Линеаризация статических характеристик и дифференциальных уравнений

Часто встречаются элементы, у которых является нелинейной только статическая характеристика, т.е. зависимость выходной величины от входной величины в статическом (установившемся) режиме работы.

Рис. 2.1 — Статическая характеристика

Предположим, что входная величина изменяется только в пределах и на этом участке статическая характеристика может быть аппроксимирована прямой линией (рис. 2.1). Тогда эта прямая может быть принята за статическую характеристику, т.е. приближенно

.

Для линеаризации наиболее часто применяют метод малых отклонений [4, 5, 6], который позволяет линеаризовать как нелинейные статические характеристики, так и нелинейные дифференциальные уравнения.

Выясним суть метода, линеаризовав уравнение

, (2.1)

где и — входные величины (известные функции времени); — выходная величина (искомая функция времени).

Если функция дифференцируема по всем своим аргументам, то она может быть разложена в ряд Тейлора в окрестности произвольно выбранной точки, и при линеаризации уравнений эта точка должна соответствовать установившемуся режиму. В этом режиме , , есть постоянные величины и , тогда, разлагая функцию в ряд, получим:

(2.2)

где , , , , , — отклонения переменных от их установившихся значений; , — частные производные от функции при , , , , а — сумма членов, которые содержат произведения и отклонения во второй и более высоких степенях с коэффициентами в виде смешанных частных производных и частных производных второго и высших порядков от функции по соответствующим аргументам.

В устойчивых системах отклонения переменных достаточно малы, поэтому сумма в уравнении (2.2) содержит лишь члены высшего порядка малости и ей можно пренебречь. Кроме того, учитывая, что в установившемся режиме , искомое линеаризованное уравнение будет иметь вид

(2.3)

Уравнение (2.3) — линейное уравнение с постоянными коэффициентами.

Необходимо иметь в виду следующее. Отклонения , , действительно малы, когда переменные и являются выходными величинами других элементов САУ. Если какая-то из входных величин рассматриваемого элемента представляет собой внешнее воздействие на систему, то должна быть выяснена возможность предположения о малости отклонений этой переменной и ее производных.

 

Пример 2.1

Линеаризовать уравнение момента на валу электродвигателя постоянного тока с независимым возбуждением, имеющее вид

,

где — угловая скорость вращения, — вращающий момент, — ток в обмотке якоря, — момент сопротивления вращению, — момент инерции вращающихся масс.

Пусть в установившемся режиме , и уравнение моментов имеет вид . Разлагая функцию в ряд Тейлора, получим

.

Подставляя в уравнение моментов полученное значение , а также полагая и , будем иметь

.

Принимая во внимание уравнение установившегося режима, получаем линеаризованное уравнение моментов на валу электродвигателя

.

Здесь — управляющее воздействие, — возмущение. Частные производные определяются по характеристикам электродвигателя, которые задаются в виде графиков.