Понятие, виды и общее условие устойчивости

Одной из важнейших характеристик автоматической системы управления наряду с точностью является устойчивость. Причем, если показатели точности определяют степень полезности и эффективности системы, то от устойчивости зависит работоспособность системы. Поэтому проблема устойчивости систем является одной из центральных в теории автоматического управления.

Раскроем физический смысл понятия «устойчивость». Устойчивость автоматической системы — это свойство системы возвращаться в исходное состояние равновесия после прекращения воздействия, выведшего систему из этого состояния. Неустойчивая система не возвращается в исходное состояние, а непрерывно удаляется от него.

Неустойчивость автоматических систем управления возникает, как правило, из-за неправильного или очень сильного действия главной обратной связи. Неправильное действие главной обратной связи имеет место обычно в тех случаях, когда из-за ошибки, допущенной при монтаже системы, связь оказывается положительной (вместо отрицательной), что практически при любых параметрах делает систему неустойчивой. Возникающую при этом неустойчивость называют статической.

Более сложным и более распространенным видом неустойчивости является динамическая неустойчивость. Она проявляется системах с отрицательной обратной связью, при достаточно большом значении передаточного коэффициента разомкнутого контура и при количестве инерционных звеньев, не меньшем трех. Причиной динамической неустойчивости обычно является значительная инерционность элементов замкнутого контура, из-за ко­торой в режиме колебаний системы сигнал главной обратной связи значительно отстает от входного сигнала и оказывается с ним в фазе. Это означает, что связь, выполненная конструктивно как отрицательная (в статическом режиме!), в динамике (в режиме гармонических колебаний) проявляется на определенной частоте как по­ложительная.

Рассмотрим математическую сущность устойчивости и неустой­чивости. Согласно данному выше физическому определению устой­чивость зависит только от характера свободного движения системы. Свободное движение линейной или линеаризованной системы опи­сывается однородным дифференциальным уравнением

a ₀ х ^{(n )}(t)+ a _n-1 х ^{(n-1 )} (t)+…+ a _n-1 х ¢ (t)+ a _n х(t)= 0. (4.1)

где х(t) = х _c (t) — свободная составляющая выходной величины системы.

Вынужденная составляющая выходной величины, зависящая от вида внешнего воздействия и правой части дифференциального уравнения, на устойчивость системы не влияет.

Дадим математическое определение понятия «устойчивость». Система является устойчивой, если свободная составляющая х_c(t) переходного процесса с течением времени стремится к нулю, т. е. если

, (4.2)

а если свободная составляющая неограниченно возрастает, т. е. если

, (4.3)

то система неустойчива. Наконец, если свободная составляющая не стремится ни к нулю, ни к бесконечности, то система находится на границе устойчивости.

Очевидно, что при этом выходная величина системы будет стре­миться к вынужденной составляющей, определяемой внешним воз­действием и правой частью уравнения. Такую устойчивость принято называть асимптотической.

Найдем общее условие, при котором система, описываемая уравнением (8.1), устойчива. Решение уравнения равно сумме

, (4.4)

где C _k — постоянные, зависящие от начальных условий; p _k — корни характеристического уравнения

a ₀ p ⁿ + a _n-1 p ^n-1 +…+ a _n-1 p+ a _n = 0. (4.5)

Корни характеристического уравнения могут быть действи­тельными (p _k =a _k), мнимыми (p _k = jb _k) и комплексными p _k = a _k + jb _k, причем комплексные корни всегда попарно сопряжены между со­бой: если есть корень с положительной мнимой частью, то обяза­тельно существует корень с такой же по модулю, но отрицательной мнимой частью.

Переходная составляющая (8.4) при t ® ¥ стремится к нулю лишь в том случае, если каждое слагаемое вида С_kе^{a kt} ® 0. Ха­рактер этой функции времени зависит от вида корня р _k. Рассмот­рим все возможные случаи расположения корней р _kна комплекс­ной плоскости (рис. 8.1) и соответствующие им функции x _k(t), ко­торые показаны внутри кругов (как на экране осциллографа).

Рис. 4.1. Влияние корней характеристического уравнения системы на со­ставляющие ее свободного движения

 

1. Каждому действительному корню р _k = a _k в решении (8.4) соответствует слагаемое вида

x _k(t) = С_kе^{a kt}. (4.6)

Если a _k < 0 (корень р ₁ ), то функция (8.6) при t®¥ стремится к нулю. Если a _k > 0 (корень р ₃ ), то функция неограниченно возрастаег. Если a _k = 0 (корень р ₂ ), то эта функция остается по­стоянной.

2. Каждой паре сопряженных комплексных корней p _k = a _k + jb _k и p _k = a _k - jb _k в решении (8.4) соответствуют два слагаемых, которые могут быть объединены в одно слагае­мое

x _k(t) = С_kе^{a kt} sin(b _k t + j_k). (4.7)

Функция (8.7) представляет собой синусоиду с частотой b _k и ам­плитудой, изменяющейся во времени по экспоненте. Если действи­тельная часть двух комплексных корней a _k (см. рис. 4.1, корни р ₄ и р ₅ ) то колебательная составляющая (8.7) будет затухать. Если a _k > 0 (корни р ₈ и р ₉ ), то амплитуда колебаний будет неограни­ченно возрастать. Наконец, если a _k == 0 (корни р ₆ и р ₇), т. е. если оба сопряженных корня —мнимые (p _k = jb _k, p _k = - jb _k), то x _k(t) представляет собой незатухающую синусоиду с частотой b _k.

Если среди корней характеристического уравнения (4.5) имеются l равных между собой корней p_l, то в решении (8.4) вместо l слагае­мых вида С_kе^{a kt} появится одна составляющая

(C ₀ + C ₁ t +C ₂ t ² + …+ a _{l -1} t^l-1) = 0. (4.8)

Учитывая, что функция вида е ^-bt при любом b убывает быстрее, чем возрастают слагаемые вида t^r, можно доказать, что и в случае кратности корней решение (4.4) будет стремиться к нулю лишь при отрицательности действительной части кратных корней p_l.

На основании проведенного анализа можно сформулировать общее условие устойчивости:

для устойчивости линейной автоматической системы управле­ния необходимо и достаточно, чтобы действительные части всех корней характеристического уравнения системы были отрица­тельными.

Если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, то система будет неустойчивой. Устойчивость системы зависит только от вида корней характе­ристического уравнения и не зависит от характера внешних воз­действий на систему. Устойчивость есть внутреннее свойство си­стемы, присущее ей вне зависимости от внешних условий.

Используя геометрическое представление корней на ком­плексной плоскости (см. рис. 4.1) в виде векторов или точек, можно дать вторую формулировку общего условия устойчивости (эквивалентную основной):