Синтез последовательных корректирующих устройств

 

При введении корректирующего устройства последовательно в контур регулирования (рис. 6.1, а) его передаточная функция умножается на передаточную функцию нескорректированной САУ , т.е.

,

где — передаточная функция разомкнутой цепи скорректированной (желаемой) системы, — передаточная функция разомкнутой цепи нескорректированной САУ.

Поскольку логарифмические частотные характеристики последовательно соединенных звеньев складываются

,

то синтез последовательного корректирующего устройства наиболее просто провести по асимптотическим ЛАЧХ. В соответствии с этим методом ЛАЧХ корректирующего устройства

. (6.3)

Зная желаемую ЛАЧХ , по формуле (6.3) можно построить ЛАЧХ корректирующего устройства и затем, ориентируясь на частоты сопряжения и наклоны этой ЛАЧХ, синтезировать ее передаточную функцию на основе минимально-фазовых звеньев первого порядка.

Желаемая ЛАЧХ может быть построена на основе номограмм Солодовникова [5]. При этом выделяются три частотные области: низкочастотная, среднечастотная и высокочастотная.

Низкочастотная область желаемой ЛАЧХ расположена в окрестности оси ординат, она определяет точностные показатели САУ и формируется, исходя из заданной статической точности (для статических САУ) или коэффициентов ошибок [4—6] (для астатических САУ). Высокочастотная область расположена выше частоты среза и характеризует подавление системой высокочастотных помех.

Среднечастотная часть ЛАЧХ расположена в области частоты среза и определяет основные показатели качества работы САУ в динамическом режиме. Доказано, [4, 5] что если ЛАЧХ проходит через частоту среза с наклоном минус 20 дБ/дек, то система в замкнутом состоянии будет иметь наименьшую колебательность и наилучшие показатели качества.

Одним из подходов к построению желаемой ЛАЧХ является решение этой задачи с помощью номограмм Солодовникова, приведенных на рис. 6.4. Они представляют собой зависимости перерегулирования , запаса устойчивости по фазе , параметров и от максимума вещественной частотной характеристики .

 

Рис. 6.4 — Номограммы Солодовникова

 

При известных значениях перерегулирования и времени переходного процесса величина отмечается на графике и по нему определяется значение , а затем из графика находится величина параметра . Этот путь для % показан пунктирной линией со стрелками на рис. 6.4, а, согласно таким построениям получаются значения . Тогда частота среза, через которую желаемая ЛАЧХ должна пройти с наклоном –20 дБ/дек, определится из соотношения

. (6.4)

Далее для полученной величины по кривым и , приведенным на рис. 6.4, б, определяются значения параметра и запаса устойчивости , если информация о нем необходима. Этот путь для % также отражен пунктирной линией со стрелками и, согласно нему, получаются значения дБ, градуса.

Затем можно приступить к построению желаемой ЛАЧХ и ЛАЧХ корректирующего устройства. Строится ЛАЧХ нескорректированной САУ , на ось в логарифмическом масштабе наносится рассчитанная по формуле (6.4) частота среза и прямая, пересекающая ось ординат на уровне (рис. 6.5). Через частоту среза проводится прямая, проходящая с наклоном –20 дБ/дек. В точке пересечения этой прямой и уровня определяется частота и отрезок длиной откладывается симметрично относительно частоты среза справа от нее до точки . На интервале произвольно выбираются две частоты и , на которых желаемая ЛАЧХ принимает наклоны –40 дБ/дек и –60 дБ/дек соответственно.

Если статическая ошибка нескорректированной САУ удовлетворяет заданной точности, то низкочастотный участок желаемой ЛАЧХ как удобно стыкуют с ЛАЧХ нескорректированной САУ. В частности, на рис. 6.5 эта стыковка произведена на уровне на частоте , но может быть произведена в любом другом месте при .

 

 

 

 

Рис. 6.5 — Построение желаемой ЛАЧХ и ЛАЧХ корректирующего

устройства

 

ЛАЧХ корректирующего устройства получается путем графического вычитания ЛАЧХ нескорректированной системы из желаемой ЛАЧХ . По наклонам легко видеть, что корректирующее устройство состоит из трех форсирующих звеньев с постоянными времени , , и трех инерционных звеньев с постоянными времени , и , т.е. представляет собой трехзвенный фильтр с передаточной функцией

.

Поскольку нескорректированная САУ состоит из трех инерционных звеньев с постоянными времени , , с общим коэффициентом передачи (это видно по ее ЛАЧХ), то , , и при введении корректирующего звена последовательно в нескорректированную САУ происходит сокращение или, как говорят, компенсация инерционных звеньев нескорректированной системы:

(6.5)

а поскольку , то в скорректированной системе следует ожидать существенного улучшения показателей качества.

Далее по выражению (6.5) находится передаточная функция замкнутой скорректированной САУ, рассчитываются показатели качества и, если перерегулирование превышает заданное значение, увеличиваются частоты , и пересчет переходной характеристики проводится заново до получения перерегулирования, близкого к заданному. Если это условие выполнено, то, как правило, время переходного процесса меньше заданного, т.е. требование к быстродействию САУ выполняется автоматически.

Рассмотренная методика синтеза последовательных корректирующих устройств дает хорошие результаты только при безынерционных и малоинерционных обратных связях. Если обратная связь системы имеет повышенную инерционность, т.е. ее постоянная времени , то переходный процесс, за счет форсирующего действия такой связи, сопровождается повышенным перерегулированием и настройка САУ на заданное значение крайне затруднительна. В этом случае систему настраивают только на заданное время переходного процесса.

Применение описанного варианта синтеза последовательного корректирующего устройства особенно эффективно в расчетах с использованием персонального компьютера, например при работе в системе MathCAD.