Реальное дифференцирующее звено

Такое звено является последовательным соединением дифференцирующего и инерционного звеньев, его передаточная функция имеет вид

.

ЛАЧХ и ЛФЧХ складываются, т.е.

,

.

На рис. 3.8, а приведены логарифмические частотные характеристики реального дифференцирующего звена. До частоты сопряжения ЛАЧХ проходит с наклоном +20 дБ/дек, а после нее — горизонтально. Суммарная ЛФЧХ представляет собой ЛФЧХ инерционного звена, смещенную за счет дифференцирующего звена на угол .

Расчетное выражение для переходной функции этого звена может быть получено по формуле (2.14) при , , , :

.

На рис. 3.8, б приведена переходная характеристика звена. Она спадает по экспоненте до нуля от значения . На рис. 3.8, в приведена реализация реального дифференцирующего звена на операционном усилителе. Для такой схемы

.

Передаточная функция

,

где , .

 

Рис. 3.8 — ЛАЧХ и ЛФЧХ (а), переходная характеристика (б)

реального дифференцирующего звена и его реализация

на операционном усилителе (в)

 

Звенья второго порядка

 

В общем случае звено второго порядка описывается уравнением

,

или в операторной форме записи

Отсюда определяем передаточную функцию:

(3.1)

В зависимости от характера полюсов передаточной функции (3.1) (корней уравнения ) различают апериодическое звено второго порядка, колебательное и консервативное звенья.

 

Апериодическое звено второго порядка

 

Это звено имеет место при отрицательных вещественных полюсах передаточной функции (3.1), которую в этом случае можно представить в виде:

, (3.2)

где эквивалентные постоянные времени рассчитываются по соотношению

. (3.3)

Анализируя выражение передаточной функции (3.2), можно сделать вывод о том, что апериодическое звено второго порядка состоит из двух инерционных (апериодических) звеньев с эквивалентными постоянными времени , поэтому логарифмические частотные характеристики этих инерционных звеньев складываются.

На рис. 3.9, а показаны ЛАЧХ и ЛФЧХ апериодического звена второго порядка. До частоты сопряжения ЛАЧХ горизонтальна на уровне , после этой частоты до частоты сопряжения имеет наклон –20 дБ/дек, а после проходит с наклоном –40 дБ/дек. ЛФЧХ асимптотически приближается к значению .

Рис. 3.9 — ЛАЧХ и ЛФЧХ (а), переходная характеристика (б)

апериодического звена второго порядка

 

По формуле (2.14) получим расчетное выражение для переходной функции апериодического звена второго порядка. Для него , , , , , тогда

Переходная характеристика звена показана на рис. 3.9, б, ее характерная особенность — наличие точки перегиба вследствие суммирования двух экспоненциальных составляющих.

 

Колебательное звено

 

Это звено получается при комплексных сопряженных полюсах передаточной функции (3.1). Передаточную функцию звена удобнее записывать в виде

,

где , а параметр называется коэффициентом демпфирования. Для колебательного звена . Можно также отметить, что при полюсы передаточной функции (3.1) становятся вещественными и звено будет апериодическим второго порядка.

Получим формулы для частотных характеристик колебательного звена:

,

,

,

.

Частотные характеристики колебательного звена приведены на рис. 3.10. Они существенно зависят от величины коэффициента демпфирования . При АЧХ (рис. 3.10, а) монотонно уменьшается с увеличением частоты. При на ней появляется «горб», который увеличивается по мере уменьшения . На ЛАЧХ (рис. 3.10, б) «горб» проявляется при , при больших значениях коэффициента демпфирования ЛАЧХ приближается к ее асимптотическому варианту (имеет нулевой наклон до частоты сопряжения и наклон –40дБ/дек после этой частоты).

 

 

Рис. 3.10 — Частотные характеристики колебательного звена

 

Величина «горба» на частоте может быть оценена по соотношению [6]:

.

Переходная функция колебательного звена может быть получена по формуле (2.14) при комплексных сопряженных полюсах (при выражение становится меньше нуля):

. (3.4)

На рис. 3.11 показаны переходные характеристики колебательного звена, рассчитанные по выражению (3.4) для различных значений коэффициента демпфирования . Частота собственных колебаний переходной характеристики оценивается по выражению и равна мнимой части полюсов . Ее можно также определить и по АЧХ (см. рис. 3.10, а, частоты и , соответствующие максимальным значениям на АЧХ). Огибающая (см. пунктир на рис. 3.11) определяется формулой . Время переходного процесса на практике оценивается соотношением

.

Примером звена второго порядка может служить колебательный контур (см. схему на рис. 2.6 и вывод передаточной функции в примере 2.5).

 

 

Рис. 3.11 — Переходные характеристики колебательного звена

 

Пример 3.2

Определить, при каком соотношении параметров элементов схемы колебательный контур (см. рис. 2.6) является колебательным звеном.

Запишем полученную в примере 2.5 передаточную функцию с использованием коэффициента демпфирования:

Отсюда выразим коэффициент демпфирования:

.

Звено будет колебательным, если , т.е.

.

 

В противном случае, т.е. при

,

контур будет являться апериодическим звеном второго порядка.

Следует обратить внимание на то, что лишь с позиций математического описания схему можно представить как последовательное соединение двух апериодических звеньев первого порядка. Расчленить же принципиальную схему на два участка, каждый из которых был бы соответствующим апериодическим звеном первого порядка, невозможно.

Пример 3.3

Вывести передаточную функцию и определить ее параметры для устройства, схема которого приведена на рис. 3.12, а.

Устройство выполнено на операционных усилителях, реализующих инерционное, интегрирующее и пропорциональное звенья (см. разделы 3.2.1.1, 3.2.1.2, 3.2.1.4). На выходе усилителя DA 1 происходит преобразование и суммирование напряжений по каждому из его входов. Его передаточные функции относительно входного напряжения и напряжения обратной связи представляются выражениями

.

Полученный сигнал проходит через последовательно включенное интегрирующее звено на усилителе DA 2 с передаточной функцией .

Выход усилителя DA 2 образует выход устройства и сигнал с него через усилитель DA 3 с передаточной функцией поступает на второй вход усилителя DA 1.

Рис. 3.12 — Устройство на операционных усилителях (а)

и его структурная схема (б)

 

На рис. 3.12, б приведена структурная схема, соответствующая устройству, изображенному на рис. 3.12, а. Эквивалентная передаточная функция участка схемы, охваченного обратной связью, рассчитывается по выражению:

Таким образом, передаточная функция устройства, изображенного на рис. 3.12, а, будет равна

где , , .

Рассмотренное устройство позволяет легко реализовать как колебательное, так и апериодическое звено второго порядка. Если, например, принять , то при известных значениях и можно определить номиналы остальных элементов:

. (3.5)

 

Консервативное звено

 

Это звено получается при мнимых полюсах передаточной функции (3.1), и его можно рассматривать как частный случай колебательного звена при . Выражения для передаточной и некоторых частотных функций звена будут иметь вид:

,

, ,

.

На рис. 3.13, а изображены логарифмические частотные характеристики консервативного звена. Точная ЛАЧХ (сплошная линия) терпит разрыв непрерывности второго рода на частоте сопряжения , асимптотическая ЛАЧХ (пунктирная линия) такая же, как у колебательного звена. ЛФЧХ в точке терпит разрыв непрерывности первого рода (фаза скачком изменяется от 0 до ).

Рис. 3.13 — ЛАЧХ, ЛФЧХ (а), переходная характеристика (б)

консервативного звена

Переходная функция консервативного звена может быть получена по формуле (2.10) при мнимых полюсах и имеет вид

.

 

На рис 3.13, б показана переходная характеристика консервативного звена, она представляет собой незатухающие автоколебания частотой и амплитудой .

Консервативное звено на пассивных четырехполюсниках не реализуется. Если обратиться к приведенному выше примеру (см. рис. 2.6), то должны отсутствовать потери в контуре, т.е. выполняться условие , что физически невозможно. В устройстве, схема которого приведена на рис. 3.12, а, в соответствии с формулами (3.5) получение консервативного звена возможно при . Для этого резистор просто нужно удалить из устройства.

 

Особые звенья линейных САУ

Неминимально-фазовые звенья

 

В ряде устройств, например при мостовых соединениях, процессы описываются дифференциальным уравнением, имеющим отрицательные коэффициенты в правой части:

.

Передаточная функция такого звена будет иметь вид

,

т.е. имеет положительный нуль .

Такие звенья относятся к устойчивым неминимально-фазовым звеньям первого порядка, их характеристики похожи на характеристики инерционного форсирующего звена.

Пример 3.5

На рис. 3.14 приведена мостовая схема, в которой выполняется соотношение . Для нее будет иметь место соотношение:

т.е.

где .

 

 

Рис. 3.14 — Пример неминимально-

фазового устойчивого звена

 

На рис. 3.15, а показаны логарифмические частотные характеристики этого звена при . Его ЛАЧХ не отличается от ЛАЧХ инерционного форсирующего звена при , а ЛФЧХ изменяется в диапазоне . Переходная характеристика (рис. 3.15, б) имеет при скачок в отрицательном направлении.

 

 

Рис. 3.15 — Характеристики устойчивого

неминимально-фазового звена

 

Неустойчивые неминимально-фазовые звенья содержат в передаточных функциях положительные полюсы. Примером такого звена может служить асинхронный двигатель, работающий в режиме максимального скольжения. Другой пример — охват минимально-фазового звена положительной обратной связью.

Пусть инерционное звено с передаточной функцией охвачено положительной обратной связью с коэффициентом передачи (рис. 3.16, а). Передаточная функция получившегося эквивалентного звена будет иметь вид:

где .

 

Рис. 3.16 — Неустойчивое неминимально-фазовое звено (а)

и его характеристики (б, в)

 

При величины становятся отрицательными и передаточная функция становится такой, что ее полюс будет положительным.

На рис. 3.16, б приведена переходная характеристика этого звена, она неограниченно нарастает, начиная со значения , поскольку рассчитывается по формуле . ЛАЧХ неустойчивого неминимально-фазового звена такая же, как и у инерционного звена, а ЛФЧХ, рассчитываемая по выражению , возрастает со значения до (см. рис. 3.16, в).

Звено чистого запаздывания

 

Это звено относится к трансцендентным, его передаточная функция имеет вид:

Получим расчетные формулы для частотных характеристик звена:

,

,

 

 

Рис. 3.17 — Частотные (а, б) и временные (в, г)

характеристики звена чистого запаздывания

Годограф АФЧХ (рис. 3.17, а) представляет собой окружность радиуса с центром в начале координат. АЧХ (а следовательно, и ЛАЧХ) звена чистого запаздывания такая же, как у пропорционального звена. ФЧХ линейно убывает с ростом частоты, а ЛФЧХ (рис. 3.17, б) криволинейна за счет логарифмического масштаба по оси .

Звено чистого запаздывания без искажения воспроизводит на выходе входную величину, как идеальное пропорциональное звено, но с той разницей, что выходная величина запаздывает относительно входной на постоянное время (см. рис. 3.17, в, г). Переходная функция такого звена имеет вид:

.

 

Устойчивость САУ