Частотные критерии оценки качества

 

Наибольшее распространение получили частотные критерии, в основу которых положено использование частотных характеристик САУ. Для иллюстрации возможности оценки качества переходного процесса по частотным характеристикам установим точную аналитическую зависимость между переходной характеристикой и частотными характеристиками САУ (ВЧХ, АЧХ, ЛАЧХ и т.д.).

В качестве примера рассмотрим связь переходных характеристик САУ с вещественной частотной характеристикой .

Пусть на вход устойчивой САУ, передаточная функция которой не содержит полюсов в правой полуплоскости, подано единичное ступенчатое воздействие . Из этого следует, что импульсная переходная функция удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости и может быть вычислена с помощью обратного преобразования Фурье по формуле

.

Если вещественная часть функции — четная функция, а мнимая часть — нечетная функция, то получим

.

Так как при оригинал равен нулю и , то

или

.

В окончательном виде оригинал запишется соотношением

. (5.7)

Поскольку переходная функция САУ является интегралом от импульсной переходной функции, т.е. , то связь между переходной характеристикой САУ и ее ВЧХ находится путем подстановки формулы (5.7) в соотношение между двумя временными характеристиками:

. (5.8)

Формула (5.8) представляет собой запись интеграла Фурье для четной функции в вещественной форме, поэтому, ввиду абсолютной интегрируемости функции , можно изменить порядок интегрирования:

.

После вычисления внутреннего интеграла окончательно получим:

. (5.9)

Пользуясь формулой (5.9), можно непосредственно или приближенно [4, 5] по ВЧХ замкнутой САУ рассчитать ее переходную характеристику. Также можно составить предварительное приближенное суждение о качестве по виду ВЧХ. Различные виды ВЧХ представлены на рис. 5.5.

 

Рис. 5.5 — Типы вещественных частотных характеристик САУ

 

Основные положения оценки качества переходного процесса по ВЧХ сводятся к следующему.

1. Установившееся значение переходной характеристики определяется начальным значением ВЧХ . Начальное значение определяется конечным значением ВЧХ .

2. Двум ВЧХ, сходным по форме, но отличающимся масштабом по оси абсцисс в раз, соответствуют переходные характеристики, сходные по форме, но отличающиеся масштабом по оси абсцисс в раз. Двум ВЧХ, сходным по форме, но отличающимся масштабом по оси ординат в раз, соответствуют переходные характеристики, также сходные по форме, но отличающиеся масштабом по оси ординат в раз.

3. Разрыв непрерывности на ВЧХ свидетельствует о том, что система находится на границе устойчивости. Разрыву при соответствует апериодическая граница устойчивости (наличие нулевого полюса в передаточной функции), а разрыву при — колебательная граница устойчивости (наличие чисто мнимых полюсов в передаточной функции).

4. Если ВЧХ непрерывна, положительна и имеет вид вогнутой кривой (кривая 1 на рис. 5.5), то переходная характеристика монотонна.

5. При положительной невозрастающей ВЧХ (кривая 2 на рис. 5.5) перерегулирование в системе не превышает 18 %, т.е. %.

6. При наличии у положительной ВЧХ максимума (величина на кривой 3 рис. 5.5) перерегулирование в системе оценивается неравенством

. (5.10)

7. Если ВЧХ имеет положительный и отрицательный экстремумы (величины и для кривой 4 на рис. 5.5), то перерегулирование в системе оценивается неравенством

. (5.11)

8. Острый пик на ВЧХ на угловой частоте соответствует медленно затухающим колебаниям переходной характеристики с частотой, близкой к частоте .

9. Если ВЧХ непрерывная, невозрастающая и по форме приближается к трапецеидальной (рис. 5.6), то время переходного процесса можно определить по соотношению

.

Частота называется существенной частотой.

Следует отметить, что оценка перерегулирования по форме ВЧХ имеет весьма приблизительный характер. Реальное перерегулирование может быть в десятки раз меньше значений, рассчитанных по формулам (5.10), (5.11).

Колебательность переходной характеристики можно оценить по величине относительного максимума амплитудной частотной характеристики (АЧХ) , примерный вид которой представлен на рис. 5.7.

Рис. 5.6 — Трапецеидальная ВЧХ Рис. 5.7 — Определение показателей

качества по АЧХ

 

Величина относительного максимума называется показателем колебательности и определяется соотношением

,

где — частота собственных колебаний переходной характеристики замкнутой САУ.

При переходный процесс в САУ монотонный (пунктирная линия на рис. 5.7). Чем больше , тем больше колебательность. При в системе имеют место незатухающие колебания.

Физический смысл этой оценки заключается в том, что она показывает максимально возможное отношение амплитуды выходной величины к амплитуде гармонического входного воздействия. Значение примерно соответствует количеству колебаний, которые совершает переходная характеристика САУ до ее входа в область % от установившегося значения.

Показатель колебательности также связан с запасами устойчивости. Считается, что система имеет допустимые запасы устойчивости, если , хорошие запасы устойчивости, если . Оптимальным обычно считается, если .

Вследствие предельной простоты построения ЛАЧХ удобно пользоваться именно этой характеристикой. Информацию здесь несет среднечастотная часть ЛАЧХ. На частоте среза наклон ЛАЧХ должен составлять минус 20 дБ/дек, а значение определяется временем переходного процесса и перерегулированием :

.

Здесь значение берется по графику, показанному на рис. 5.8, а в зависимости от величины перерегулирования . При этом частоты сопряжения слева и справа от частоты среза , как показано на рис. 5.8, б, рассчитываются по формулам

, .

Рис. 5.8 — Оценка времени переходного процесса по ЛАЧХ

 

Величины наклонов ЛАЧХ слева от и справа от на качество переходного процесса почти не влияют.

Описанная методика оценки времени переходного процесса по ЛАЧХ применяется при синтезе последовательных корректирующих устройств, изложенном в разделе 6.