Частотные функции и характеристики

Если на вход линейной непрерывной системы (или отдельного звена) подать синусоидальные (гармонические) колебания с постоянными амплитудой и частотой , то после затухания переходных процессов на выходе также возникают синусоидальные колебания той же частоты, но другой амплитуды и сдвинутые по фазе относительно входных колебаний.

Таким образом, при подаче на вход системы гармонических колебаний с постоянной амплитудой, но c различными частотами на выходе системы получаются также гармонические колебания с теми же частотами, но различными амплитудами и фазами относительно входных колебаний.

Известно, что для оригинала (а именно таковыми являются в САУ входные и выходные сигналы) имеет место одностороннее преобразование Фурье [2, 3], в соответствии с которым спектральная функция может быть рассчитана по формуле

, (2.10)

где — угловая частота.

Сравнивая формулу (2.10) с формулой прямого преобразования Лапласа , легко видеть их идентичность, поэтому для перехода из области изображений в частотную область достаточно чисто формально в изображениях и заменить оператор Лапласа на переменную (оператор Фурье) .

Поскольку , то в результате такой замены получим

. (2.11)

Функция комплексного переменного называется частотной передаточной функцией (в литературе ее также часто называют комплексным коэффициентом передачи). Она получается путем чисто формальной замены в выражении передаточной функции оператора Лапласа на переменную .

Годограф функции , т.е. кривая, описываемая концом вектора на комплексной плоскости при изменении частоты от нуля до бесконечности (рис. 2.8), называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ).

 

Рис. 2.8 — Годограф АФЧХ и другие частотные

характеристики

 

Как и всякую функцию комплексного переменного, функцию можно представить в алгебраической и показательной формах записи, т.е.

, (2.12)

где и — действительная и мнимая части частотной передаточной функции, и — модуль и аргумент частотной передаточной функции.

Все величины, представленные в (2.12), являются соответствующими частотными функциями, а построенные по выражениям для функций графики — частотными характеристиками.

Зависимости и называются вещественной и мнимой частотными характеристиками соответственно.

Зависимость показывает отношение амплитуд выходного и входного гармонических сигналов при изменении частоты и называется амплитудной частотной характеристикой.

Зависимость показывает сдвиг фазы выходного гармонического сигнала относительно входного при изменении частоты и называется фазовой частотной характеристикой.

Между всеми частотными характеристиками существует непосредственная связь, вытекающая из тригонометрических соотношений и поясняемая рис. 2.8.

,

,

,

В практических расчетах чаще всего амплитудную и фазовую частотные характеристики изображают в логарифмическом масштабе, что позволяет в значительной степени сократить объем вычислительных работ.

Логарифмической единицей усиления или ослабления мощности сигнала при прохождении его через какое-либо устройство при выражении десятичным логарифмом величины отношения мощности на выходе к мощности на входе в технике принят бел (Б). Так как мощность сигнала пропорциональна квадрату его амплитуды, получим:

Но так как бел является достаточно крупной единицей усиления (ослабления) мощности (увеличению мощности в 10 раз соответствует 1 Б), то за единицу измерения ее принят децибел, 1дБ = 0,1 Б.

С учетом этого можно записать:

Величина логарифма амплитудной частотной характеристики, выраженная в децибелах

называется логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ).

Таким образом, изменению отношения двух амплитуд в 10 раз соответствует изменение усиления на 20 дБ, в 100 раз — на 40 дБ, в 1000 раз — на 60 дБ и т.д.

Вычислим, какому отношению амплитуд соответствует один децибел, два и т.д.

,

,

,

то есть 1 дБ ,

2 дБ ,

3 дБ .

Фазовая частотная характеристика , построенная в полулогарифмическом масштабе (в координатах: угол j в градусах или радианах и ), называется логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ).

Единицей измерения частоты является логарифмическая единица — декада. Декадой называется интервал частот между какой-либо величиной частоты и ее десятикратным значением.

В логарифмическом масштабе частот отрезок в одну декаду не зависит от частоты и имеет длину, равную

ЛАЧХ и ЛФЧХ строят обычно совместно, используя общую ось абсцисс (ось частот). Начало координат невозможно взять в точке , так как . Поэтому начало координат можно брать в любой удобной точке в зависимости от интересующего диапазона частот.

Точка пересечения ЛАЧХ с осью абсцисс называется частотой среза . Ось абсцисс соответствует значению , то есть прохождению амплитуды сигнала в натуральную величину (поэтому еще говорят, что на частоте среза система теряет усилительные свойства).

Из рассмотренных здесь частотных характеристик две можно получить экспериментально – амплитудную и фазовую . Из этих двух экспериментальных остальные частотные характеристики могут быть рассчитаны по соответствующим формулам, например — по формуле (2.12). Кроме того, рассчитав по экспериментальным данным , по (2.11) путем обратной подстановки (заменив на ) можно получить передаточную функцию. Зная передаточную функцию, можно записать дифференциальное уравнение в операторной форме и далее, применив обратное преобразование Лапласа, — дифференциальное уравнение (уравнение динамики системы).