенсивным и многогранным было развитие теории автоматического управления в послевоенный период. Это обусловлено в первую очередь развитием военной и космической техники, бурным прогрессом вычислительной техники и электроники. В настоящее время буквально все окружающие нас технические устройства содержат в своем составе то или иное число автоматических регуляторов. Ограничиваясь для примера бытовой электроникой, перечислим лишь некоторые характерные термины: автоматическая регулировка усиления; автоподстройка частоты; стабилизация напряжения и т.д.

Системы автоматического управления (САУ) различной физической природы и совершенно различного функционального назначения могут иметь одинаковое математическое описание, то есть описываться одинаковыми уравнениями (отличаться будут лишь размерности величин). Но в САУ с одинаковым математическим описанием и процессы при управлении будут протекать одинаково, хотя действовать в них будут различные физические величины. Какие процессы могут происходить при управлении?

Во-первых, в результате приложения конечного по величине воздействия САУ должна перейти из одного равновесного состояния в другое (в противном случае она будет неустойчивой).

Во-вторых, переход из одного состояния в новое осуществляется за некоторое определенное время, на протяжении которого величина (или величины), характеризующая состояние САУ, изменяется по какому-либо закону.

В-третьих, переход САУ в новое равновесное состояние осуществляется с какой-либо точностью.

Эти вопросы, а также влияние на процесс управления отдельных параметров САУ и изучаются в настоящей дисциплине. Необходимо отметить, что составление математического описания отдельных элементов или систем в целом может быть произведено лишь на основе четкого понимания физических процессов, протекающих в этих объектах и алгоритмах их функционирования. Поэтому задача получения исходного математического описания относится к предмету специальных дисциплин, в которых эти элементы изучаются. Возможность успешного изучения настоящей дисциплины основывается, в первую очередь, на знании высшей математики, теоретических основ электротехники и других дисциплин.

 

 

Классификация САУ

Для ознакомления с основными видами САУ и соответствующей терминологией рассмотрим классификацию систем по ряду существенных с позиции теории автоматического управления признаков.

В общем виде САУ с одной выходной координатой, одним задающим и одним возмущающим воздействиями представлена на рис. 1.1, на котором обозначено: ОУ — объект управления; УУ — управляющее устройство (регулятор); — выходная величина, характеризующая состояние объекта; — регулирующее воздействие; — задающее воздействие; — возмущающее воздействие.

На вход УУ, помимо задающего воздействия, поступает информация о возмущающем воздействии и о текущем реальном значении выходной величины. В соответствии с этим УУ полученную информацию преобразует и формирует регулирующее воздействие.

В частных случаях САУ могут иметь не все представленные связи.

В зависимости от наличия связей, внутреннего содержания УУ и ОУ, характера воздействий и назначения САУ последние можно классифицировать по следующим признакам.

По принципу управления различают разомкнутые, замкнутые и комбинированные САУ.

В разомкнутых САУ выходная величина объекта не измеряется, то есть нет контроля за состоянием объекта. Разомкнутыми они называются потому, что в них отсутствует связь между выходом объекта и входом управляющего устройства.

Возможны варианты, в которых УУ измеряет только задающее воздействие либо задающее и возмущающее воздействие . В первом варианте принято говорить, что управление осуществляется по задающему воздействию, во втором — по возмущающему.

При реализации управления по задающему воздействию команды путем изменения приводят к соответствующим изменениям выходной величины . Точность соответствия и определяется стабильностью параметров УУ и ОУ, а также величиной возмущения.

В САУ с управлением по возмущающему воздействию (такие САУ называют еще системами, реализующими принцип управления по возмущению) регулирующее воздействие формируется таким, чтобы скомпенсировать отклонение выходной величины , вызванное измеряемым возмущением F. Для повышения точности необходимо учитывать все возможные возмущения. Практически большинство возмущений трудно измерить и преобразовать в нужный тип сигнала. Кроме того, измерение нескольких возмущений усложняет схему САУ.

В замкнутых САУ на вход УУ подаются задающее воздействие и выходная величина объекта . Исходя из величины , управляющее устройство определяет соответствующее требуемое значение и, имея информацию о текущем значении , обеспечивает необходимое соответствие между и путем воздействия на объект. В такой САУ управляющее устройство стремится ликвидировать все отклонения от предписанного независимо от причин, вызывающих эти отклонения, включая любые возмущения и внутренние помехи.

Системы такого типа представляют собой замкнутый контур, образованный ОУ и УУ. Управляющее устройство создает обратную связь вокруг объекта, связывая его выход со входом. Замкнутые САУ называют поэтому еще системами с обратной связью или системами, реализующими принцип управления по отклонению. Именно системы с обратной связью представляют основной тип САУ.

При использовании в одной системе принципов управления по отклонению и по возмущению получают комбинированную САУ. В этом случае повышается качество управления, так как увеличивается информация о состоянии объекта и внешней среды.

Проиллюстрируем (на качественном уровне, без количественной оценки) преимущества замкнутой САУ над разомкнутой по задающему воздействию на примере генератора постоянного тока, управляемого по цепи возбуждения. Схема разомкнутой системы приведена на рис.1.2.

 

 

Рис. 1.2 — Электрическая схема разомкнутой САУ

 

Предположим, что обеспечено вращение вала генератора Г с неизменной угловой скоростью , генератор работает на линейном участке кривой намагничивания, функциональный усилитель У обеспечивает линейную зависимость тока возбуждения от задающего напряжения .

Управлять выходной величиной — напряжением , прикладываемым к сопротивлению нагрузки , можно, изменяя величину путем передвижения движка потенциометра .

В качестве возмущающего воздействия рассмотрим изменение величины нагрузки, т.е. тока .

По второму закону Кирхгофа

,

где — ЭДС генератора, — внутреннее сопротивление генератора.

Если ток нагрузки изменяется от 0 до какого-то максимального значения , то изменение выходного напряжения при этом составит величину (при условии, что )

.

Если мощность генератора соответствует мощности нагрузки, то относительно составляет величину, которой нельзя пренебречь, в результате относительно Е является величиной существенной, т.е. изменение нагрузки при неизменном задающем воздействии значительно влияет на выходное напряжение.

Замкнем обратную связь, т.е. подадим часть выходного напряжения, снимаемого с резистора делителя напряжения на резисторах и и обозначенного , на вход усилителя У, как показано на рис. 1.3. Причем полярность напряжений должна быть такой, как показано на рис. 1.3 без скобок.

 

Рис. 1.3 — Электрическая схема замкнутой САУ

 

Пусть эта схема находилась в каком-то исходном установившемся состоянии, при котором , , , , .

Предположим, что в схеме произошло возмущение — скачком увеличилось сопротивление нагрузки и, следовательно, уменьшился ток . Как схема отреагирует на это возмущение?

Вначале напряжение увеличится, так как уменьшится падение напряжения на внутреннем сопротивлении генератора. Следовательно, увеличится , уменьшится ( осталось неизменным), пропорционально уменьшится , уменьшится , уменьшится и выходное напряжение . Указанные процессы будут происходить не мгновенно, а за какое-то конечное время, по истечении которого выходное напряжение с какой-то точностью вернется к исходному значению. Если бы произошло не уменьшение, а увеличение тока нагрузки, то все величины изменялись бы в противоположную сторону.

В рассмотренной схеме изменение тока нагрузки (возмущающего воздействия) уже не приводит к значительному изменению выходного напряжения.

Но рассмотрим еще один аспект: как бы работала схема, если бы генератор подключили с противоположной полярностью (указана на рис. 1.3 в скобках).

При увеличении и уменьшении вначале увеличится, как и в предыдущем случае. Увеличится и , но теперь , таким образом, увеличится , увеличатся и , следовательно, еще больше увеличится . Таким образом, вызванное на начальном этапе после возмущения увеличение приводит к увеличению , которое в свою очередь увеличивает , и т.д. Схема стала неработоспособной (в первом случае обратная связь была отрицательной, во втором — положительной).

Одна из задач теории автоматического управления — дать точную количественную оценку всем рассмотренным в настоящем примере явлениям.

По идеализации математического описания УУ и ОУ различают линейные и нелинейные САУ.

Линейной называется система, которая описывается только линейными уравнениями. Чтобы система была нелинейной, достаточно иметь в ее составе хотя бы одно нелинейное звено, описываемое нелинейными уравнениями.

Для линейных САУ применим принцип суперпозиции: реакция системы на любую комбинацию внешних воздействий равна сумме реакций на каждое из этих воздействий, поданных на систему порознь.

Необходимо отметить, что реальные линейные системы являются таковыми лишь в определенном диапазоне изменения воздействий. Если не ограничивать диапазон изменения воздействий, то любая САУ становится нелинейной.

По характеру сигналов в УУ различают системы непрерывного, дискретного действия и САУ с гармоническим модулированным сигналом.

Непрерывная система состоит из звеньев, выходная величина которых изменяется плавно (без скачков) при плавном изменении входного воздействия. Дискретная САУ должна содержать хотя бы одно звено дискретного действия, т.е. звено, в котором сигнал имеет прерывистый характер при плавном изменении входной величины. САУ с гармоническим модулированным сигналом содержит элементы, в которых входной и выходной величиной является переменное напряжение (или ток) частоты , называемой несущей частотой. При подаче на вход этого элемента напряжение (или ток) модулируется, т.е. его амплитуда и фаза изменяются соответственно величине и знаку подаваемого воздействия.

По характеру параметров различают стационарные, нестационарные системы и САУ с распределенными параметрами.

Стационарной называется система, все параметры которой не изменяются во времени. Нестационарная система — это система с переменными во времени параметрами. При математическом описании такой системы некоторые коэффициенты являются функциями времени. В САУ с распределенными параметрами процессы описываются уравнениями в частных производных.

По количеству регулируемых величин различают одномерные и многомерные САУ.

В одномерных системах регулируется только одна величина. Если регулируемых величин две и более, то САУ — многомерная.

Пример одномерной системы — источник питания постоянного тока (выходная координата одна — среднее значение напряжения), двухмерной — источник питания переменного тока (выходных координат две — частота и эффективное значение напряжения), трехмерной — радиолокационная станция слежения за летательными аппаратами (выходных координат три — дальность, угол места, азимут).

По цели управления различают системы стабилизации, программного управления и следящие.

Системы стабилизации характеризуются неизменностью задающего воздействия. Задача таких систем — поддержание с допустимой ошибкой выходной величины при наличии возмущающих воздействий.

Системы программного управления отличаются тем, что задающее воздействие изменяется по заранее установленному закону.

В следящих системах задающее воздействие также является величиной переменной, но заранее закон его изменения неизвестен. Источником сигнала является внешнее явление.

Таким образом, для систем стабилизации , для следящих систем и систем программного управления , причем в САУ с программным управлением задающее воздействие — детерминированная величина, а в следящих системах — случайная.

Помимо рассмотренных, системы могут быть оптимальными и неоптимальными (обыкновенными).

В оптимальных системах должно обеспечиваться оптимальное значение какого-либо из параметров функционирования. Но так как связь между отдельными параметрами обычно противоречивая, то на остальные параметры накладывается ограничение (значение их должно быть не хуже заданного уровня). В обыкновенных системах указанная задача оптимизации не ставится.

В завершение вводного раздела введем понятие функциональной схемы (не путать со схемой электрической функциональной!), принятое в теории автоматического управления. При составлении функциональной схемы система разбивается на такие устройства, каждое из которых несет законченное функциональное назначение (при этом сложность каждого из таких устройств значения не имеет). Выделенные таким образом устройства на функциональной схеме соединяются линиями связи с указанием направления распространения сигналов.

Какими бы ни были системы автоматического управления (хотя бы в соответствии с представленной здесь классификацией, физическим принципом действия, областью применения и т.д.), они в целом имеют одну и ту же функциональную схему, но только некоторые элементы могут отсутствовать или, наоборот, повторяться. Такая обобщенная функциональная схема представлена на рис. 1.4. Здесь обозначено:

1 — задающее устройство, формирующее задающее воздействие ;

2 — сумматор (сектор круга зачерняется, если подходящий к нему сигнал имеет знак «минус», например реализуется отрицательная обратная связь);

3 — последовательное корректирующее устройство;

4 — усилитель;

5 — исполнительный элемент;

6 — объект управления;

7 — местная обратная связь (параллельное корректирующее устройство);

8 — главная обратная связь.

 

 

Рис. 1.4 — Пример функциональной схемы САУ