Оценка устойчивости сау по логарифмическим частотным характеристикам. Запасы устойчивости

 

В соответствии с критерием Найквиста об устойчивости можно судить не только по АФЧХ, но и совместно по амплитудной и фазовой частотным характеристикам разомкнутой цепи. Обычно при этом пользуются логарифмическими характеристиками, что представляет большое удобство в силу простоты их построения. Но если ЛАЧХ используется асимптотическая, то расчеты будут достаточно грубыми.

Если АФЧХ не охватывает точку , то при частоте, на которой , абсолютное значение фазы больше . Но значение соответствует . Поэтому для устойчивости замкнутой САУ необходимо, чтобы ЛАЧХ разомкнутой цепи пересекла ось абсцисс раньше, чем фаза, спадая, окончательно перейдет за значение –p.

Однако на частоте среза , а на частоте переворота фазы . Следовательно, система будет абсолютно устойчива, если .

На рис. 4.12 для ЛАЧХ, показанной сплошной линией, это неравенство соблюдается , значит, САУ устойчива, . При увеличении коэффициента передачи ЛАЧХ смещается вверх и на границе устойчивости (пунктирная кривая) при частоты и равны друг другу. Дальнейшее увеличение величины до приводит к неустойчивости системы, тогда (штрихпунктирная кривая).

Возможен и более сложный случай. Как было показано в примере 4.4, САУ устойчива при с^–1. При этом ее АФЧХ будет дважды пересекать отрицательную вещественную полуось, как показано на рис. 4.10, а, при частотах и . ЛАЧХ такой системы изображена сплошной линией на рис. 4.13, и ее частота среза меньше любой из частот и . При с^–1 частота среза (на рис. 4.13 ЛАЧХ показана пунктирной линией) и САУ становится неустойчивой. При с^–1 САУ снова станет устойчивой, хотя частота среза (ЛАЧХ изображена штрихпунктирной линией на рис. 4.13) больше частот и .

Рис. 4.12 — Оценка устойчивости САУ по ЛАЧХ и ЛФЧХ

Рис. 4.13 — Варианты ЛАЧХ и ЛФЧХ

для условно устойчивой САУ

Эта ситуация характерна для условно устойчивых систем, и для них оценка устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам выглядит по-другому: система будет устойчивой, если все частоты переворота фазы больше частоты среза или если ее ЛФЧХ до частоты среза принимает значение четное число раз. Именно такая ситуация имеет место при с^–1.

При оценке устойчивости САУ одного факта устойчивости недостаточно. Необходимо еще оценить величину запаса устойчивости, т.е. степени удаленности системы от границы устойчивости.

Основное распространение в качестве меры запаса устойчивости получили вытекающие из критерия Найквиста две величины — запас устойчивости по фазе и запас устойчивости по амплитуде .

Запас устойчивости по амплитуде определяется величиной допустимого подъема ЛАЧХ, при котором система окажется на границе устойчивости. Таким образом, запас по амплитуде представляет собой запас по коэффициенту передачи разомкнутой цепи по отношению к его граничному по устойчивости значению:

(4.9)

Оценку запаса устойчивости САУ по амплитуде можно также провести, зная частоту переворота фазы , тогда

. (4.10)

Таким образом, для определения запаса устойчивости по амплитуде необходимо либо по любому из критериев устойчивости рассчитать и воспользоваться далее формулой (4.9), либо вычислить частоту и применить формулу (4.10).

Запас устойчивости по фазе определяется величиной , на которую должно возрасти запаздывание по фазе в системе с частотой среза , чтобы система оказалась на границе устойчивости.

При вычислении запаса устойчивости по фазе нужно вначале определить частоту среза из уравнения и затем найти . Тогда запас устойчивости по фазе, вычисленный в градусах, будет равен

.

При наличии логарифмических частотных характеристик запасы устойчивости отсчитываются прямо с графиков, например как показано на рис. 4.14, а.

 

Рис. 4.14 — Запасы устойчивости САУ на логарифмических

частотных характеристиках (а) и на АФЧХ (б)

 

Помимо ЛАЧХ и ЛФЧХ, с этой же целью можно использовать и АФЧХ (разомкнутой цепи), что проиллюстрировано на рис. 4.14, б.

Для определения запаса устойчивости по фазе нужно провести радиус-вектор из начала координат через точку АФЧХ, для которой выполняется условие . Для нахождения этой точки графически следует из начала координат провести окружность радиусом . Угол между этим лучом и отрицательной действительной полуосью и будет .

Запас устойчивости по амплитуде характеризует удаленность точки АФЧХ от границы устойчивости, т.е. от точки с координатами ( — это частота, при которой фаза составляет значение минус p), выраженную в логарифмических единицах. Следовательно,

 

.